烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第21頁(yè)/共21頁(yè)烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月考數(shù)學(xué)試題總分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（8小題每題5分共40分）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等式化簡(jiǎn)出，即可得到，則可選出答案.【詳解】因?yàn)?所以.所以，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限.故選：B.2.已知集合，，若，則A. B. C.或 D.或或【答案】C【解析】【詳解】試題分析：∵集合，，，∴或才能滿足集合的互異性.故選C.考點(diǎn)：集合中子集的概念與集合中元素的互異性.3.某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A.9 B.18 C.27 D.36【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個(gè)數(shù)，算出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個(gè)數(shù)，得到結(jié)果．設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應(yīng)抽取×90=18人．故選B．考點(diǎn)：分層抽樣點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)分層抽樣問(wèn)題，容易出錯(cuò)的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)，但一般不難，故也是一個(gè)重要的得分點(diǎn)，不容錯(cuò)過(guò)4.若函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則=()A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性與奇偶性，將轉(zhuǎn)化到范圍內(nèi)，再代入解析式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是周期為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，故選:B．5.已知橢圓C1：=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2﹣=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn).若C1恰好將線段AB三等分，則（）A.a2= B.a2=3 C.b2= D.b2=2【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程確定一條漸近線方程為y=2x，根據(jù)對(duì)稱性易知AB為圓直徑且AB=2a，利用橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，得方程，再結(jié)合條件可得，即可得結(jié)論．【詳解】由題意,C2的焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為y=2x，根據(jù)對(duì)稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a，∴C1的半焦距,于是得①設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,2m),代入C1的方程得：②，由對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)，由題得：,所以③由②③得④由①④得故選：C.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】參變分離，得到在區(qū)間上恒成立，求出，從而得到答案.【詳解】由題意，知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C．7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系與半角公式求解即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，，所以，，所以，則，故選：B.8.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列判斷一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件及取等比數(shù)列進(jìn)行驗(yàn)證，利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)于A，等比數(shù)列滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等比數(shù)列滿足，但是，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，等比數(shù)列滿足，但是，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，由，所以等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故正確；若，由或，當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故正確；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故正確；故D正確.故選：D.二、多選題（共4小題每題五分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.如圖1，在中，，，，DE是的中位線，沿DE將進(jìn)行翻折，連接AB，AC得到四棱錐（如圖2），點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為B.四棱錐的體積的最大值為C.若三角形ACE為正三角形，則點(diǎn)F到平面ACD的距離為D.若異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C兩點(diǎn)間的距離為2【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)圓錐的表面積公式即可判斷A,由銳角三角函數(shù)結(jié)合錐體的體積公式可表達(dá)出體積關(guān)系式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B,根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可得垂直以及平行，結(jié)合等面積法得即可求解C,由線線角的幾何法求解，結(jié)合余弦定理即可判斷D.【詳解】由題意，在中，，，，DE是的中位線，∴，，，∴，，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為底面半徑為，高為的半個(gè)圓錐，∴三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，∴四棱錐的體積為：，在中，，∴，∴四棱錐的體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，D項(xiàng)，當(dāng)三角形ACE為正三角形時(shí)，，，取中點(diǎn)為,的中點(diǎn)，連接，，連接，在中，，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，由于分別是的中點(diǎn)，所以,,,因此四邊形為平行四邊形，故由于平面,所以平面,平面,所以,因此四邊形為矩形，則由于,所以平面,平面,所以，在中，，∴，為的中點(diǎn)，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，，∴，而平面，即有平面，又平面，因此平面平面，而平面平面，所以點(diǎn)F到平面ACD的距離等于點(diǎn)F到直線DG的距離，則，，在中，在矩形中，，，，設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為，在中，，即，解得：，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,由于,所以四邊形為平行四邊形，故，又，此時(shí)即為異面直線AC與BD所成的角或補(bǔ)角，由于，,,由余弦定理，解得，則A,C兩點(diǎn)間的距離為，故D錯(cuò)誤；故選：AB.10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為B.的最小值為6C.若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線l的斜率為2D.當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，利用拋物線的定義結(jié)合題意可求出的值，從而可得拋物線方程，對(duì)于B，過(guò)P作PE垂直于準(zhǔn)線于E，結(jié)合圖形利用拋物線的定義求解，對(duì)于C，利用點(diǎn)差法求解，對(duì)于D，利用拋物線的定義求解詳解】，故，，故，A錯(cuò)誤；過(guò)P作PE垂直于準(zhǔn)線于E，則，當(dāng)P，E，M三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B正確；設(shè)，，若AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則，則，，相減得到，所以直線l的斜率，故C錯(cuò)誤；如圖所示：G為AF中點(diǎn)，故，故AF為直徑的圓與y軸相切，故D正確．故選：BD．11.下列四個(gè)命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得；選項(xiàng)B運(yùn)用換元法可求函數(shù)的值域；選項(xiàng)C根據(jù)二次函數(shù)區(qū)間根問(wèn)題求參數(shù)可得；選項(xiàng)D根據(jù)分段函數(shù)在上增函數(shù)可得.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的中，得，故A正確；選項(xiàng)B：設(shè)，得，則，對(duì)稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則，得，故C正確；選項(xiàng)D：若在上是增函數(shù)，則，得，故D正確.故選：ACD12.從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）A.2個(gè)球都是紅球的概率為 B.2個(gè)球中恰有一個(gè)紅球的概率為C.至少有1個(gè)紅球的概率為 D.2個(gè)球不都是紅球的概率為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)直接乘法公式計(jì)算；B選項(xiàng)分甲袋紅球和乙袋紅球兩種情況；C、D選項(xiàng)先計(jì)算對(duì)立事件概率.【詳解】對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.已知向量為單位向量，向量，且，則向量、的夾角為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】對(duì)兩邊平方解出，代入數(shù)量積的定義式解出夾角.【詳解】向量為單位向量，向量，，，，，即，解得.設(shè)向量、的夾角為，則，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】求解平面向量的夾角主要是平面向量數(shù)量積的定義式，在涉及到平面向量模的等式時(shí)，一般將等式進(jìn)行平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.14.已知正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為4，下底邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為_(kāi)_______.【答案】112【解析】【分析】根據(jù)已知條件，分別計(jì)算出上、下底面面積以及棱臺(tái)的高，代入棱臺(tái)體積公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底邊長(zhǎng)為4，下底邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以棱臺(tái)的下底面積，上底面積，高，所以正四棱臺(tái)的體積.故答案為：112.15.已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為的弦，則______．【答案】【解析】【分析】求出直線的方程后，利用點(diǎn)到直線的距離求出弦心距，再根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.【詳解】依題意可得直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，由圓心到直線的距離可得弦心距，所以.故答案為：16.集合的子集的個(gè)數(shù)是__________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)分別給k在一個(gè)周期內(nèi)的值，并求出對(duì)應(yīng)的x值，即求出集合A，再由集合A中元素的個(gè)數(shù)求出它的子集的個(gè)數(shù)．【詳解】由題意的周期為6，,令k分別為0、1、2、3、4、5、6，∴x＝sin的值對(duì)應(yīng)為：0、，，0，，，0，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性知，A＝{，0，}，故它的子集的個(gè)數(shù)是23＝8個(gè)，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的周期性和特殊角的正弦值，以及集合的子集個(gè)數(shù)的確定，主要利用結(jié)論：若集合中元素的個(gè)數(shù)是n，則它的子集個(gè)數(shù)是2n個(gè)．四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)根據(jù)答題卡題號(hào)及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無(wú)效.）17.如圖，在△中，，，點(diǎn)，是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持不變，設(shè)．（1）寫(xiě)出的取值范圍，并分別求線段，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求△面積的最小值．【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，在△、△中應(yīng)用正弦定理即可求得線段，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）及倍角正余弦公式、輔助角公式可得，結(jié)合的范圍及正弦型函數(shù)的值域求最小值.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，在△中，而，所以，同理，，則.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，所以，則，當(dāng)時(shí)，△面積的最小值為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)于，都滿足，且．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證明數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，再求出即可；

（2）裂項(xiàng)相消求和可解.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，，又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．，經(jīng)驗(yàn)證，時(shí)也成立，．【小問(wèn)2詳解】，．19.某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，…后，畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：（1）求第四小組的頻率，補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù).（2）從被抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.（3）假設(shè)從全市參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中，任意抽取個(gè)學(xué)生，設(shè)這四個(gè)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分以上（包括分）的人數(shù)為（以該校學(xué)生的成績(jī)的頻率估計(jì)概率），求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）分（2）（3）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）通過(guò)各組的頻率和等于，求出第四組的頻率，考查直方圖，求出中位數(shù)即可；（2）分別求出，，的人數(shù)是，，，然后利用古典概型概率求解即可；（3）判斷概率類(lèi)型，即可寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，故第四組的頻率：.直方圖如圖所示.中位數(shù)是，估計(jì)這次考試的中位數(shù)是分.（2），，的人數(shù)是，，，所以從成績(jī)是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率：.（3）因?yàn)?，，，所以其分布列為?12340.24010.41160.26460.07560.0081數(shù)學(xué)期望為.20.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為矩形，平面⊥平面，且.（1）證明:面（2）若與平面所成角為，求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】如圖在梯形中，因?yàn)?，作于，則，所以，所以，連結(jié)，由余弦定理可求得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢嫠云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，面，所以平?【小問(wèn)2詳解】連結(jié)，由（1）可知，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)槠矫?，所以在平面?nèi)的射影為，所以與平面所成的角為，即，在△中，由余弦定理可得：，即，解得.在中，因?yàn)?，所以，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即令，則，，故，…設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，所以，故銳二面角的余弦值為.21.已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線m的方程為：，過(guò)點(diǎn)M作ME垂直于直線m交直線m于點(diǎn)E．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于a，b的方程組，再求解作答.（2）設(shè)出直線MN的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理確定直線EN過(guò)的定點(diǎn)，再求出面積的函數(shù)關(guān)系求解作答.【小問(wèn)1詳解】橢圓上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，則，離心率，即，聯(lián)立解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，左焦點(diǎn)，直線MN不垂直于y軸，設(shè)其方程為，由消去x并整理得：，設(shè)，，，則有，直線m：，即有點(diǎn)，直線EN：，令，則，因此，直線EN恒過(guò)定點(diǎn)，而，則