【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：2.3-典例分析：應(yīng)用性問題

應(yīng)用性問題1．三角形中的有關(guān)公式（正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等）；2．正弦定理和余弦定理解三角形的常見問題有：測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等；3．實(shí)際問題中有關(guān)術(shù)語、名稱．（1）仰角和俯角：在目標(biāo)視線和水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角；在水平視線下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線水平角．典例分析例1．(1)（）（A）（B）（C）（D）3解：C提示：利用余弦定理（2）甲、乙兩樓相距，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?，則甲、乙兩樓的高分別是（）ABCD解：A（3）一只汽球在的高空飛行，汽球上的工件人員測得前方一座山頂上A點(diǎn)處的俯角為，汽球向前飛行了后，又測得A點(diǎn)處的俯角為，則山的高度為（）ABCD解：B（4）已知輪船A和輪船B同時(shí)離開C島，A向北偏東方向，B向西偏北方向，若A的航行速度為25nmi/h，B的速度是A的，過三小時(shí)后，A、B的距離是．解：90.8nmi(5)貨輪在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向?yàn)榉轿唤?，A處有燈塔，其方位角，在C處觀測燈塔A的方位角，由B到C需航行半小時(shí)，則C到燈塔A的距離是解：km提示：由題意知，利用余弦定理或解直角三角形可得。變式訓(xùn)練1：如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救．甲船馬上前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？北2010AB?C解：連接BC,由余弦定理得BC北2010AB?C于是,BC=10.∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.例2.在某海濱城市四周海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)檢測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增加，問幾小時(shí)后該城市開頭受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？持續(xù)多長時(shí)間？解：設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q,此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km)若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即解得答：12小時(shí)后該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，侵襲的時(shí)間將持續(xù)12小時(shí)．變式訓(xùn)練2：如圖所示,海島A四周38海里內(nèi)有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B處測得島A在船的南偏東方向上，船航行30海里后，在C處測得島A在船的南偏東方向上，假如此船不轉(zhuǎn)變航向，連續(xù)向南航行，有無觸礁危急？解：由題意得，在△ABC中，BC=30，，所以，由正弦定理可知：所以，于是A到BC所在直線的距離為所以船連續(xù)向南航行無觸礁危急。例3.如圖所示，公園內(nèi)有一塊邊長的等邊△ABC外形的三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.（1）設(shè)AD，ED，求用表示的函數(shù)關(guān)系式；（2）假如DE是澆灌水管，為節(jié)省成本期望它最短，DE的位置應(yīng)當(dāng)在哪里？假如DE是參觀線路，則期望它最長，DE的位置又在哪里？請賜予證明.解：（1）在△ABC中，D在AB上，S△ADE=S△ABC，在△ADE中，由余弦定理得：（2）令，則則令，則；有最小值，此時(shí)DE∥BC，且有最大值，此時(shí)DE為△ABC的邊AB或AC的中線上.變式訓(xùn)練3：水渠道斷面為等腰梯形，如圖所示，渠道深為，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小，此時(shí)下底角應(yīng)當(dāng)是多少？解：設(shè)，則，所以設(shè)兩腰與下底之和為，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以下角時(shí)，梯形兩腰及下底之和達(dá)到最?。?.如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？解：設(shè)，在△AOB中，由余弦定理得：于是，四邊形OACB的面積為S=S△AOB+S△ABC由于，所以當(dāng)，，即時(shí)，四邊形OACB面積最大．變式訓(xùn)練4：如圖所示，某海島上一觀看哨A上午11時(shí)測得一輪船在海島北偏東的C處，12時(shí)20分測得船在海島北偏西的B處，12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5km的E港口，假如輪船始終勻速直線前進(jìn)，問船速多少？解：輪船從C到B用時(shí)80分鐘，從B到E用時(shí)