【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)階段性測(cè)試題1(集合與常用邏輯用語(yǔ))

階段性測(cè)試題一(集合與常用規(guī)律用語(yǔ))本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．(2021·山東萊蕪期中)已知全集為R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，則?RA＝()A．{x|x<－1，或x>2} B．{x|x<－1，或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}[答案]C[解析]由x2－x－2≥0得，x≤－1或x≥2，∴A＝{x|x≤－1或x≥2}，∴?RA＝{x|－1<x<2}．2．(2021·甘肅會(huì)寧二中模擬)設(shè)集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，則()A．M＝N B．MNC．MN D．M∩N＝?[答案]B[解析]解法1：M＝{x|x＝eq\f(k＋1,2)，k∈Z}＝{…－2，－eq\f(3,2)，－1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，…}，N＝{x|x＝eq\f(k＋2,4)，k∈Z}＝{…，－eq\f(3,4)，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，0，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，1，…}，∴MN.解法2：M＝{x|x＝eq\f(2k＋1,4)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k＋2,4)，k∈Z}，∵k∈Z，∴k＋2能取遍全部整數(shù)，2(k＋1)只能取遍全部偶數(shù)，∴MN.3．(2021·河南開(kāi)封22校聯(lián)考)已知集合A＝{x|2x>eq\f(1,2)}，B＝{x|log2x<1}，則A∩B＝()A．(－1,2) B．(1,2)C．(0,2) D．(－1,1)[答案]C[解析]由2x>eq\f(1,2)得x>－1，∴A＝{x|x>－1}；由log2x<1得0<x<2，∴B＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|0<x<2}，選C.4．(2021·婁底市名校聯(lián)考)“p且q是真命題”是“非p為假命題”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]∵“p∧q”是真命題，∴p與q都是真命題，∴?p為假命題；由?p為假命題可知p為真命題，但q的真假性不知道，∴p∧q的真假無(wú)法推斷，故選A.5．(文)(2022·棗莊市期中)已知命題p：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，命題q：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是正數(shù)，則下列命題中為真命題的是()A．p∧q B．(?p)∧(?q)C．(?p)∧q D．p∧(?q)[答案]D[解析]∵p為真命題，q為假命題，∴p∧(?q)為真命題，故選D.(理)(2021·福建清流一中期中)已知命題p：對(duì)任意x∈R，總有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(?p)∧(?q)C．(?p)∧q D．p∧(?q)[答案]D[解析]由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知p為真命題，1.5>1，但1.5>2不成立，∴q為假命題，∴p∧(?q)為真命題．6．(文)(2021·福建寧化一中段測(cè))下列說(shuō)法不正確的是()A．“cosα＝eq\f(3,5)”是“cos2α＝－eq\f(7,25)”的充分不必要條件B．命題p：?x∈R，使得x2＋x－1<0，則?p：?x∈R，使得x2＋x－1≥0C．命題“在△ABC中，若A>B，則sinA>sinB”的逆否命題是真命題D．若p∧q為真命題，則p∨q為假命題[答案]D[解析]cosα＝eq\f(3,5)時(shí)，cos2α＝2cos2α－1＝2×(eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25)，但cosα＝－eq\f(3,5)時(shí)也有cos2α＝－eq\f(7,25)，∴A為真命題；由存在性命題的否定為全稱命題，“<”的否定為“≥”，知B為真命題；在△ABC中，A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，故C為真命題；當(dāng)p∧q為假命題時(shí)，p假或q假，因此p、q中可能一真一假，從而p∨q可能為真，故D不正確．(理)(2021·湖北省教學(xué)合作聯(lián)考)下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是()(1)若命題p，q中有一個(gè)是假命題，則?(p∧q)是真命題．(2)在△ABC中，“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的必要不充分條件．(3)若C表示復(fù)數(shù)集，則有?x∈C，x2＋1≥1.A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析](1)∵p、q中有一個(gè)假命題，∴p∧q為假命題，∴?(p∧q)為真命題，∴(1)正確；(2)若C＝90°，則cosA＝cos(90°－B)＝sinB，cosB＝cos(90°－A)＝sinA，∴cosA＋sinA＝cosB＋sinB，但cosA＋sinA＝cosB＋sinB時(shí)，eq\r(2)sin(A＋45°)＝eq\r(2)sin(B＋45°)，∴滿足A＝B，或A＋B＝90°，得不出C＝90°，故(2)正確；(3)當(dāng)x＝i時(shí)，有x2＋1＝0，故(3)錯(cuò)誤，選C.7．(2021·山東滕州一中單元檢測(cè))設(shè)全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|x>0} B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x<0} D．{x|x<－1}[答案]B[解析]由－x2－3x>0得－3<x<0，陰影部分表示A∩B＝{x|－3<x<－1}，故選B.8．(文)(2021·山西高校附中月考)設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]x＝1時(shí)，y＝2i為純虛數(shù)，z為純虛數(shù)時(shí)，x＝1，故選C.(理)(2021·濉溪縣月考)已知向量a，b都是非零向量，則“eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)”是“a＋b＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]∵a，b都是非零向量，a＋b＝0，∴a與b的方向相反，從而eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)；但eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)時(shí)，明顯a與b方向相反，但|a|與|b|不愿定相等，從而a＋b＝0不愿定成立．9．(2021·寶安中學(xué)、南海中學(xué)、普寧一中等七校聯(lián)考)設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，則滿足A∪B＝{0,1,2}的集合B的個(gè)數(shù)是()A．1 B．3C．4 D．6[答案]C[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或2，∴A＝{1,2}，∵A∪B＝{0,1,2}，∴確定有0∈B，由元素1、2與B的關(guān)系知滿足條件的集合B有22＝4個(gè)．10．(文)(2022·韶關(guān)市曲江一中月考)下列說(shuō)法正確的是()A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)”的充要條件B．命題“?x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3>C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0D．命題p：“?x∈R，sinx＋cosx≤eq\r(2)”，則?p是真命題[答案]A[解析]a>1時(shí)，f(x)＝logax為增函數(shù)，f(x)＝logax(a>0且a≠1)為增函數(shù)時(shí)，a>1，∴A正確；“<”的否定為“≥”，故B錯(cuò)誤；x＝－1時(shí)，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0時(shí)，x無(wú)解，故C錯(cuò)誤；∵sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)恒成立，∴p為真命題，從而?p為假命題，∴D錯(cuò)誤．(理)(2021·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)“a＝0”是“f(x)＝eq\f(x＋a,|x|－1)為奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]a＝0時(shí)，f(x)＝eq\f(x,|x|－1)為奇函數(shù)；f(x)為奇函數(shù)時(shí)，由于f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，∴f(0)＝0，∴a＝0，故選C.11．(文)(2022·撫順二中期中)下列說(shuō)法正確的是()A．命題“?x∈R，ex>0”的否定是“?x∈R，ex>B．命題“已知x、y∈R，若x＋y≠3，則x≠2或y≠1”C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D．命題“若a＝－1，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題[答案]B[解析]A明顯錯(cuò)誤；若x＝2且y＝1，則x＋y＝3，∴B正確；如圖，在x∈[1,2]時(shí)，y＝x2＋2x的圖象總在y＝ax的圖象的上方，但y＝x2＋2x(1≤x≤2)的最小值不大于y＝ax(1≤x≤2)的最大值，故C錯(cuò)；若f(x)＝ax2＋2x－1只有一個(gè)零點(diǎn)，則a＝0或a＝－1，故原命題的逆命題為假命題，∴D錯(cuò)誤．(理)(2021·重慶南開(kāi)中學(xué)月考)下列敘述正確的是()A．命題：?x∈R，使x3＋sinx＋2<0的否定為：?x∈R，均有x3＋sinx＋2<0.B．命題：“若x2＝1，則x＝1或x＝－1”的逆否命題為：若x≠1或x≠－1，則x2≠C．己知n∈N，則冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n＝1D．函數(shù)y＝log2eq\f(x＋m,3－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱的充分必要條件為m＝±1[答案]C[解析]選項(xiàng)A中，命題：?x∈R，使x3＋sinx＋2＜0的否定為：?x∈R，均有x3＋sinx＋2≥0，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，命題：若x2＝1，則x＝1或x＝－1的逆否命題為：若x≠1且x≠－1，則x2≠1，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，由于冪函數(shù)y＝x3n－7在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3n－7＜0，解得n＜eq\f(7,3)，又n∈N，所以，n＝0,1或2；又y＝x3n－7為偶函數(shù)，所以，n＝1，即冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n＝1，C正確；選項(xiàng)D中，令y＝f(x)＝log2eq\f(x＋m,3－x)，由其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，得f(x)＋f(2－x)＝0，即log2eq\f(x＋m,3－x)＋log2eq\f(2－x＋m,3－2－x)＝log2eq\f(x＋m2＋m－x,3－x1＋x)＝0，eq\f(x＋m2＋m－x,3－x1＋x)＝1，整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m當(dāng)m＝－3時(shí)，eq\f(x＋m,3－x)＝－1＜0，y＝log2eq\f(x＋m,3－x)無(wú)意義，故m＝1.所以，函數(shù)y＝log2eq\f(x＋m,3－x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱的充分必要條件為m＝1，D錯(cuò)誤．12．(2021·潮陽(yáng)一中、中山一中、仲元中學(xué)聯(lián)考)對(duì)于集合A，假如定義了一種運(yùn)算“⊕”，使得集合A中的元素間滿足下列4個(gè)條件：(ⅰ)?a，b∈A，都有a⊕b∈A；(ⅱ)?e∈A，使得對(duì)?a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a；(ⅲ)?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′＝a′⊕a＝e；(ⅳ)?a，b，c∈A，都有(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，則稱集合A對(duì)于運(yùn)算“⊕”構(gòu)成“對(duì)稱集”．下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“⊕”：①A＝{整數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為一般加法；②A＝{復(fù)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為一般減法；③A＝{正實(shí)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為一般乘法．其中可以構(gòu)成“對(duì)稱集”的有()A．①② B．①③C．②③ D．①②③[答案]B[解析]①A＝{整數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為一般加法，依據(jù)加法運(yùn)算可知滿足4個(gè)條件，其中e＝0，a、a′互為相反數(shù)；②A＝{復(fù)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為一般減法，不滿足4個(gè)條件，例如a＝3＋i，b＝2－i，c＝1，(a－b)－c＝2i，a－(b－c)＝2＋2i，不滿足條件(ⅳ)．③A＝{正實(shí)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為一般乘法，依據(jù)乘法運(yùn)算可知滿足4個(gè)條件，其中e＝1，a、a′互為倒數(shù)．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)13．(2021·廬江二中、巢湖四中聯(lián)考)已知集合A＝{0,2,4}，則A的子集中含有元素2的子集共有________個(gè)．[答案]4[解析]含有元素2的子集有{2}，{2,0}，{2,4}，{2,0,4}，共4個(gè)．14．(文)(2022·北京東城區(qū)聯(lián)考)①命題“對(duì)任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0②函數(shù)f(x)＝2x－x2的零點(diǎn)有2個(gè)；③若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝0；④函數(shù)y＝sinx(x∈[－π，π])的圖象與x軸圍成的圖形的面積是S＝eq\i\in(－π,π,)sinxdx；⑤若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－5x>6，,4－\f(a,2)x＋4x≤6))，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,8)．其中真命題的序號(hào)是________(寫(xiě)出全部正確命題的編號(hào))．[答案]①③[解析]①明顯正確；②由于f(2)＝0，f(4)＝0，且f(－1)·f(0)<0，∴f(x)在(－1,0)上存在零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；③∵f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，∴(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|恒成立，即|x－a|＝|x＋a|，∴(x－a)2＝(x＋a)2，∴ax＝0，此式對(duì)?x∈R都成立，故a＝0，∴③正確；④函數(shù)y＝sinx(－π≤x≤π)的圖象與x軸圍成圖形的面積S>0，而定積分eq\i\in(,π,)－πsinxdx＝0，故④錯(cuò)誤；⑤∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－5x>6，,4－\f(a,2)x＋4x≤6.))是R上的增函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,4－\f(a,2)×6＋4≤a6－5，))∴7≤a<8.(理)(2022·合肥八中聯(lián)考)給出下列四個(gè)命題：①?α，β∈R，α>β，使得tanα<tanβ；②若f(x)是定義在[－1,1]上的偶函數(shù)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，則f(sinθ)>f(cosθ)；③在△ABC中，“A>eq\f(π,6)”是“sinA>eq\f(1,2)”的充要條件；④若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝3，其中全部正確命題的序號(hào)是________．[答案]①④[解析]①當(dāng)α＝eq\f(3π,4)，β＝eq\f(π,3)時(shí)，tanα<0<tanβ，∴①為真命題；∵f(x)是[－1,1]上的偶函數(shù)，在[－1,0]上單調(diào)遞增，∴在[0,1]上單調(diào)遞減，又θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴1>sinθ>cosθ>eq\f(\r(2),2)，從而f(sinθ)<f(cosθ)，∴②為假命題；③當(dāng)A＝eq\f(5π,6)時(shí)，A>eq\f(π,6)成立，但sinA＝eq\f(1,2)，∴③為假命題；④由條件知f′(1)＝eq\f(1,2)，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，∴f(1)＋f′(1)＝3，∴④為真命題．15．(2021·呼和浩特市期中)已知函數(shù)f(x)＝a2x－2a＋1，若命題“?x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命題，則實(shí)數(shù)[答案](eq\f(1,2)，1)∪(1，＋∞)[解析]∵命題“?x∈(0,1)，f(x)≠0”∴命題的否定：“存在實(shí)數(shù)x∈(0,1)，使f(x)＝0”∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2∴(a－1)2(2a解得a>eq\f(1,2)，且a≠1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)∪(1，＋∞)．16．(文)(2021·遼寧五校協(xié)作體期中)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2022成立，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋2022x2021有最大值M和最小值m，則M＋m＝________.[答案]－4028[分析]函數(shù)g(x)用f(x)來(lái)定義，要爭(zhēng)辯g(x)需先考慮f(x)，由條件式令y＝－x可得到f(x)與f(－x)的關(guān)系式，故可轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)奇偶性的爭(zhēng)辯，照看到2022x2021為奇函數(shù)，可考慮構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)，其最大值M、最小值m，則這個(gè)奇函數(shù)加一個(gè)常數(shù)t后，所得新函數(shù)的最大值為M＋t，最小值為m＋t，由于M＋m＝0，所以新函數(shù)的最大值與最小值的和為2t.[解析]令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝－2022，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2022，∴f(－x)＋2022＝－(f(x)＋2022)．令h(x)＝f(x)＋2022＋2022x2021，則h(－x)＝f(－x)＋2022＋2022(－x)2021＝－(f(x)＋2022＋2022x2021)＝－h(huán)(x)，∴h(x)為奇函數(shù)，∵g(x)的最大值為M，最小值為m，h(x)＝g(x)＋2022，∴h(x)的最大值為M＋2022，最小值為m＋2022，∵h(yuǎn)(x)為奇函數(shù)，∴(M＋2022)＋(m＋2022)＝0，∴M＋m＝－4028.(理)(2021·安徽省示范高中聯(lián)考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對(duì)任意P1(x1，y1)∈M，均不存在P2(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M為“好集合”，給出下列五個(gè)集合：①M(fèi)＝{(x，y)|y＝eq\f(1,x)}；②M＝{(x，y)|y＝lnx}；③M＝{(x，y)|y＝eq\f(1,4)x2＋1}；④M＝{(x，y)|(x－2)2＋y2＝1}；⑤M＝{(x，y)|x2－2y2＝1}．其中全部“好集合”的序號(hào)是________．(寫(xiě)出全部正確答案的序號(hào))[答案]①④⑤[解析]x1x2＋y1y2＝0?eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝0?eq\o(OP1,\s\up6(→))⊥eq\o(OP2,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即OP1⊥OP2.若集合M里存在兩個(gè)元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，則集合M不是“好集合”，否則是．①曲線y＝eq\f(1,x)上任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線夾角小于90°(同一支上)或大于90°(兩支上)，集合M里不存在兩個(gè)元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，則集合M是“好集合”；②如圖，函數(shù)y＝lnx的圖象上存在兩點(diǎn)A，B，使得OA⊥OB.所以M不是“好集合”；③過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y＝±eq\f(1,2)x，兩條切線的夾角大于90°，集合M里存在兩個(gè)元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，則集合M不是“好集合”；④切線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，夾角為60°，集合M里不存在兩個(gè)元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，則集合M是“好集合”；⑤雙曲線x2－2y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，兩條漸近線的夾角小于90°，集合M里不存在兩個(gè)元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，則集合M是“好集合”．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．)17．(本小題滿分12分)(文)(2021·山西高校附中月考)已知集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|eq\f(x＋2,x－3)<0}．(1)在區(qū)間(－4,4)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，求“x∈(A∩B)”的概率；(2)設(shè)(a，b)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中a是從集合A中任取的一個(gè)整數(shù)，b是從集合B中任取的一個(gè)整數(shù)，求“(b－a)∈(A∪B)”的概率．[解析](1)由已知B＝{x|－2<x<3}，A∩B＝{x|－2<x<1}，設(shè)大事“x∈(A∩B)”的概率為P1，這是一個(gè)幾何概型，則P1＝eq\f(3,8).(2)由于a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本大事共12個(gè)：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．設(shè)大事E為“(b－a)∈(A∪B)”，則大事E中包含9個(gè)基本大事，大事E的概率P(E)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(理)(2021·重慶南開(kāi)中學(xué)月考)已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，集合B＝{x|2x2－9x＋k≤0}．(1)求集合A.(2)若B?A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析](1)∵x2－5x＋4≤0，∴1≤x≤4，∴A＝[1,4]．(2)當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝81－8k＜0，求得k＞eq\f(81,8).∴當(dāng)B≠?時(shí)，2x2－9x＋k＝0的兩根均在[1,4]內(nèi)，設(shè)f(x)＝2x2－9x＋k，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(81－8k≥0，,f1≥0，,f4≥0，))解得7≤k≤eq\f(81,8).綜上，k的取值范圍為[7，＋∞)．18．(本小題滿分12分)(文)(2021·重慶南開(kāi)中學(xué)月考)已知命題p：關(guān)于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]有解；命題q：f(x)＝log2(x2－2mx＋eq\f(1,2))在x∈[1，＋∞)單調(diào)遞增；若?p為真命題，p∨q是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]設(shè)f(x)＝x2－mx－2，∵關(guān)于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]有解，f(0)＝－2<0，∴f(1)≥0，解得m≤－1，由命題q得x2－2mx＋eq\f(1,2)＞0，在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，且函數(shù)y＝x2－2mx＋eq\f(1,2)，在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，依據(jù)x2－2mx＋eq\f(1,2)＞0，在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，得m＜eq\f(3,4)，由函數(shù)y＝x2－2mx＋eq\f(1,2)＞0，在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，得m≤1，∴由命題q得：m＜eq\f(3,4)，∵?p為真命題，p∨q是真命題，得到p假q真，∴m∈(－1，eq\f(3,4))．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－1，eq\f(3,4))．(理)(2022·山東省菏澤市期中)已知命題p：關(guān)于x的不等式|x－1|>m－1的解集為R，命題q：函數(shù)f(x)＝(5－2m)x是R上的增函數(shù)，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實(shí)數(shù)m[解析]不等式|x－1|>m－1的解集為R，須m－1<0，即p是真命題時(shí)，m<1；函數(shù)f(x)＝(5－2m)x是R上的增函數(shù)，須5－2m>1，即q是真命題時(shí)，∵p或q為真命題，p且q為假命題，∴p、q中一個(gè)為真命題，另一個(gè)為假命題．(1)當(dāng)p真，q假時(shí)，m<1且m≥2，此時(shí)無(wú)解；(2)當(dāng)p假，q真時(shí)，m≥1且m<2，此時(shí)1≤m<2，因此1≤m<2.19．(本小題滿分12分)(文)(2021·浙江慈溪市、余姚市期中)已知關(guān)于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)當(dāng)c∈R時(shí)，解關(guān)于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．[解析](1)由已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且b>1，a>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))(2)由(1)得原不等式可化為x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c所以當(dāng)c>2時(shí)，所求不等式的解集為{x|2<x<c}；當(dāng)c<2時(shí)，所求不等式的解集為{x|c<x<2}；當(dāng)c＝2時(shí)，所求不等式的解集為?.(理)(2021·沈陽(yáng)市東北育才中學(xué)一模)已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k(1)求m的值；(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析](1)依題意得：(m－1)2＝1，∴m＝0或m＝2，當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，與題設(shè)沖突，舍去，∴m＝0.(2)由(1)知f(x)＝x2，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)，g(x)單調(diào)遞增，∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]，∵A∪B＝A，∴B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k≥1，,4－k≤4，))∴0≤k≤1.20．(本小題滿分12分)(2021·東北育才中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，設(shè)命題p：“f(x)的定義域?yàn)镽”；命題q：“f(x)的值域?yàn)镽”．(1)分別求命題p、q為真時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)?p是q的什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．[解析](1)命題p為真，即f(x)的定義域是R，等價(jià)于(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立，等價(jià)于a＝－1或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,Δ＝a＋12－4a2－1<0.))解得a≤－1或a>eq\f(5,3)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]∪(eq\f(5,3)，＋∞)．命題q為真，即f(x)的值域是R，等價(jià)于u＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1的值域?(0，＋∞)，等價(jià)于a＝1或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,Δ＝a＋12－4a2－1≥0.))解得1≤a≤eq\f(5,3).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，eq\f(5,3)]．(2)由(1)知，?p：a∈(－1，eq\f(5,3)]；q：a∈[1，eq\f(5,3)]．而(－1，eq\f(5,3)][1，eq\f(5,3)]，∴?p是q的必要而不充分的條件．21．(本小題滿分12分)(2022·長(zhǎng)沙市重點(diǎn)中學(xué)月考)若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足eq\r(Sn＋1)＝eq\r(Sn)＋1，其中首項(xiàng)a1＝1.(1)求a2，a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,an·an＋1)，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的n∈N*，不等式λTn<n＋8×(－1)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．[解析]∵eq\r(Sn＋1)＝eq\r(Sn)＋1，a1＝1，∴eq\r(1＋a2)＝2，∴a2＝3，同理a3＝5.由題意可得eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝1，∴數(shù)列{eq\r(Sn)}是以eq\r(S1)＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴eq\r(Sn)＝1＋(n－1)×1，即Sn＝n2，由公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1，,2n－1n≥2.))∴an＝2n－1.(2)∵bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，∴Tn＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1).①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式λTn<n＋8×(－1)n恒成立，即需不等式λ<eq\f(n＋8×2n＋1,n)＝2n＋eq\f(8,n)＋17恒成立．∵2n＋eq\f(8,n)≥8，等號(hào)在n＝2時(shí)取得．∴此時(shí)λ滿足λ<25.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式λTn<n＋8×(－1)