【名師一號】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1雙基限時練11

雙基限時練(十一)1．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m的值為()A．5 B．8C．5或3 D．8或5解析當(dāng)焦點在x軸上時，m＝4＋1＝5；當(dāng)焦點在y軸上時，4＝m＋1，∴m＝3，綜上知，m＝5或3.答案C2．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的關(guān)系為()A．有相等的長軸 B．有相等的短軸C．有相同的焦點 D．有相等的焦距解析當(dāng)0<k<9時，(25－k)－(9－k)＝25－9＝16＝c2，∴c＝4，而焦點一個在x軸上，一個在y軸上，∴兩橢圓的焦點不同，因此，有相同的焦距，故選D.答案D3．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析依題意2a＝4b，即a＝2b，又a2＝b2＋c2∴a2＝eq\f(1,4)a2＋c2，即eq\f(3,4)a2＝c2，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案D4．若橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,3)，則m的值為()A.eq\f(128,9) B.eq\f(128,9)或18C．18 D.eq\f(128,3)或6解析當(dāng)焦點在x軸上時，a2＝16，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝16－m，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(16－m,16)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，∴m＝eq\f(128,9)，當(dāng)焦點在y軸上時，同理可求得m＝18.綜上知m的值為eq\f(128,9)或18.答案B5．直線y＝x＋1被橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的線段的中點坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，－\f(17,2)))解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2＋2y2＝4))消去y，得3x2＋4x－2＝0.設(shè)直線與橢圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(4,3)，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2＝eq\f(2,3).∴AB中點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))).答案C6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,k＋2)＋eq\f(y2,k＋1)＝1的左、右焦點，弦AB過點F1，若△ABF2的周長是8，則橢圓的漸近線方程為________________________．解析由題意得4eq\r(k＋2)＝8，∴k＝2.∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),2)x.答案y＝±eq\f(\r(3),2)x7．人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點、遠(yuǎn)地點離地面的距離分別為r1、r2，則衛(wèi)星運行軌道的離心率是__________．解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝r2＋R，,a－c＝r1＋R，))∴2a＝2R＋r1＋r2,2c＝r2－r∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(r2－r1,2R＋r1＋r2).答案eq\f(r2－r1,2R＋r1＋r2)8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2c.以點O為圓心，a為半徑作圓M，若過點P(eq\f(a2,c)，0)所作圓M的兩條切線相互垂直．則該橢圓的離心率為________．解析如圖，切線PA，PB相互垂直，又半徑OA垂直于PA，所以△OAP為等腰直角三角形．∴eq\f(a2,c)＝eq\r(2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)9．橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩焦點為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)(c＞0)，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，焦點到橢圓上點的最短距離為2－eq\r(3)，求橢圓的方程．解∵橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短，∴a－c＝2－eq\r(3).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2，c＝eq\r(3).∴b2＝1.∴橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.10．直線l過點M(1,1)，與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點，若AB的中點為M，求直線l的方程．解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1，②①－②得eq\f(x1－x2x1＋x2,4)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,3)＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(3,4)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).又M(1,1)為AB的中點，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.∴直線l的斜率為－eq\f(3,4).∴直線l的方程為y－1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－7＝0.11．橢圓過點(3,0)點，離心率e＝eq\f(\r(6),3)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，則a＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6).∴b2＝a2－c2＝3.故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，則b＝3，又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，∴a2＝27，故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1.∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1.12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩點(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線y＝kx＋1與C交于A，B兩點，k為何值時eq\o(OA,\s\up16(→))⊥eq\o(OB,\s\up16(→))？此時|AB|的值是多少．解(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓的定義知，點P的軌跡C是以(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)為焦點，長半軸長為2的橢圓，它的短半軸長b＝eq\r(22－\r(3)2)＝1.故曲線C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋4y2＝4.))消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋4)，x1x2＝－eq\f(3,k2＋4).若eq\o(OA,\s\up16(→))⊥eq\o(OB,\s\up16(→))，則x1x2＋y1y2＝0.∵y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，∴x1x2＋y1y2＝－eq\f(3,k2＋4)－eq\f(3k2,k2＋4)－eq\f(2k2,k2＋4)＋1＝－eq\f(4k2－1,k2＋4)＝0，∴k＝±eq\f(1,2).當(dāng)k＝±eq\f(1,2)時，x1＋x2＝?eq\f(4,17)，x1