《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版必修5)教師用書：1.5應(yīng)用舉例(二)-講義-

第5課時(shí)應(yīng)用舉例(二)1.把握三角形面積公式.2.結(jié)合正、余弦定理與三角恒等變換解決一些三角式子的化簡(jiǎn)求值與證明等問題.重點(diǎn):三角形面積公式的應(yīng)用.難點(diǎn):正、余弦定理與三角恒等變換的交匯考查.某市在“舊城改造”方案中,打算在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮,以美化環(huán)境.已知這種草皮的價(jià)格為a元/平方米,則購買這種草皮需要多少元?問題1:上述問題在計(jì)算時(shí),需要計(jì)算三角形空地的面積,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則△ABC的面積為S=

absinC=

bcsinA=

acsinB.

問題2:利用A+B+C=π及++=的關(guān)系,將下列式子用含C的三角函數(shù)表示:sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,sin=cos

,cos=sin

.

問題3:在△ABC中,(1)若sinA>sinB,則邊a,b的大小關(guān)系是a>b;(2)若cosA>cosB,則邊a,b的大小關(guān)系是a<b;(3)若sin2A=sin2B,則△ABC是直角三角形或等腰三角形問題4:海倫公式是用來計(jì)算面積的,△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,依據(jù)海倫公式我們知道S=

,其中p=(a+b+c).

南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積”公式,這個(gè)公式的形式雖與海倫公式不一樣,但兩者完全等價(jià).秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家.其主要的數(shù)學(xué)著作就是《數(shù)書九章》,其中的大衍求一術(shù)(一次同余方程組問題的解法,也就是現(xiàn)在所稱的中國(guó)剩余定理)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是有世界意義的重要貢獻(xiàn).1.在△ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊,若A=,b=1,△ABC的面積為,則a的值為().A.1B.2C.【解析】依據(jù)S=bcsinA=可得c=2,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=3,故a=.【答案】D2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若==,則△ABC的外形是().A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】∵==,∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=,∴a=b或C=.又=,∴a≠b,則△【答案】C3.在△ABC中,已知a=2,A=30°,C=45°,則△ABC的面積為.

【解析】依據(jù)正弦定理:c==2,又B=105°,所以S=acsinB=×2×2sin105°=+1.【答案】+14.在△ABC中,tanA=,cosB=,若最長(zhǎng)邊為1,求△ABC的最短邊的長(zhǎng).【解析】由tanA>0,cosB>0知A、B均為銳角,∵tanA=<1,∴0<A<,又cosB=>,∴0<B<,∴C為最大角.由條件知,sinA=,cosA=,sinB=,∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,且sinA>sinB,即b為最短邊,由正弦定理知,=,∴b=.三角恒等式的證明與求值在△ABC中,三個(gè)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a=3、b=4、c=6,則bccosA+cacosB+abcosC的值為.

【方法指導(dǎo)】利用余弦定理的推論將余弦值轉(zhuǎn)化為邊的形式,整理化簡(jiǎn),再將三邊長(zhǎng)代入即可.【解析】bccosA+cacosB+abcosC=bc·+ca·+ab·=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)=(a2+b2+c2)=.【答案】【小結(jié)】三角恒等變換求值時(shí),對(duì)于邊、角共存的式子,一般利用正、余弦定理或恒等變換公式將其轉(zhuǎn)化為角或邊的形式,再結(jié)合條件完成恒等式的證明或關(guān)系式的求值.正、余弦定理與三角恒等變換的交匯考查在△ABC中,BC=,AC=3,sinC=2sinA.(1)求AB的值;(2)求sin(2A-)的值【方法指導(dǎo)】(1)利用正弦定理求解;(2)利用余弦定理求出cosA,進(jìn)而可得sinA的值,再依據(jù)差角公式和二倍角公式可解sin(2A-)【解析】(1)在△ABC中,依據(jù)正弦定理有=,∴AB=·BC=2BC=2.(2)在△ABC中,依據(jù)余弦定理的推論,得cosA==,∴sinA==,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin∴sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin【小結(jié)】三角恒等變換與正、余弦定理在高考中經(jīng)常交匯毀滅.依據(jù)正、余弦定理可以計(jì)算內(nèi)角的正、余弦值,再結(jié)合和、差、倍、半角公式可以求解問題中毀滅的三角函數(shù)值,恒等變換公式與正、余弦定理公式往往交替使用,具體的選擇要結(jié)合條件及待求量機(jī)敏處理.三角形的面積公式在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面積.【方法指導(dǎo)】先用正弦定理求出C,從而得出A,再代入面積公式S=bcsinA即可.【解析】由正弦定理,得=,∴sinC==.∵AB>AC,∴C>B,∴C=60°.∵C=60°,∴A=90°,∴S△ABC=AB·AC·sinA=2.[問題]角C的值確定為60°?[結(jié)論]角C的值不愿定為60°,也可能為120°.由正弦定理,得=,∴sinC==.∵AB>AC,∴C>B,∴C=60°或120°.當(dāng)C=60°時(shí),A=90°,∴S△ABC=AB·AC·sinA=2;當(dāng)C=120°時(shí),A=30°,∴S△ABC=AB·AC·sinA=.故△ABC的面積等于2或.【小結(jié)】在利用面積公式求面積時(shí),用正弦定理求到兩邊的夾角的正弦值,此時(shí)夾角的大小需要進(jìn)行分類爭(zhēng)辯,以防漏解.在△ABC中,求證:-=c(-).【解析】∵cosB=,cosA=,∴右邊=c(-)===-=左邊,∴-=c(-).在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng),a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求角B及邊BC上的高.【解析】在△ABC中,cos(B+C)=-cosA,∴1+2cos(B+C)=1-2cosA=0,∴A=.依據(jù)正弦定理,=,∴sinB==.∵a>b,∴B=,∴sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA=×+×=,∴BC邊上的高為bsinC=×=.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(1)求證:B-C=;(2)若a=,求△ABC的面積.【解析】(1)由正弦定理結(jié)合已知條件,得sinB·sin(+C)-sinCsin(+B)=sinA,sinB(sinC+cosC)-sinC(sinB+cosB)=,整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1,由于0<B,C<π,從而B-C=.(2)由于B+C=π-A=,所以B=,C=.由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面積S=bcsinA=·sin·sin=cossin=.1.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,則其面積等于().A.12B.C.28D.6【解析】依據(jù)余弦定理得:cosA=,A=60°,∴S△ABC=bcsinA=6.【答案】D2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若=,則△ABC確定是().A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【解析】由正弦定理得==,∴sinAcosB=cosAsinB,即sin(A-B)=0,∴A=B.【答案】A3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足cos=,·=3,則△ABC的面積S=.

【解析】∵cos=,∴cosA=2cos2-1=,∴sinA=.又由·=3,得bccosA=3,∴bc=5,∴S△ABC=bcsinA=2.【答案】24.已知△ABC的周長(zhǎng)為+1,且sinA+sinB=sinC.(1)求邊AB的長(zhǎng);(2)若△ABC的面積為sinC,求角C的度數(shù).【解析】(1)由題意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1,BC+AC=AB,兩式相減,得AB=1.(2)由S△ABC=BC·AC·sinC=sinC,得BC·AC=,由余弦定理,得cosC===,所以C=60°.(2021年·新課標(biāo)全國(guó)卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b