【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第8章-第2節(jié)-簡單幾何體的面積與體積

第八章其次節(jié)一、選擇題1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(28,3)π B．eq\f(16,3)πC．eq\f(4,3)π＋8 D．12π[答案]A[解析]由三視圖可知，該幾何體為底面半徑是2，高為2的圓柱體和半徑為1的球體的組合體，分別計算其體積相加得π×22×2＋eq\f(4,3)π＝eq\f(28,3)π.2．某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，主視圖是一個底邊長為8、高為5的等腰三角形，左視圖是一個底邊長為6、高為5的等腰三角形，則該幾何體的體積為()A．24 B．80C．64 D．240[答案]B[解析]結(jié)合題意知該幾何體是四棱錐，棱錐底面是長和寬分別為8和6的矩形，棱錐的高是5，可由錐體的體積公式得V＝eq\f(1,3)×8×6×5＝80，故選B．3．(文)(2022·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3[答案]B[解析]本題考查三視圖與幾何體的體積計算．考查空間想象力氣與計算力氣．該幾何體的直觀圖為左邊是一個橫放的棱柱，右邊是一個長方體．V＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90(cm3)對三視圖的想象還原關(guān)鍵是“長對正、高平齊、寬相等”．(理)(2022·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2[答案]D[解析]本題考查三視圖及幾何體表面積公式，由三視圖還原后表面積S＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×eq\f(1,2)×3×4＝138，選D．留意利用三視圖還原后幾何體的外形是關(guān)鍵．表面是全面積而不是側(cè)面積．4．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為()A．11 B．12C．21 D．32[答案]C[解析]考查三棱錐體積的求法及等積法的運用．VD－GAC＝VG－ACD，∵G為PB中點，∴VP－GAC＝VB－GAC＝VG－ABC，又S△ABCS△ACD＝12.∴VD－GACVP－GAC＝VG－ACDVG－ABC＝S△ACDS△ABC＝21.5．一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8[答案]B[解析]由正視圖知四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，又由于側(cè)棱長相等，所以棱錐是正四棱錐，斜高h(yuǎn)′＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).6．(2021·濟南模擬)如圖所示，在正三棱錐S－ABC中，M、N分別是SC、BC的中點，且MN⊥AM，若側(cè)棱SA＝2eq\r(3)，則正三棱錐S－ABC外接球的表面積是()A．12π B．32πC．36π D．48π[答案]C[解析]在正三棱錐S－ABC中，易證SB⊥AC，又MN綊eq\f(1,2)BS，∴MN⊥AC，∵M(jìn)N⊥AM，∴MN⊥平面ACM，∴MN⊥SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90°，即側(cè)面為直角三角形，底面邊長為2eq\r(6).此棱錐的高為2，設(shè)外接球半徑為R，則(2－R)2＋(2eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3))2＝R2，∴R＝3.∴外接球的表面積是36π.故選C．二、填空題7．三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積等于________．[答案]eq\r(3)[解析]依題意有，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).8．(文)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為________cm3[答案]6[解析]本題考查長方體及四棱錐體積等學(xué)問，考查空間想象力氣．連接AC交BD于O點，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD為正方形，∴AO⊥BD．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥面ABCD又AO面ABCD，∴B1B⊥AO.又B1B∩BD＝B，∴AO⊥面B1BDD1，即AO長為四棱錐A－B1BDD1的高，∴AO＝eq\f(AC,2)＝eq\f(3\r(2),2)，S矩B1BDD1＝BB1×BD＝3eq\r(2)×2＝6eq\r(2).∴VA－BB1D1D＝eq\f(1,3)S矩BB1D1D×AD＝eq\f(1,3)×6eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝6.(理)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是________．[答案]92[解析]本題考查了三視圖及直四棱柱的表面積．該幾何體的底面是直角梯形，高為4的直四棱柱，幾何體的表面積是：S＝2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋eq\r(42＋5－22))×4＝92.9．(文)(2022·山東高考)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．[答案]12[解析]本題考查六棱錐的體積、側(cè)面積的基本運算．如圖所示．由體積V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×4·h＝2eq\r(3)求得高h(yuǎn)＝1.取AB中點G，連結(jié)OG、PG.∵OA＝OB，∴AB⊥GO.又PO⊥AB，PO∩GO＝O，∴AB⊥平面PGO，∴AB⊥PG.又PO＝1，GO＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴PG＝2.∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×AB·PG＝3×2×2＝12.(理)(2022·山東高考)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.[答案]eq\f(1,4)[解析]本題考查棱錐的體積計算．如圖所示VP－ABC＝VC－PAB設(shè)三棱錐C－PAB的高為h1VD－ABE＝VE－ABD，設(shè)三棱錐E－ABD的高為h2∴eq\f(h2,h1)＝eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,2)，又S△PAB＝2S△ABD∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S△ABD·h2,\f(1,3)S△PAB·h1)＝eq\f(1,4).三、解答題10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)證明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱錐C1－ABA1的體積．[解析](1)如圖，連接AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1又∵AB＝AA1，∴四邊形ABB1A1∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝eq\r(5)，∴AC＝A1C1＝1，由(1)知，A1C1⊥平面ABA1∴VC1－ABA1＝eq\f(1,3)S△ABA1·A1C1＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).一、選擇題1．(2021·大連模擬)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，則四周體A－BCD的外接球的體積為()A．eq\f(125,12)π B．eq\f(125,9)πC．eq\f(125,6)π D．eq\f(125,3)π[答案]C[解析]外接球直徑為AC，∴半徑為eq\f(5,2).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\f(5,2))3＝eq\f(125,6)π.2．已知三棱錐O－ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y(tǒng)，若x＋y＝4，則三棱錐體積的最大值是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．eq\f(4,3)[答案]B[解析]由條件可知V三棱錐O—ABC＝eq\f(1,6)OA·OB·OC＝eq\f(1,6)xy≤eq\f(1,6)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(2,3)，當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時，取得最大值eq\f(2,3).二、填空題3．(2021·金華模擬)四棱錐P－ABCD的頂點P在底面ABCD中投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐P－ABCD的體積為________．[答案]eq\f(1,3)a3[解析]易知該四棱錐中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面是邊長為a的正方形，故體積V＝eq\f(1,3)a2×a＝eq\f(1,3)a3.4．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于________cm3.[答案]24[解析]本題考查了三視圖及幾何體的體積問題．由幾何體的三視圖可知該幾何體的圖形為三棱柱去掉一個三棱錐，故V＝V三棱柱－V三棱錐＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24.三、解答題5．在底面直徑和高均為2R的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的底面半徑和高分別為多少時，它的體積最大？[解析]依據(jù)題意作如圖所示的截面．設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r(0<r<R)，體積為V，則eq\f(h,2R)＝eq\f(R－r,R)，∴h＝2(R－r)，∴V＝πr2h＝2πr2(R－r)＝2πRr2－2πr3.∴V′＝4πRr－6πr2，由V′＝0得r＝eq\f(2,3)R，當(dāng)r＝eq\f(2,3)R時，圓柱的體積V取得最大值，此時圓柱的高h(yuǎn)＝2(R－eq\f(2,3)R)＝eq\f(2,3)R.6．某高速大路收費站入口處的平安標(biāo)識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐P－EFGH，下半部分是長方體ABCD－EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識墩的主(正)視圖和俯視圖．(1)請畫出該平安標(biāo)識墩的左(側(cè))視圖；(2)求該平安標(biāo)識墩的體積；(3)證明：直線BD⊥平面PEG.[解析](1)該平安標(biāo)識墩左(側(cè))視圖如圖所示．(2)該平安標(biāo)識墩的體積V＝VP－E