2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.1-橢圓-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.1-橢圓-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0))，則m＝()A.9 B．4C.3 D．22．設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，則a＝()A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\r(6)3．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(0，4)，離心率為eq\f(3,5)，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝14．“4＜k＜10”是“方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,10－k)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上．若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|PF1|·|PF2|＝()A.1 B．2C.4 D．56．(多選)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B.離心率e＝eq\f(\r(6),2)C.△PF1F2面積的最大值為eq\r(2)D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－eq\r(2)＝0相切7．(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C上一點(diǎn)，則()A.橢圓C的離心率為eq\f(\r(2),2)B.△PF1F2的周長為5C.∠F1PF2＜90°D.1≤|PF1|≤38．(多選)如圖所示，一個(gè)底面半徑為eq\r(2)的圓柱被與其底面成45°角的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則()A.橢圓的長軸長為4B.橢圓的離心率為eq\f(\r(2),4)C.橢圓的方程可以為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2－eq\r(2)9．若橢圓eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,3－k)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面積為9，則b＝________．11．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于eq\f(4,5)，則橢圓E的離心率的取值范圍是________．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝()A.eq\f(5,4) B．eq\f(5,2)C.5 D．eq\f(5,3)2．已知離心率為eq\f(\r(5),3)的橢圓C的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)，則eq\f(m＋n,m－n)＝()A.2 B．eq\f(12,5)C.eq\f(13,5) D．33．法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的蒙日?qǐng)A為C：x2＋y2＝eq\f(4,3)a2，則橢圓Γ的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)4．已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)為E上一動(dòng)點(diǎn)，且|x0|≤1.若I為△PF1F2的內(nèi)心，則△IF1F2面積的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),3)，\f(\r(6)－\r(2),2))) D．[eq\r(6)－eq\r(2)，3－eq\r(3)]5．(多選)已知曲線C：x2＋y2cosα＝1，α∈[0，π]，則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C可能是圓，也可能是直線B.曲線C可能是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，α越大，橢圓越圓D.當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，它的離心率有最小值，且最小值為eq\r(2)6．(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，且tan∠BF1F2＝eq\r(15)，點(diǎn)P在C上，線段PF1與BF2交于Q，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF2,\s\up6(→))，則()A.橢圓C的離心率為eq\f(1,4)B.橢圓C上存在點(diǎn)K，使得KF1⊥KF2C.直線PF1的斜率為eq\f(\r(15),5)D.PF1平分∠BF1F27．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距為2eq\r(3)，離心率為eq\f(\r(3),2)，則求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________；若點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B在橢圓C上，則線段AB長度的最大值為________．8．橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是________．9．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且eq\f(|PF2|,|PQ|)＝eq\f(5,12)，則橢圓C的離心率為________．10．已知A，B分別是橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，|PA|＝λ|PB|且滿足∠PBA＝2∠PAB，則λ＝________．參考答案【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．解析：由題意得：m2＝25－42＝9.因?yàn)閙>0，所以m＝3.答案：C2．解析：∵e2＝eq\r(3)e1，∴eeq\o\al(2,2)＝3eeq\o\al(2,1)，∴1－eq\f(1,4)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))，解得a2＝eq\f(4,3).又a＞1，∴a＝eq\f(2\r(3),3).答案：A3．解析：依題意b＝4，又eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，且a2＝b2＋c2，∴a＝5，c＝3，故橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：D4．解析：方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,10－k)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－4＞0，10－k＞0，10－k＞k－4，))解得4＜k＜7，故“4＜k＜10”是“方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,10－k)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件．答案：B5．解析：法一：由題意知，a2＝5，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，則|F1F2|＝2c＝4.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝16，即(2eq\r(5))2－2|PF1||PF2|＝16，得|PF1||PF2|＝2.法二：由題意可知a2＝5，b2＝1，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝1.又S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝2.答案：B6．解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，所以A選項(xiàng)正確．對(duì)于B選項(xiàng)，依題意a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于C選項(xiàng)，|F1F2|＝2c＝2，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積取得最大值，為eq\f(1,2)·2c·b＝c·b＝1，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為c＝1，圓心到直線x＋y－eq\r(2)＝0的距離為eq\f(\r(2),\r(2))＝1，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－eq\r(2)＝0相切，所以D選項(xiàng)正確．答案：AD7．解析：∵橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故A不正確；△PF1F2的周長為2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正確；在△PF1F2中，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到橢圓C的短軸端點(diǎn)處時(shí)，∠F1PF2最大，由余弦定理可得，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(a2＋a2－4c2,2a2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正確；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正確．答案：CD8．解析：圓柱的底面半徑是eq\r(2)，直徑是2eq\r(2)，所以橢圓的長軸長2a＝eq\f(2\r(2),cos45°)＝4，a＝2，短軸長2b＝2eq\r(2)，b＝eq\r(2)，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值是a－c＝2－eq\r(2).答案：ACD9．解析：因?yàn)闄E圓eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,3－k)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，所以3－k＞k－1＞0，解得1＜k＜2.答案：(1，2)10．解析：設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.答案：311．解析：取橢圓的左焦點(diǎn)F1，連接AF1，BF1(圖略).由橢圓的對(duì)稱性知四邊形AF1BF是平行四邊形，∴|AF|＋|BF|＝|AF1|＋|AF|＝2a＝4，∴a＝2.不妨設(shè)M(0，b)，則eq\f(|3×0－4b|,\r(32＋42))≥eq\f(4,5)，∴b≥1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).又0<e<1，∴0<e≤eq\f(\r(3),2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．解析：在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中，a＝5，b＝3，則c＝eq\r(a2－b2)＝4，故點(diǎn)A，C為橢圓的焦點(diǎn)，因此，eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|AB|,|AC|)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(5,4).答案：A2．解析：由題意，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(m－n),\r(m))＝eq\f(\r(5),3)，即eq\f(m－n,m)＝eq\f(5,9)，可得m＝eq\f(9,4)n，則eq\f(m＋n,m－n)＝eq\f(\f(9,4)n＋n,\f(9,4)n－n)＝eq\f(13,5).答案：C3．解析：如圖，AC，BC分別與橢圓相切，顯然AC⊥BC.所以點(diǎn)C(a，b)在蒙日?qǐng)Ax2＋y2＝eq\f(4,3)a2上，所以a2＋b2＝eq\f(4,3)a2，所以a2＝3b2，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以橢圓Γ的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3).答案：D4．解析：由橢圓的方程可得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，c＝1，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2c·|y0|＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·r，可得r＝eq\f(|y0|,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)－1,2)|y0|，而eq\f(xeq\o\al(2,0),3)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，所以|y0|＝eq\r(2)·eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3))，所以r＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)·eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3))，所以S△IF1F2＝eq\f(1,2)·2c·r＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6)－\r(2),2)×eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3))＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)·eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3)).因?yàn)閨x0|≤1，所以S△IF1F2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)×\f(\r(6),3)，\f(\r(6)－\r(2),2)))，即S△IF1F2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),3)，\f(\r(6)－\r(2),2))).答案：C5．解析：對(duì)于A，當(dāng)cosα＝0時(shí)，曲線C的方程為x2＝1，可得x＝±1，此時(shí)曲線C為兩條直線；當(dāng)cosα＝1時(shí)，曲線C的方程為x2＋y2＝1，此時(shí)曲線C是一個(gè)圓，故A正確．對(duì)于B，當(dāng)0＜cosα＜1時(shí)，eq\f(1,cosα)＞1，曲線C的方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1，此時(shí)曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosα∈(0，1)，橢圓C：x2＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1的焦點(diǎn)在y軸上，a＝eq\r(\f(1,cosα))，b＝1，當(dāng)a，b越接近時(shí)，橢圓越圓，而α越大，cosα越小，則a越大，a與b相差越大，則橢圓越扁，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)－1≤cosα＜0時(shí)，曲線C的方程為x2－eq\f(y2,－\f(1,cosα))＝1，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，此時(shí)離心率為e＝eq\r(1－\f(1,cosα))，由－1≤cosα＜0，可得e≥eq\r(2)，即它的離心率有最小值，且最小值為eq\r(2)，故D正確．答案：ABD6．解析：由題意，知F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，B(0，b)，所以tan∠BF1F2＝eq\f(|OB|,|OF1|)＝eq\f(b,c)＝eq\r(15)，所以b＝eq\r(15)c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝4c，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,16c2)＋eq\f(y2,15c2)＝1.因?yàn)閑q\o(BQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF2,\s\up6(→))，所以Q為線段BF2上靠近點(diǎn)F2的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2c,3)，\f(\r(15),3)c)).對(duì)于A，橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，A正確；對(duì)于B，設(shè)K(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),16c2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),15c2)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝15c2－eq\f(15xeq\o\al(2,0),16).因?yàn)閑q\o(KF1,\s\up6(→))·eq\o(KF2,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－c2＝eq\f(xeq\o\al(2,0),16)＋14c2＞0，B不正確；對(duì)于C，kPF1＝kQF1＝eq\f(\f(\r(15),3)c－0,\f(2c,3)－(－c))＝eq\f(\r(15),5)，C正確；對(duì)于D，直線BF1的方程為y＝eq\r(15)(x＋c)，即eq\r(15)x－y＋eq\r(15)c＝0，點(diǎn)Q到直線BF1的距離d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(15)×\f(2c,3)－\f(\r(15),3)c＋\r(15)c)),\r((\r(15))2＋(－1)2))＝eq\f(\r(15)c,3).又點(diǎn)Q到直線F1F2的距離d2＝y(tǒng)Q＝eq\f(\r(15),3)c，所以d1＝d2，PF1平分∠BF1F2，D正確．答案：ACD7．解析：依題意得2c＝2eq\r(3)，c＝eq\r(3)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.設(shè)B(x，y)，則eq\f(x2,4)＋y2＝1，得|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4－4y2＋y2－2y＋1＝－3y2－2y＋5＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(16,3)，其中－1≤y＜1.所以當(dāng)y＝－eq\f(1,3)時(shí)，|AB|max＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(x2,4)＋y2＝1eq\f(4\r(3),3)8．解析：由橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可知左頂點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(－2，0)，頂點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)P(x0，y0)(x0≠±2)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，得eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).∵kPA1＝eq\f(y0,x0＋2)，kPA2＝eq\f(y0,x0－2)，∴kPA1·kPA2＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).又∵－2≤kPA2≤－1，∴－2≤－eq\f(3,4kPA1)≤－1，解得eq\f(3,8)≤kPA1≤eq\f(3,4)，即PA1斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\