2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.7-利用空間向量研究直線、平面間的位置關(guān)系算-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.7-利用空間向量研究直線、平面間的位置關(guān)系算-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．已知直線l的一個(gè)方向向量為m＝(x，2，－5)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(3，－1，2).若l∥α，則x等于()A．－6 B．6C．－4 D．42．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定3．(多選)已知空間中三點(diǎn)A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則下列結(jié)論正確的有()A．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量B．與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量是(1，1，0)C．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))夾角的余弦值是－eq\f(\r(55),11)D．平面ABC的一個(gè)法向量是(1，－2，5)4．已知直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一個(gè)法向量是n＝(2，3，3).若l⊥α，則a＋b＝________．5．平面α的法向量為n＝(1，－1，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0，－1)，那么直線AB與平面α的關(guān)系是________．6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)．(1)用向量法證明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用向量法證明MN⊥平面A1BD.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(多選)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是()A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，則l1∥l2B．兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，則α⊥βC．直線l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，則l⊥αD．直線l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，則l∥α2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M為BC的中點(diǎn)，eq\o(C1N,\s\up6(→))＝λeq\o(NC,\s\up6(→))，且AB1⊥MN，則λ的值為_(kāi)_______．3．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))，eq\o(VM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→))，eq\o(VN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))，則VA與平面PMN的位置關(guān)系是________．4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中點(diǎn)，PA＝AB.(1)求證：AM⊥平面PBD；(2)設(shè)直線AM與平面PBD交于O，求證：AO＝2OM.5．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．解析：若l∥α，則m⊥n，從而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.答案：D2．解析：分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(C1D1,\s\up6(→))是平面BB1C1C的一個(gè)法向量，且MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.答案：B3．解析：對(duì)于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，不存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不是共線向量，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，所以與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)，0))，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，1，1)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(55),11)，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)平面ABC的法向量是n＝(x，y，z).因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,－x＋2y＋z＝0.))令x＝1，則n＝(1，－2，5)，所以D正確．答案：CD4．解析：∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直線l的方向向量，n＝(2，3，3)是平面α的一個(gè)法向量，l⊥α，∴m∥n，∴eq\f(1,2)＝eq\f(a＋2b,3)＝eq\f(a－1,3)，解得a＝eq\f(5,2)，b＝－eq\f(1,2)，∴a＋b＝2.答案：25．解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·n＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥n，則AB∥α或AB?α.答案：AB∥α或AB?α6．證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2).設(shè)平面A1BD的法向量為m＝(x，y，z)，因?yàn)閑q\o(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))所以取m＝(－1，1，1)，同理平面B1CD1的一個(gè)法向量為n＝(－1，1，1)，所以m∥n，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)因?yàn)镸，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，又由(1)知，平面A1BD的一個(gè)法向量為m＝(－1，1，1)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥m，所以MN⊥平面A1BD.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．解析：對(duì)于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，則b＝－a，所以l1∥l2，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，則u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，直線l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，則a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，則u＝－eq\f(5,3)a，所以l⊥α，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：AB2．解析：如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)P，連接MP，以eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，2))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，2))，M(0，0，0).設(shè)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，t))，因?yàn)閑q\o(C1N,\s\up6(→))＝λeq\o(NC,\s\up6(→))，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ)))，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，2))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ))).又因?yàn)锳B1⊥MN，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0，所以－eq\f(1,4)＋eq\f(4,1＋λ)＝0，解得λ＝15.答案：153．解析：如圖，設(shè)eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，由題意知eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up6(→))，∴eq\o(VA,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))共面．又∵VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.答案：平行4．證明：(1)由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)PA＝AB＝2，則A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，0，－2)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1，1，1).設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝2x－2z＝0，,n·\o(PD,\s\up6(→))＝2y－2z＝0，))取x＝1，得n＝(1，1，1).∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝n，∴AM⊥平面PBD.(2)如圖，連接AC交BD于點(diǎn)E，則E是AC的中點(diǎn)，連接PE，∵AM∩平面PBD＝O，∴O∈AM且O∈平面PBD.∵AM?平面PAC，∴O∈平面PAC.又平面PBD∩平面PAC＝PE，∴O∈PE，∴AM，PE的交點(diǎn)就是O，連接ME.∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴PA∥ME，PA＝2ME，∴△PAO∽△EMO，∴eq\f(PA,ME)＝eq\f(AO,OM)＝eq\f(2,1)，∴AO＝2OM.5．(1)證明：以A為原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0))，B1(a，0，1).故eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0，1，1)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\r