【-學案導學設計】2020-2021學年高中數(shù)學(人教A版-選修1-1)課時作業(yè)第二章-2.3.2_第1頁
【-學案導學設計】2020-2021學年高中數(shù)學(人教A版-選修1-1)課時作業(yè)第二章-2.3.2_第2頁
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文檔簡介

2.3.2拋物線的簡潔幾何性質(zhì)課時目標1.了解拋物線的幾何圖形,知道拋物線的簡潔幾何性質(zhì),學會利用拋物線方程爭辯拋物線的幾何性質(zhì)的方法.2.了解拋物線的簡潔應用.1.拋物線的簡潔幾何性質(zhì)設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0)(1)范圍:拋物線上的點(x,y)的橫坐標x的取值范圍是__________,拋物線在y軸的______側(cè),當x的值增大時,|y|也________,拋物線向右上方和右下方無限延長.(2)對稱性:拋物線關于________對稱,拋物線的對稱軸叫做________________.(3)頂點:拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的________.拋物線的頂點為____________.(4)離心率:拋物線上的點到焦點的距離和它到準線的距離的比,叫做拋物線的__________,用e表示,其值為______.(5)拋物線的焦點到其準線的距離為______,這就是p的幾何意義,頂點到準線的距離為eq\f(p,2),焦點到頂點的距離為______.2.直線與拋物線的位置關系直線y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0)的交點個數(shù)打算于關于x的方程____________________的解的個數(shù).當k≠0時,若Δ>0,則直線與拋物線有______個不同的公共點;當Δ=0時,直線與拋物線有______個公共點;當Δ<0時,直線與拋物線________公共點.當k=0時,直線與拋物線的軸______________,此時直線與拋物線有______個公共點.3.拋物線的焦點弦設拋物線y2=2px(p>0),AB為過焦點的一條弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0),則有以下結(jié)論.(1)以AB為直徑的圓與準線相切.(2)|AB|=2(x0+eq\f(p,2))(焦點弦長與中點坐標的關系).(3)|AB|=x1+x2+p.(4)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值,即x1x2=eq\f(p2,4),y1y2=-p2.一、選擇題1.頂點在原點,對稱軸為坐標軸的拋物線過點(-2,3),它的方程是()A.x2=-eq\f(9,2)y或y2=eq\f(4,3)xB.y2=-eq\f(9,2)x或x2=eq\f(4,3)yC.y2=-eq\f(9,2)xD.x2=eq\f(4,3)y2.若拋物線y2=2px(p>0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列,那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關系是()A.成等差數(shù)列B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列3.已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()A.eq\f(\r(17),2)B.3C.eq\r(5)D.eq\f(9,2)4.設斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(a≠0)的焦點F,且和y軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為()A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x5.設直線l1:y=2x,直線l2經(jīng)過點P(2,1),拋物線C:y2=4x,已知l1、l2與C共有三個交點,則滿足條件的直線l2的條數(shù)為()A.1B.2C.36.過拋物線y2=ax(a>0)的焦點F作始終線交拋物線于P、Q兩點,若PF與FQ的長分別為p、q,則eq\f(1,p)+eq\f(1,q)等于()A.2aB.eq\f(1,2a)C.4aD.eq\f(4,a)題號123456答案二、填空題7.已知拋物線C的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點,若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為________.8.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,A、B是拋物線C上的兩個點,線段AB的中點為M(2,2),則△ABF的面積等于________.9.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F作傾斜角為30°的直線,與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸的左側(cè)),則eq\f(|AF|,|FB|)=________.三、解答題10.設拋物線y=mx2(m≠0)的準線與直線y=1的距離為3,求拋物線的標準方程.11.過點Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,恰被Q所平分,求AB所在的直線方程.力氣提升12.設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足,假如直線AF的斜率為-eq\r(3),那么|PF|等于()A.4eq\r(3)B.8C.8eq\r(3)D.1613.已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A、B兩點.(1)若|AF|=4,求點A的坐標;(2)求線段AB的長的最小值.1.拋物線上一點與焦點的距離問題,可轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離.2.直線與拋物線的位置關系,可利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立而成的方程組的解來判定;“中點弦”問題也可使用“點差法”.2.3.2拋物線的簡潔幾何性質(zhì)答案學問梳理1.(1)x≥0右增大(2)x軸拋物線的軸(3)頂點坐標原點(4)離心率1(5)peq\f(p,2)2.k2x2+2(kb-p)x+b2=0兩一沒有平行或重合一作業(yè)設計1.B[由題意知所求拋物線開口向上或開口向左,利用待定系數(shù)法可求得方程.]2.A[設三點為P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則yeq\o\al(2,1)=2px1,yeq\o\al(2,2)=2px2,yeq\o\al(2,3)=2px3,由于2yeq\o\al(2,2)=y(tǒng)eq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,3),所以x1+x3=2x2,即|P1F|-eq\f(p,2)+|P3F|-eq\f(p,2)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|P2F|-\f(p,2))),所以|P1F|+|P3F|=2|P23.A[如圖所示,由拋物線的定義知,點P到準線x=-eq\f(1,2)的距離d等于點P到焦點的距離|PF|.因此點P到點(0,2)的距離與點P到準線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點P到點(0,2)的距離與點P到點F的距離之和,其最小值為點M(0,2)到點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0))的距離,則距離之和的最小值為eq\r(4+\f(1,4))=eq\f(\r(17),2).]4.B[y2=ax的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0)),過焦點且斜率為2的直線方程為y=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,4))),令x=0得y=-eq\f(a,2).∴eq\f(1,2)×eq\f(|a|,4)×eq\f(|a|,2)=4,∴a2=64,∴a=±8.]5.C[∵點P(2,1)在拋物線內(nèi)部,且直線l1與拋物線C相交于A,B兩點,∴過點P的直線l2在過點A或點B或與x軸平行時符合題意.∴滿足條件的直線l2共有3條.]6.D[可接受特殊值法,設PQ過焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0))且垂直于x軸,則|PF|=p=xP+eq\f(a,4)=eq\f(a,4)+eq\f(a,4)=eq\f(a,2),|QF|=q=eq\f(a,2),∴eq\f(1,p)+eq\f(1,q)=eq\f(2,a)+eq\f(2,a)=eq\f(4,a).]7.y2=4x解析設拋物線方程為y2=ax.將y=x代入y2=ax,得x=0或x=a,∴eq\f(a,2)=2.∴a=4.∴拋物線方程為y2=4x.8.2解析設A(x1,y1),B(x2,y2),則yeq\o\al(2,1)=4x1,yeq\o\al(2,2)=4x2.∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).∵x1≠x2,∴eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(4,y1+y2)=1.∴直線AB的方程為y-2=x-2,即y=x.將其代入y2=4x,得A(0,0)、B(4,4).∴|AB|=4eq\r(2).又F(1,0)到y(tǒng)=x的距離為eq\f(\r(2),2),∴S△ABF=eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×4eq\r(2)=2.9.eq\f(1,3)解析拋物線x2=2py(p>0)的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),則直線AB的方程為y=eq\f(\r(3),3)x+eq\f(p,2),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2=2py,,y=\f(\r(3),3)x+\f(p,2),))消去x,得12y2-20py+3p2=0,解得y1=eq\f(p,6),y2=eq\f(3p,2).由題意可設A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義,可知eq\f(|AF|,|FB|)=eq\f(y1+\f(p,2),y2+\f(p,2))=eq\f(\f(p,6)+\f(p,2),\f(3p,2)+\f(p,2))=eq\f(1,3).10.解由y=mx2(m≠0)可化為x2=eq\f(1,m)y,其準線方程為y=-eq\f(1,4m).由題意知-eq\f(1,4m)=-2或-eq\f(1,4m)=4,解得m=eq\f(1,8)或m=-eq\f(1,16).則所求拋物線的標準方程為x2=8y或x2=-16y.11.解方法一設以Q為中點的弦AB端點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2),則有yeq\o\al(2,1)=8x1,①yeq\o\al(2,2)=8x2,②∵Q(4,1)是AB的中點,∴x1+x2=8,y1+y2=2.③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).④將③代入④得y1-y2=4(x1-x2),即4=eq\f(y1-y2,x1-x2),∴k=4.∴所求弦AB所在的直線方程為y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.方法二設弦AB所在直線方程為y=k(x-4)+1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=8x,,y=kx-4+1,))消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的兩根就是線段端點A、B兩點的縱坐標,由根與系數(shù)的關系和中點坐標公式,得y1+y2=eq\f(8,k),又y1+y2=2,∴k=4.∴所求弦AB所在的直線方程為4x-y-15=0.12.B[如圖所示,直線AF的方程為y=-eq\r(3)(x-2),與準線方程x=-2聯(lián)立得A(-2,4eq\r(3)).設P(x0,4eq\r(3)),代入拋物線y2=8x,得8x0=48,∴x0=6,∴|PF|=x0+2=8,選B.]13.解由y2=4x,得p=2,其準線方程為x=-1,焦點F(1,0).設A(x1,y1),B(x2,y2).分別過A、B作準線的垂線,垂足為A′、B′.(1)由拋物線的定義可知,|AF|=x1+eq\f(p,2),從而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2eq\r(3).∴點A的坐標為(3,2eq\r(3))或(3,-2eq\r(3)).(2)當直線l的斜率存在時,設直

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