上海市黃浦區(qū)2021屆高三上學(xué)期期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

黃浦區(qū)2022學(xué)年度第一學(xué)期高三班級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(文理合卷)(2021年1月8日)一、填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分．1．已知全集，集合，則．2．函數(shù)的定義域是．3．已知直線，則直線與的夾角的大小是．4．若三階行列式中第1行第2列的元素3的代數(shù)余子式的值是，則(其中是虛數(shù)單位，)的值是．5．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線：的右焦點(diǎn)重合，則拋物線的方程是．6．若函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．7．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，角的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓(半徑為1的圓)交于其次象限內(nèi)的點(diǎn)，則＝．(用數(shù)值表示)8．已知二項(xiàng)式的開放式中第3項(xiàng)的系數(shù)是，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為，則＝．9．已知某圓錐體的底面半徑，沿圓錐體的母線把側(cè)面開放后得到一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是．10．若從總體中隨機(jī)抽取的樣本為，則該總體的標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估量值是．11．已知，若是函數(shù)的零點(diǎn)，則四個(gè)數(shù)按從小到大的挨次是(用符號(hào)連接起來)．12．一副撲克牌(有四色，同一色有13張不同牌)共52張．現(xiàn)隨機(jī)抽取3張牌，則抽出的3張牌有且僅有2張花色相同的概率為(用數(shù)值作答)．13．已知，定義：表示不小于的最小整數(shù)．如.(理科)若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是．(文科)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．(理科)已知點(diǎn)是的重心，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且,則角的大小是.(文科)已知點(diǎn)是所在平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且滿足,若,則正實(shí)數(shù)=.二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分．15．給定空間中的直線l及平面，條件“直線l與平面α內(nèi)的很多條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直的[答]()．A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件16．已知向量，則下列能使成立的一組向量是[答]()．輸出否是開頭結(jié)束A．輸出否是開頭結(jié)束C．D．17．一個(gè)算法的程序框圖如右圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是[答]()．A．4B．5C．6D．718．已知，，定義：，．給出下列命題：(1)對(duì)任意，都有；(2)若是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則恒成立；(3)若，則；(4)(理科)對(duì)任意，結(jié)論恒成立，則其中真命題是[答]()．(文科)對(duì)任意，結(jié)論恒成立，則其中真命題是[答]()．A．(1)(2)(3)(4)B．(2)(3)(4)C．(2)(4)D．(2)(3)三、解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必需在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．第19題圖19．(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．第19題圖在長(zhǎng)方體中，，分別是所在棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．如圖所示．(1)求異面直線所成角的大小(用反三角函數(shù)值表示)；(2)(理科)求以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．(文科)求以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．20．(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，若，求的面積的值．21．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．已知函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；(2)(理科)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像是不間斷的光滑曲線，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為)，且．(文科)(2)設(shè)函數(shù)，試推斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明你的理由．22．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，第3小題滿分7分．定義：若各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”.已知數(shù)列滿足且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上.(1)試推斷數(shù)列是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請(qǐng)說明你的理由；(2)記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(3)從數(shù)列中依據(jù)某種挨次自左至右取出其中的項(xiàng)，把這些項(xiàng)重新組成一個(gè)新數(shù)列：.(理科)若數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項(xiàng)的和為，求正整數(shù)的值．(文科)若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項(xiàng)的和為，求正整數(shù)的值．23．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且.直線是過點(diǎn)的任意一條直線．(1)求動(dòng)點(diǎn)所在曲線的軌跡方程；(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(3)(理科)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)(點(diǎn)不同于點(diǎn))，直線與直線交于點(diǎn)，求證：是定值．(文科)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求以的長(zhǎng)為直徑且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．

黃浦區(qū)2022學(xué)年度第一學(xué)期高三班級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(文理合卷)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(2021年1月8日)說明：1．本解答僅列出試題的一種解法，假如考生的解法與所列解答不同，可參考解答中的評(píng)分精神進(jìn)行評(píng)分．2．評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要由于考生的解答中消滅錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱，當(dāng)考生的解答在某一步消滅錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未轉(zhuǎn)變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度打算后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，假如有較嚴(yán)峻的概念性錯(cuò)誤，就不給分．一、填空題1．；8．；2．；9． ；3．；10．；4．；11．；5．；12．；6．；13．(理)；(文)；7．；14．(理)；(文)．二、選擇題：15．B16．C17．A18．C三、解答題19．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分６分，第2小題滿分６分．解(1)聯(lián)結(jié)，在長(zhǎng)方體中，有.又是直角三角形的一個(gè)銳角，∴就是異面直線所成的角.由，可算得.∴，即異面直線所成角的大小為.(理)(2)由題意可知，點(diǎn)到底面的距離與棱的長(zhǎng)相等．∴．∵，∴．(文)(2)由題意可知，點(diǎn)到底面的距離與棱的長(zhǎng)相等．∴．∵，∴．20．(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分６分，第2小題滿分６分．解(1)∵，∴.由，解得.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)∵在中，，∴解得.又，∴.依據(jù)正弦定理，有.∴.∴.21．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．解(1)，.又，..由，可解得.，.(理)證明(2)由(1)可知，.可求得函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)任意，有，所以，函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，于是，在上單調(diào)遞減.因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減.依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的圖像也是不間斷的光滑曲線.又,所以，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn)，且.(文)(2)答：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.理由：由(1)可知，.可求得函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)任意，有，所以，函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，于是，在上單調(diào)遞減.因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減.依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.22．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，第3小題滿分7分．解(1)答：數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.理由：在函數(shù)的圖像上，，.又，∴．∴數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.證明(2)，.又,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列..(理)(3)由題意可知，無窮等比數(shù)列的首項(xiàng),公比，．化簡(jiǎn)，得．若，則.這是沖突！.又時(shí)，,..(文)(3)由題意可知，無窮等比數(shù)列的首項(xiàng),公比，．化簡(jiǎn)，得．若，則.這是沖突！.又時(shí)，,..23．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．解(1)依據(jù)題意，可得點(diǎn).．又，.所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.(2)若直線軸，則可求得，這與已知沖突，因此滿足題意的直線不平行于軸．設(shè)直線的斜率為，則．由得．設(shè)點(diǎn)，有且恒成立(因點(diǎn)在橢圓內(nèi)部)．又，于是，，即，解得．所以，所求直線．(理)證明(3)直線與線段交于點(diǎn)