【2021屆備考】2021屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第三期)：N單元選修4系列

N單元選修4系列名目N單元選修4系列 1N1選修4-1幾何證明選講 1N2選修4-2矩陣 2N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程 3N4選修4-5不等式選講 6N5選修4-7優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì) 7N1選修4-1幾何證明選講【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（202211）word版】14．如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B,C兩點(diǎn)，，則=。【學(xué)問點(diǎn)】切割線定理；直角三角形的性質(zhì).N1【答案】【解析】解析：設(shè)圓O的半徑為R，則由切割線定理得1，則OP=2，連接OA，由于△OAP是直角三角形，AP是斜邊中線，所以AB=BO=OA=1，所以∠OAB=60°，所以=.【思路點(diǎn)撥】由切割線定理求得圓的半徑，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠PAB.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】15．（選修：幾何證明選講）如圖，為△外接圓的切線，平分，交圓于，共線．若,,，則圓的半徑是【學(xué)問點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段N1【答案】【解析】解析：如圖所示，連結(jié)，∵為圓O的切線，，為的平分線，，，

又，．

由，得．在中，，是圓O的直徑，且直徑，∴圓O的半徑為2．故答案為：2．【思路點(diǎn)撥】連結(jié)AD，由PB為圓O的切線，得，結(jié)合為的平分線，可得，在中，由，得，由與的內(nèi)角關(guān)系得AD的長度，即得圓O的半徑．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆云南省部分名校高三12月統(tǒng)一考試（202212）】22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講已知在中，是上一點(diǎn)，的外接圓交于，．（1）求證：；（2）若平分，且，求的長.【學(xué)問點(diǎn)】選修4-1幾何證明選講N1【答案】（1）略（2）1【解析】（1）連接，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，又，∴∽，∴，又，∴（2）由（1）∽，知，又，∴，∵，∴，而是的平分線∴，設(shè)，依據(jù)割線定理得即，解得，即．【思路點(diǎn)撥】利用相像比例關(guān)系證明，再依據(jù)割線定理得N2選修4-2矩陣N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（202211）word版】15．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為。【學(xué)問點(diǎn)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化；參數(shù)方程與一般方程互化；兩點(diǎn)間距離公式.N3【答案】【解析】解析：點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（4,4），曲線C的一般方程為：，曲線C是圓.M到圓心(1,0)的距離為，所以點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為.【思路點(diǎn)撥】把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，曲線C的參數(shù)方程化為一般方程，知曲線C是圓.依據(jù)M到圓上點(diǎn)的距離的最小值是：M到圓心距離減去半徑得結(jié)果.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】16．（選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，則兩曲線交點(diǎn)間的距離是【學(xué)問點(diǎn)】簡潔曲線的極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化成一般方程N(yùn)3【答案】【解析】解析：由曲線的參數(shù)方程是，平方相減可得，曲線的極坐標(biāo)方程是，開放得，化為，聯(lián)立，化為，得或，或此兩曲線交點(diǎn)間的距離為，故答案為：.【思路點(diǎn)撥】由曲線的參數(shù)方程是，平方相減可得，曲線的極坐標(biāo)方程是，開放得，化為，聯(lián)馬上可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省唐山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】22.（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)若直線與曲線C有公共點(diǎn)，求的取值范圍：(2)設(shè)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.【學(xué)問點(diǎn)】參數(shù)方程極坐標(biāo)方程N(yùn)3【答案】(I)；(2).【解析】解析：(I)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為直線l的參數(shù)方程為將代入整理得直線l與曲線C有公共點(diǎn)，的取值范圍是(II)曲線C的方程可化為其參數(shù)方程為為曲線上任意一點(diǎn)，的取值范圍是【思路點(diǎn)撥】（1）先依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式，算出曲線C的直角坐標(biāo)方程，再結(jié)合直線的參數(shù)方程，聯(lián)解得到關(guān)于參數(shù)t的二次方程，運(yùn)用根的判別式列式并解之，即可得到角α的取值范圍；（2）由（1）可得曲線C的參數(shù)方程，從而得到最終結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到的取值范圍．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆云南省部分名校高三12月統(tǒng)一考試（202212）】23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線：（為參數(shù)），：（為參數(shù)）．（1）化，的方程為一般方程；（2）若上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，為上的動點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線（為參數(shù)）距離的最小值．【學(xué)問點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案】（1），（2）【解析】（1），（2）當(dāng)時(shí)，，故，為直線，到的距離，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值．【思路點(diǎn)撥】先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)換成一般方程再利用距離公式求出最小值?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省長沙長郡中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202212）word版】11．已知直線的參數(shù)方程：（t為參數(shù)）和圓C的極坐標(biāo)方程：，則直線和圓C的位置關(guān)系為【學(xué)問點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案】相交【解析】直線l消去此時(shí)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=2x+1；

由圓C的極坐標(biāo)方程：，化為ρ=2(sinθ+cosθ)=2（sinθ+cosθ），

兩邊同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），化為x2+y2=2y+2x．得⊙C的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）2+（y-1）2=2，圓心C到直線l的距離d==＜=r，所以直線l和⊙C相交．【思路點(diǎn)撥】把直線的參數(shù)方程化為一般方程，把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式得出圓心代直線的距離與半徑比較即可推斷出位置關(guān)系．N4選修4-5不等式選講【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（202211）word版】16．若關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___.【學(xué)問點(diǎn)】不等式有解得條件.N4【答案】【解析】解析：設(shè)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-3,3]，由于不等式a≥f(x)存在實(shí)數(shù)解，所以a≥-3.【思路點(diǎn)撥】關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解，則a大于或等于|x+1|-|x-2|的最小值.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆云南省部分名校高三12月統(tǒng)一考試（202212）】24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（1）若關(guān)于的不等式有解，求的最大值；