2022屆【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】數(shù)學(xué)一輪(浙江專用-理科)-第四章-課時(shí)作業(yè)-4-3

第3講平面對量的數(shù)量積基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2022·大綱全國卷)已知a，b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故選B.答案B2．(2022·云南統(tǒng)一檢測)已知平面對量a與b的夾角等于eq\f(π,3)，若|a|＝2，|b|＝3，則|2a－3b|＝()A.eq\r(57)B.eq\r(61)C．57D．61解析由題意可得a·b＝|a|·|b|coseq\f(π,3)＝3，所以|2a－3b|＝eq\r(2a－3b2)＝eq\r(4|a|2＋9|b|2－12a·b)＝eq\r(16＋81－36)＝eq\r(61)，故選B.答案B3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，則tanx的值等于()A．1B．－1C.eq\r(3)D.eq\f(\r(2),2)解析設(shè)a與b的夾角為θ.由|a·b|＝|a||b|，得|cosθ|＝1，所以向量a與b共線，則sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x.又x∈(0，π)，所以2cosx＝2sinx，即tanx＝1.答案A4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)解析法一以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，F(xiàn)(x,2)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(x－eq\r(2)，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＝eq\r(2)，解得x＝1，∴F(1,2)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\r(2).法二eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AF,\s\up6(→))|cos∠BAF＝eq\r(2)，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|cos∠BAF＝1，即|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1，∴|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)－1，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(2)×(eq\r(2)－1)×(－1)＋1×2×1＝eq\r(2).答案B5．(2022·大慶二模)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)解析由題意作圖(如圖)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，結(jié)合向量的幾何意義可知∠ABD＝∠CAB＝eq\f(π,6)，故向量a＋b與a－b的夾角為eq\o(AC,\s\up6(→))與Beq\o(D,\s\up6(→))的夾角，為eq\f(2π,3)，選D.答案D二、填空題6．(2022·上海八校聯(lián)合調(diào)研)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影為________．解析依題意得a·b＝－1，|b|＝eq\r(2)，因此向量a在向量b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝－eq\f(\r(2),2).答案－eq\f(\r(2),2)7．(2022·江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.解析由于a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2eq\r(2)，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝9－9×1×1×eq\f(1,3)＋2＝8，所以cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).答案eq\f(2\r(2),3)8．(2022·四川卷)平面對量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝______.解析a＝(1,2)，b＝(4,2)，則c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c與a的夾角等于c與b的夾角，∴eq\f(c·a,|c|·|a|)＝eq\f(c·b,|c|·|b|)，∴eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,2\r(5))，解得m＝2.答案2三、解答題9．已知平面對量a＝(eq\r(3)，－1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)證明：a⊥b；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)．(1)證明∵a·b＝eq\r(3)×eq\f(1,2)－1×eq\f(\r(3),2)＝0，∴a⊥b.(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝eq\f(t3－3t,4)(t≠0)．10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積．解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13).(3)∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ＝eq\f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).力氣提升題組(建議用時(shí)：35分鐘)11．(2022·浙江卷)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設(shè)a，b為平面對量，則()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析對于min{|a＋b|，|a－b|}與min{|a|，|b|}，相當(dāng)于平行四邊形的對角線長度的較小者與兩鄰邊長的較小者比較，它們的大小關(guān)系不定，因此A，B均錯(cuò)；而|a＋b|，|a－b|中的較大者與|a|，|b|可構(gòu)成非銳角三角形的三邊，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此選D.答案D12．(2021·金華質(zhì)量檢測)在△ABC中，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心解析假設(shè)BC的中點(diǎn)是O.則eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2Aeq\o(O,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即(Aeq\o(O,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MO,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心，選C.答案C13．(2022·東北三省四市聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，a)，a∈R，點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，λ∈R，|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝72，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為________．解析點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，a)，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|≥3，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，則O，P，A三點(diǎn)共線，|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OP,\s\up6(→))|＝72，故|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(72,|\o(OA,\s\up6(→))|).設(shè)OP與x軸夾角為θ，則OP在x軸上的投影長度為|eq\o(OP,\s\up6(→))|cosθ＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|eq\f(3,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\f(216,|\o(OA,\s\up6(→))|2)≤24，即線段OP在x軸上的投影長度的最大值為24.答案2414．已知平面上三點(diǎn)A，B，C，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－k,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,4)．(1)若三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件；(2)若△ABC為直角三角形，求k的值．解(1)由三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，得A，B，C在同始終線上，即向量Beq\o(C,\s\up6(→))與Aeq\o(C,\s\up6(→))平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－k,3)，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝(k－2，－3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝(k,1)．若△ABC為直角三角形，則當(dāng)A是直角時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2；當(dāng)B是直角時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即Aeq\o(B,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；當(dāng)C是直角時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))·