中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案11

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題21函數(shù)與直角三角形的存在性問題

解題策略

以線段18為邊的直角三角形構(gòu)造方法如右圖所示：，

經(jīng)典模型培優(yōu)案

直角三角形的另一個頂點在以月在以4?為直徑的圓上，或過46且與."垂直的直線

上（J,6兩點除外）.一

解直角三角形的存在性問題時，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進行分類討

論.通常這類問題的解題策略有："

（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，后計算.?

如圖，若NACB=90°.過點48作經(jīng)過點C的直線的垂線，垂足分別為￡、F.則4

4區(qū)s△江B.從而得到線段間的關(guān)系式解決問題."

（2）代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據(jù)勾股定理列出方程，然后解方程

并檢驗.~

經(jīng)典例題

【例1】（2022春?綠園區(qū)期末）如圖，在RtzMBC中，NAC8=90°,AC=BC=6,動點。從點A出發(fā),

沿AC以

每秒2個單位長度的速度向終點。運動，過點P作尸Q_LAB于點Q,將線段PQ繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段PR,連結(jié)QR.設(shè)四邊形APRQ與RtA/WC的重疊部分的面積為5,點P的運動時間為/（/>0）

秒.

（1）線段AP的長為21（用含/的代數(shù)式表示）.

（2）當點R恰好落在線段3c上時，求，的值.

（3）求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）當△CPR為直角三角形時，直接寫出/的值.

【分析】（1）由題意可得出答案；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰直隹一角形的性質(zhì)可得出26/=6/萬-血/,則可求出答案；

（3）分兩種情況：①當點”在ZXAC力內(nèi)或NC邊上時，。＜住2,②當2〈自3時，由平行四邊形的面積

公式及三角形面積可得出答案；

（4）可分兩種情況：①當NPCR=90°時，由（2）可知，7=2,②當NCRP=90°,由題意得出入P=

PC,則可求出，的值.

【解答】解：（1）由題意可知，AP=2t,

故答案為：2/：

（2）如圖，

???將線段PQ繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PR,

：?PQ=PR,ZQPR=90°,

-：AP=2t,

：.AQ=PQ=42t,

?**QR=42?匹=2f,

\'AC=BC=6,ZC=90°,

:.AB=6?

???當點R恰好落在線段AC上時，NRCP=90",

：.4CPR=/CRP=4PRQ=45°,

：?/QRB=90",

：?2。=啦低，

/?/=2；

（3）分兩種情況：①當點R在△AC3內(nèi)或4c邊上時，0VK2,

YAP=QR,AQ=PR,

???四邊形APRQ為平行四邊形，

：.S=AQ?PQ=^t*V2t=2r；

②當2VfW3時，由題意知，和為等腰直角三角形，

???CP=CE=6-2t,

:.PE=6版■2心，

：.ER=42t-（6V2-2V2t）=3心?6注,

（3

：?SXt-672）2=3（t-2）2，

AEFR4乙4乙^2乙

?,*5=5四邊形APRQ-S@FR=2t2于（t-2）2=-yt2+18t-18?

乙乙

2t2（t<2）

-ytz+18t-18（2<t<3）

乙

（4）當△€￥>??為直角三角形時，可分兩種情況：

①當NPCR=9（）°時，由（2）可知，/=2,

②當NCRP=90°,由題意可知AQ=PQ=PR=CR,

:.AP=PC,

A2r=6-2r,

?，一3

2

綜上所述，當7=2或3時，△CPR為直角三角形.

2

【例2】（2022春?成華區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，點。為坐標原點，經(jīng)過A（-2,6）的

直線交x軸正半軸于點4,交了軸于點C,OB=OC,直線交x軸負半軸于點D,若△/WO的面積為

27.

（1）求直線AB的表達式和點D的坐標；

（2）橫坐標為〃?的點P在線段A6上（不與點A、4重合），過點。作x軸的平行線交于點E,設(shè)

PE的長為），（yWO）,求），與所之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應的機取值范圍；

（3）在（2）的條件下，在％軸上是否存在點片使△PEf'為等腰直角三角形？若存在求出點尸的坐標：

若不存在，請說明理由.

備用圖1備用圖2

【分析】（I）根據(jù)直線48交/軸正半軸于點8,交），軸于點C,OB=OC,設(shè)出解析式為），=-/〃，把

A的坐標代入求得〃的值，從而求得8的坐標，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出8。的，直，求出0。

的值，從而求出。點的坐標，直接根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式；

（2）先根據(jù)3、A的坐標求出直線AB的解析式，將P點的橫坐標代入直線AB的解析式，求出P的縱

坐標，將，點的縱坐標代入直線AD的解析式就可以求出E的橫坐標，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出

結(jié)論；

（3）要使△PE〃為等腰直角三角形，分三種情況分別以點P、E、尸為直角頂點，根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)求出（2）中〃】的值，就可以求出尸點的坐標.

【解答】解：⑴'：OB=OC,

???設(shè)直線AB的解析式為>'=-x+,n

???直線43經(jīng)過A（-2,6）,

??2+〃=6,

〃=4,

???直線AB的解析式為y=-x+4,

：,B（4,0）,

；?OB=4,

???△48D的面積為27,>4（-2,6）,

**?S^ABD=—■XBDX6=27?

2

1?BD=9,

:.OD=5,

r.D（-5,0）,

設(shè)更線AD的解析式為

.f-2a+b=6

…-5a+b=0'

解得卜;2.

(b=10

???直線AD的解析式為y=2葉：0；

(2)???點尸在A8上，且橫坐標為加，

:.P(，〃,-〃?+4),

,?PE〃x軸，

???E的縱坐標為-〃?+4,

代入y=2x+10得，-6+4=2x+10，

解得

2

.?.E(工-〃?+4),

2

，PE的長y=m-工^~=昆〃?+3；

22

即y=—m+3>(-2<m<4)；

2

(3)在x軸上存在點片使APE/為等腰直角三角形,

①當NFPE=90°時，如圖①，

有PF=PE,PF=-m+4,PE=—/n+3,

Q

-〃?+4=a〃?+3,

2

解得加=2,此時廣(2,o)；

②當NPEF=90°時，如圖②，有EP=EF,石/的長等于點E的縱坐標,

y,

4

/戶。x

圖②

:?EF=-〃?+4,

-〃?+4=*/〃+3,

2

解得：加=之，

5

???點E的橫坐標為x=二工§_=-JA.

25

:?F(,0)；

5

③當/FFE=9U。時，如圖③，有FP=FE,

???ZFPE=/FEP.

?:NFPE+/EFP+/FEP=T80：

；?/FPE=NFEP=45°.

圖③

???N/YW=18(r-ZFPE-ZP/?F=45°,

:?/PFR=/RPF,

:?FR=PR.

同理FR=ER,

:?FR=占E.

2

???點R與點E的縱坐標相同，

:?FR=-m+4,

:.-m+^=—(碧〃+3),

22

解得：加苦

APR=FR=-〃?+4=-—+4=—,

77

???點F的橫坐標為當-￥=-§,

777

:?F（,0）.

7

綜上，在x軸上存在點尸使△廣￡「為等腰直角三角形，點少的坐標為（2,0）或（-兇，0）或（一旦，

557

0）.

【例3】如圖，在平面直角坐標系中，C（8,0）、B（0,6）是矩形A8OC的兩個頂點，點。是線段48上

的一個動點（不與A、8重合），雙曲線）=區(qū)（2>0）經(jīng)過點。，與矩形A8OC的邊AC相交于點E.

x

（1）如圖①，當點。為43中點時，A的值為24,點￡的坐標為（8,3）.

（2）如圖②，當點。在線段A3」二的任意位置時（不與A、B重合），連接3。、OE求證：BC//DE.

（3）是否存在反比例函數(shù)上不同于點。的一點尸，滿足：AODF為直角三角形,NODF=90：且⑶i

ND（）F=±,若存在，請直接寫出滿足以上條件時點。的橫坐標，若不存在，請說明理由.

3

【分析1（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得點4的坐標，再利用中點坐標公式得點。的坐標，從而得出k的值，再

將y=6代入即可；

（2）根據(jù)點。、￡的坐標，可得出A。、AE的長度，根據(jù)即坦即可證出8C〃QE；

ABAC

（3）根據(jù)題意可知，需要分兩種情況：①當點尸在直線A4上方時，過點。作QG_Lx軸于點G,過點

"作QW_LQG于點M,②當點尸在直線A8下方時，如圖，過點。作QG_Lx軸于點G,過點尸作FALL

A8于點N,分別設(shè)出點。的橫坐標，表達點廠的坐標，進而得出方程，求解即可.

【解答】（1）解：???C（8,0）、B（0,6）是矩形ABOC的兩個頂點，

???A8=OC=8,AC=(M=6,

AA(8,6),

?.?點。是AB的中點,

AD(4,6),

?M=8X3=24,

當x=8H寸，y=3,

：，E(8,3),

故答案為:24,(8,3)；

(2)證明：設(shè)點。的橫坐標為〃?,

???點。的坐標為(m,6),

??k—6m9

???反比例函數(shù)的解析式為：

X

???點E的坐標為(8,創(chuàng))，

4

，AQ=8-/n,AE=AC-CE=6-至=」(8F)

44

..AB=_8=_4AD^(8-m)

,AC6"1'AE3(8-m)可

4

.AB_ADpi?AD_AE

e，ACAE'、AB=AC'

：.BC//DEx

(3)解：根據(jù)題意可知，需要分兩種情況：

①當點尸在直線4B上方時，如圖，過點。作。GLx?軸于點G,過點尸作五M_LQG于點M,

:?NOGD=NDMF=90",

VZODF=90°,

Z.ZODG+ZDOG=ZODG^ZFDM=90°,

：,/DOG=/FDM,

:.△ODGs^DFM,

：.OD：DF=OG：DM=DG：FM,

VtanZDOF=—,

3

：,DFt0/)=1：3,

AOD：DF=0G：DM=DG：FM=3,

YDG=0B=6,

：,FM=2,

設(shè)點。的橫坐標為z,

則0G=i,

工，

3

：.D(t,6),F(r-2,6+工),

3

A6z=(r-2)(6+工)，

3

解得尸1+技（負值舍去）.

即此時點。的橫坐標為：1+J防.

②當點尸在直線A8下方時，如圖，過點。作。G_Lx軸于點G,過點尸作FNLAB于點N,

：,/OBD=/DNF=90°,

VZODF=90°,

ZODB+ZDOI3=ZODB+ZFDN=9Q°,

???/D（）B=NFDN,

，叢ODBS/\DFN,

：.0D：DF=OB：DN=DB：FN,

VtanZDOF=-l,

3

：.DF：OD=\：3,

：?OD：DF=OB：DN=DB：FN=3,

?：OB=6,

:?FN=2,

設(shè)點D的橫坐標為n,

則BD=n,

:,FN=d

3

AD（n,6）,F（〃+2,6-—：,

3

；.6〃=（77+2）（6--）,

3

解得〃=-1+V37（負值舍去）.

即此時點。的橫坐標為：

綜上，滿足題意的點。的橫坐標為：i+技或

【例4】（2022?巴南區(qū)自主招生）已知在平面直角坐標系中，二次函數(shù)尸尹儂+C與x軸交于小B兩點

（點A在點8左側(cè)），與），軸交于點C,A（-4,0）,B（12,0）,C（0,-6）.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖I,點產(chǎn)為直線下方拋物線上的一個動點，過點尸作/D〃了軸交直線于點。，過點?

作PE〃BC交x軸于點E,求PD^3E的最大值及此時點P的坐標：

2

（3）如圖2,將拋物線沿射線C8方向平移3遙個單位，得到新拋物線八點尸為V的對稱軸上任意一

點，若以點8、C、尸為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出符合條件的點尸的坐標.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)設(shè)尸"—r-r-6),貝U。(/,—z-6),則以)=-2尸+臺.，求出直線尸E的解析式為y=2x+」

828228

r+^-t-6,則E(-2?-3/+12,0),可求BE=--r-3r,所以PD+^-BE=-(/-6)2+

24428

9(1W2)即可求當/=6時，亞PE有最大值里士!返)，此時尸(6,-至)；

4242

(3)求出平移后的拋物線解析式為尸卷(X-IU)2-3,設(shè)〃(10,〃)，8(12,U),C(U,-0),則

B產(chǎn)=4+后,BC2=IS(),FC2=1(X)+(/?+6)2,分三種情況討論當4b為斜邊時，F(xiàn)(10,-26)；當BC

為斜邊時，尸(10,-3+&5)或(1(),-3-V29)：當CF為斜邊時，100+(〃+6尸(10,4).

【解答】解：(1)將A(-4,0),C(0,-6)代入)，=▲/+&+0，

8

(2)設(shè)BC的直線解析式為)，=h+4

，

?.?412k+b=09

c=-6

[b=1

解得，2,

c=-6

?**v=-6,

2

設(shè)尸(，，—r-/-6),則。(/,—/-6),

82

APD=-—r+—/,

82

設(shè)直線PE的解析式為y=-lx+/n,

將點。代入，可得用-6,

：.y=—x+—r+—t-6,

282

：.E(-A/2-3/+I2,0),

4

:.BE=--z2-3/,

4

亞/法=--M+旦+返(一口_3/)=-1十我(/-6)2+9(1+旄),

2822484

???當/=6時，PD+返PE有最大值且止返)，

24

此時尸(6,-—)；

2

(3)設(shè)拋物線沿x軸正方向平移2〃?個單位，則沿y軸正方向平移〃，個單位，

解得用=3,

???平移后的拋物線解析式為y=[(170)2-5,

o

???拋物線的對稱軸為直線工=㈤，

設(shè)尸(10,〃)，B(12,0),C(0,-6),

??-8盧=4+〃2,8c2=180,3=100+(n+6)2,

當8戶為斜邊時，100+(n+6)2+180=4+〃2,

解得n=-26,

AF(10,-26)；

當4c為斜邊時，180=100+(n+6)2+4+n2,

解得〃=-3+J藥或〃=-3-^29?

：,F(10,-3+V^)或(10，-3-V29)；

當C”為斜邊時，100+(〃+6)2=180+4+/，，

解得〃=4,

:.F(10,4)；

綜上所述：尸點坐標為(10,-26)或(10,-3+幅)或(10,?3?物)或(10,4〕.

、

培優(yōu)訓練

一.解答題

1.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級月考）在RtAABC中，ZACB=90a,NA=30°,BC=2,動點小從點A出發(fā)沿

折線AC-CB向終點B運動，在AC上的速度為每秒立個單位長度，在8C上的速度為每秒1個單位長

度.當點產(chǎn)不與點C重合時，以。尸為邊在點C的右上方作等邊△C/Q,設(shè)點尸的運動時間為1（秒）,

點尸到A8的距離為人.

（1）AC=」?_：

（2）求人與/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出，的取值范圍；

（3）當點尸在AC邊上運動，且點Q到4B的距離為2力時，求/的值；

2

（4）取A8邊的中點。，連結(jié)P。、CD,當△FCQ是直角三角形時，直接寫出/的值.

【分析】（1）根據(jù)含30°的直角三角形和勾股定理可得4。的長；

（2）分兩種情況：尸在AC上和上，根據(jù)含30°角的直角三角形和勾股定理可得〃與，的函數(shù)關(guān)系

式；

（3）分兩種情況：設(shè)直線CQ與43交于點P,①如圖3,點夕在CQ上，②如圖4,點。在CQ的延長

線上，根據(jù)等邊三角形的邊長2近-?/列等式，解出可得答案：

（4）分三種情況：當尸在AC上時，①如圖5,ZCFD=90a,②如圖6,ZCDF=90°,當產(chǎn)在8C

上時，③如圖7,/OFC=90°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：（1）VZACB=90°,NA=30°,BC=2,

；?AB=2BC=4,

二.八C=^42-22=V16-4=2V3，

故答案為：273：

（2）分兩種情況:

過點F作FHLAB于H,

①當0W/V2時，點尸在邊AC上，如圖1,

B

圖1

由題意得：AF=4St,

RtaAF“中，NA=30°,

：.FH=h=^-AF=^-tx

22

如圖2,

圖2

由題意得：CF=i-2,

:.BF=BC-CF=2-（1-2）=4-/,

RtZ\3P'H中，N8PH=30°,

22

:?FH=h=y[^BH=r（4-t）=-返廠2V3;

22

g"t（0<t<2）

綜上，〃與f的函數(shù)關(guān)系式為:h=

-t-2^3（2<t<4）

乙

（3）分兩種情況:

設(shè)直線CQ與A8交于點P,

①如圖3,點。在C。上,

B

圖3

「△C/Q是等邊三角形，

AZFCQ=ZQ=ZCFQ=60°,

VZACB=90°，

：,ZBCQ=30°,

VZB=60°,

/.ZCPE=30°+60°=90°,

：.ZPEQ=30°,

???當點尸在AC邊上運動，且點。到/W的距離為得。時，即。。=斗,

乙乙

???QE=2PQ=h,

VZCFC=60°,ZA=30°,

.??NA=NA￡^=3()0,

:.EF=AF=?i,

?：CF=FQ=243-43t,

2V3-^J_3t=y/3t+/i=y[3t+^-t,

2

由①知：ZBPC=90°,N8CP=30°,

???CP=gBP=g,

*：CP=CQ+PQ,

?..后2好仔率,

綜上，/的值是匹或'；

53

（4）分三種情況：

圖5

丁。是4B的中點，NAC8=90°,

：.CD=AD=2,

：.CF=AF=^3,

:1；

圖6

VZDCF=30°,

.DF=2V3rCF=2DF=^^-,

33

AAF=2V3-

33

此時f=2

3

③如圖7,ZDFC=90°,

B

D

圖7

VZCDF=30°,

：,CF=—CD=\,

2

此時f=2+l=3；

綜上，/的值是1或2或3.

3

2.（2021?羅湖區(qū)校級模擬）如圖I,已知拋物線y=』+公+，經(jīng)過原點。，它的對稱軸是直線工=2,動點尸

從拋物線的頂點4出發(fā)，在對稱軸上以每秒I個單位的速度向上運動，設(shè)動點尸運動的時間為1秒，連

接。尸并延長交拋物線于點8,連接04,AB.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）當AAOB為直角三角形時，求/的值；

（3）如圖2,為AAOB的外接圓，在點P的運動過程中，點M也隨之運動變化，請彌探究：在1

W/W5時，求點歷經(jīng)過的路徑長度.

【分析】（1）由拋物線產(chǎn)/+加+c,經(jīng)過原點。且對稱軸是直線尸2,知c=0,--1=2,求得人的值即

可得出答案；

（2）設(shè)點B（小a2-4a）,由-4x=（x-2）2-4知A（2,-4）,據(jù)此得出（?A2=22+42=20.

OI32=a2+（a24a）2.AB2=（a2）2+（a24a+4）2,再分NOA4=90°、NAO〃=90°和

90°三種情況，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于〃的方程，解之求得〃的值，繼而求出直線08解析式，求出x

=2時)，的值，從而求得,的值；

(3)由OM為△AO3的外接圓知點M在線段04的中垂線上，從而得出1W/W5時，點M的運動路徑

是在線段0A中垂線上的一條線段，再結(jié)合(2)中的情況求出點M的位置，根據(jù)兩點間的距離公式求

解可得.

【解答】解：(1)???拋物線,、，=/+公+c經(jīng)過原點且對稱軸是直線x=2,

.?.c=0,■上=2,

2

則〃=-4、(?=(),

???拋物線解析式為)=7-4%；

(2)設(shè)點、B(小a2-4a),

-4x=(x-2)2-4,

???點4(2,-4),

則0屋=22+42=20、OB1=a1^(J-4〃)2>AB2=(d-2)2+Ccr-4?+4)2,

①若0爐=042+432,則/+(滔?4a)2=20+(?-2)2+(J-4a+4)2,

解得。=2(舍)或"=旦，

2

：.D(―,—),

24

則直線解析式為y=

2

當x=2時，)，=-3,BPP(2,?3),

：.t=(-3+4)4-1=1；

②若442=042+042,則(4-2)2+(/-加+42=20+/+(a2-4a)2,

解得〃=0(舍)或

2

：.B(9,9),

24

則直線解析式為

當x=2時，)，=1,即P(2,1),

/.；=[1-(-4)]4-1=5；

③若OA2=A132+OB2,貝1]20=(.a2)2+(a24a+4)2+a2+(a24。)2

整理，得：a3-Sa2+2\a-18=0,

J-3〃2-5j+l5a+6a-18=0,

a2(a-3)-5a(?-3)+6(a-3)=0,

(a-3)(a2-5a+6)=0?

(a-3)2(fl-2)=0,

則a=3或a=2(舍)，

：.B(3,-3),

:.直線OB解析式為y=-x,

當x=2時，y=-2,即。(2,-2),

：.f=[-2-(-4)]4-1=2；

綜上，當AAOB為直角三角形時，，的值為1或2或5.

(3)TOM為AAOB的外接圓,

???點M在線段的中垂線上,

???當1W/W5時，點M的運動路徑是在線段04中垂線上的一條線段,

由(2)知NQ4B=90°,

???此時RtAOAB的外接圓圓心M是OB的中點,

,:B(&,-母,

24

：,M(―,-身;

48

???此時Rt/\OAB的外接圓圓心M是AB的中點,

QQ

'：H(—,，)、A(2,-4),

24

???T，-I).

8，

???此時RtZXOAB的外接圓圓心"是0A的中點,

(2,-4),

AM(1,-2)；

則點M經(jīng)過的路徑長度為J號-l)2+(T+2)2+J(l^)2+O2,)2=^+^"=^".

3.(2012?蕪湖縣校級自主招生)學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長

的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.

類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的

正對(sad).如圖，在△48C中，AB=AC,頂角4的正對記作sw/A,這時5/以="!^_坐.容易知

腰AB

道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯?確定的.

根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：

(1)sadbO°的值為8

A.—B.1C.返O.2

22

(2)對于0°VAV180°,NA的正對值的取值范圍是0<sadAV2.

【分析】(I)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再杈據(jù)正對的定

義解答：

(2)求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；

(3)作出直角△A8C,構(gòu)造等腰三角形ACD,根據(jù)正對的定義解答.

【解答】解：(1)根據(jù)正對定義，

當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°,

則三角形為等邊三角形，

則sad60°=A=1.

故選B.

(2)當NA接近0°時，soda接近0,

當乙4接近18()。時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故s〃da接近2.

于是sadA的取值范圍是OVsadAV2.

故答案為0VsadAV2.

(3)如圖，在△A8C中，NAC3=90°,sinZA=—.

5

在48上取點。，使AQ=AC,

作?！盻LAC,“為垂足，令BC=3k,AB=5k,

則AD=AC=4(5k)2-(3k)2=4左,

又???在△A?！爸校琙AHD=9Q°,sinZA=—.

5

：.DH=ADsinZA=—k,^=VAD2-DH2=—

55

則在△CO"中，CH=AC-AH=-^k,。。=赤石瀛=生畫■匕

55

于是在△ACO中，AD=AC=4k,CD=k.

5

由正對的定義可得：“必4=三=叵,即5%故=逗.

AT55

4.（2022秋?法庫縣期中）如圖，己知函數(shù)），=X+1的圖象與），軸交于點A,一次函數(shù)），=履+6的圖象經(jīng)過點

B（0,-1）,與x軸以及），="1的圖象分別交于點C,。，且點。的坐標為（1,〃）.

（1）則（=3,h=-1,n=2：

（2）若函數(shù)的值大于函數(shù)y=x+l的函數(shù)值，則x的取值范圍是A>1；

（3）求四邊形AOCO的面積；

（4）在x軸上是否存在點P,使得以點P,C,。為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點P的坐

標.

【分析】（1）對于直線y=x+l,令x=0求出了的值，確定出A的坐標，把4坐標代入），=k+〃中求出方

的值，再將D坐標代入），=x+l求出〃的值，進而將D坐標代入求出k的值即可；

（2）由兩?次函數(shù)解析式，結(jié)合圖象確定出x的范圍即可；

（3）過。作。E垂直于x軸，如圖1所示，四邊形AOCD面積等于梯形AOEO面積減去三角形。。￡面

積，求出即可；

（4）在x軸上存在點P,使得以點P,C,。為頂點的三角形是直角三角形，理由為：分兩種情況考慮：

①OP'±DC：?DPLCP,分別求出P坐標即可.

【解答】解：（1）對于直線y=x+l,令X=0,得到y(tǒng)=l,即A（0,I）,

把3（（）,-1）代入曠=履+〃中，得：b=-1,

把。（1,〃）代入y=x+l得：〃=2,即。（1,2）,

把。坐標代入1中得：2=女?1,即2=3,

故答案為：3,-1,2；

（2）:一次函數(shù)y=x+1與y=3x-1交于。（1,2）,

???由圖象得：函數(shù)y=6+方的函數(shù)值大于函數(shù)y=x+l的函數(shù)值時x的取值范圍是x>l：

故答案為：x>l；

（3）過。作。E_Lx軸，垂足為￡如圖1所示，

11119?9

；?S四邊彩八。。。=5梯形AO￡O-SaCD￡=3(4O+OE)?OE-±CE?Z)E=上X(1+2)XI-A-^X2=-

2222X323

=昱

6'

(4)如圖2所示，設(shè)尸(p,0),

APC1=(p--)2,

3

PD1=21+(/?-1)2,

2

CD2=2+(1-A)2,

3

①當PO_LQC時，P'C2=P'D2+CD2,

??.(〃?_1)2=22+(/?-1)2+22+(1--)2,

33

:?p=7,

：.P'(7,0)；

②當DP±CP時，由Q橫坐標為1.得到P橫坐標為1,

???P在x軸上,

的坐標為(1，0),

綜上，P的坐標為(1,0)或(7,0).

5.(2022秋?同安區(qū)期中)如圖，直線y二加x-2分別與x軸、)，軸交于A點與6點，函數(shù)ySx2+2nx+n

的圖象經(jīng)過B點.點P是拋物線上的一個動點，過點尸作不釉的垂線PQ,過點B作于點。.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)連接人。，當△A8O為直角三角形時，求的長；

(3)將△4QP繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到7P,當點P的對應點P落在坐標軸上時，請求出點。

的坐標.

【分析】（1）先確定出點4、B的坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）當點P在對稱軸左側(cè)時，△A8O不可能為直角三角形，當點P在對稱軸右側(cè)時，NA8D為銳角，

分兩種情況：①當/418=90,時，②當//以。=90°時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求解即可；

（3）分點P落在x軸和y軸兩種情況計算即可.①當點P'落在x軸上時，過點P作軸，垂足為

P',過點。作。有_Ly軸，垂足為立交P'E于點E,先利用互余和旋轉(zhuǎn)角相等得出是等腰直

角三角形，根據(jù)PE=OF=OB+BF,建立方程即可；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）???直線尸血「2分別與x軸、），軸交于A點與8點，

（匹0）,B（0,-2）,

???拋物線y=&/+2以+〃經(jīng)過點B,

n=-2,

.?.拋物線解析式為y=J5%2-4x-2；

（2）當點P在對稱軸左側(cè)時，△A3。不可能為直角三角形，當點P在對稱軸右側(cè)時，NABD為銳角,

分兩種情況：

：.BD=yJ~2t

BD1=a2,

M^=(?-V2)2+22,

在RtZkAA。中，AB2+AD2=BD2,

/.6+(a-V2)2+22=a2,解得

:.BD=3近;

綜上所述，當△A3。為直角三角形時，8。的長為'歷或3祗；

(3)①當點。落在x軸上時，過點產(chǎn)作產(chǎn)E_Lr軸，垂足為P',過點。，作。戶_Ly軸，垂足為凡交P'

E于點E,

設(shè)點P的坐標為(m,^J~2m2-4/zz-2),

.\PD=^/2m2-4m-2-(-2)=V2w2~4/〃，

???PQ_Lx軸，BDLPD,

???3D_Ly軸，

由旋轉(zhuǎn)得NQa)'=45°,P'D'=PD=42nr-4m,

：,ZBD,F=ZDBD,=45°,

???NPO'E=45°,

???△〃￡>'￡：是等腰直角三角形，

：.P'七=亞尸D'=亞（V2w2-4w）,

22

同理4/；=近4?！?-亞〃?，

22

*：P'E=OF=OB+BF,

.鼻（V2，〃2-4〃？）=-亞加+2,

22

整理得2〃?2-34=0,

解得m=-返■或2V2（舍去），

_2

當m=-4時，加川-4〃？-2=至*-2,

???點月的坐標為（-亞，至亞-2）；

22

②當點尸落在y軸上時，如圖,

過點。'作O'軸，交BD于M,過點〃作PNJ_y軸，交M。，的延長線于點N,

設(shè)點尸的坐標為(〃,V2?2-4n-2),

：.PD=y[2n2-4n-2-(-2)=&￡-4〃,

由旋轉(zhuǎn)得NQ8P=N。'BP'=45°,

???△PQ3是等腰直角三角形,

:.PD=BD,

n=yj~2,ir4〃,

解得加=品巨或0（舍去），

2

當用=品巨時，&〃2_4〃_2=-^叵-2,

22

???點P的坐標為（包2,至坐-2）；

22

綜上所述，點P的坐標為（-返■?品巨-2）或反巨，殳巨-2）.

2222

6.（2U22秋?禪城區(qū)校級期中）如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=3x+6分別與x軸和y軸交于點

C和點8,已知4（6,0）,

（1）寫出點〃，點C的坐標和△人/，（？的面積；

（2）直線/經(jīng)過A、B兩點,求直線A4的解析式；

（3）點。是在直線上的動點，是否存在動點D,使得￡入“八=4-5八2「？若存在，求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由；

（4）如圖2,尸為4點右側(cè)x軸上的一動點，以P為直角頂點、8P為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角

形△BPQ,連接。并延長交y軸于點K.當尸點運動時,K點的位置是否發(fā)生變化？如果不變，請求

出它的坐標；如果變化，請說明理由.

咻v

圖1圖2

【分析】（1）△A4C的面積=2XACXO4,即可求解：

2

（2）用待定系數(shù)法即可求解；

⑶由SAo=fs&BC得到加3網(wǎng)即可求解;

（4）證明△臺。。0△PHQ（AAS）,求出Q的坐標為（/+6,；）,進而求解.

【解答】解：（1）對于y=3x+6,令x=0,則y=6,故點3（0,6）,

令y=3x+6=0,解得：工=-2,故點C（?2,0）；

則ZX/IBC的面積=2XACXOB=2X（6+2）X6=24：

22

（2）設(shè)直線/W的表達式為（AKO）,

則儼+bR解得:fk=-l,

b=6Ib=6

故直線AB的表達式為y=-x+6：

（3）存在，理由：

*SAACD^2'SAABC,

??.|），“=」4、詞=3,即|x+6|=3,

2

解得：x=3或9,

故點。的坐標為（3,3）或（9,-3）；

（4）K點的位置不發(fā)生變化，理由：

設(shè)點尸的坐標為（/,0）,

過點Q作。HLr軸于點兒

?：NBPO+NQPH=90°,NPB0+N800=90°,

：,ZQPH=ZPBO,

在RSOP和RtAPHQ中，

rZQPH=ZPBO

NBOP=NQHP=90°，

BP=QP

:.△BOP式MPHQCAAS）,

:,PH=B0=6,QH=OP=t,

則點Q的坐標為（/+6,/）,

設(shè)直線AQ的表達式為y=〃Lx+〃，

財ft=m（t+6）%,解得（m=l,

10=6m+nln=-6

故點K的坐標為（0,-6）.

7.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，已知點。是第一象限內(nèi)二次函數(shù)），=-/+2必+3〃?21〃〉0）圖象

上一點，該二次函數(shù)圖象與x軸交于4、8兩點（A在點4的左側(cè)），與），軸交于點C,連接AC.

（1）線段A3的長為4〃？（用含用的代數(shù)式表示）；

（2）當〃?=1時，點。與C點關(guān)于二次函數(shù)圖象對稱軸對稱，若AQ平分NCAP,求點尸的坐標；

（3）若△ABC是直角三角形，點E是4P與BC的交點，則鯉■的最小值是多少？直接寫出答案即可.

PE

【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；

（2）先求出N48C=NOA8=45°,可得8C_LAO,再由△AOK和△OQK是等腰直角三角形，確定點

。的坐標，利用點。的坐標求出C點關(guān)于A。的對稱點G的坐標，直線AG與拋物線的交點即為P點;

（3）過點P作PQ〃y軸交4c于點Q,過點A作AF〃歹軸交8C于點尸，設(shè)夕（/,-P+2制+3〃尸），則

F（-in,5/n2）,Q（r,-〃〃+3"?），由31=更，當尸Q最大時，絲有最小值，再由PQ=

PEPQPE

-（l旦〃?）2+9加2,當f=W〃?時，PQ有最大值9席，即可求延的最小值是

2424PE9

【解答】解：（1）令y=0,則?7+2〃U+3〃|2=O,

.\x\+x2=2m,x]*x2=-3機2,

=4/n,

（X]+>2）2-4X1?x2

故答案為:4〃?；

⑵當陽=1時，尸?『+2x+3=-(A-1)2+4,

???拋物線的對稱軸為直線x=l，

令x=0,則y=3,

AC(0,3),

???點。與。點關(guān)于二次函數(shù)圖象對稱軸對稱，

：，D(2,3),

令y=0,則?f+2r+3=0,

解得x=-1或x=3,

???A(-1,0),B(3,0),

/.OB=OC=3,

???NA8C=45°,

過點D作Z)〃J_x軸交于點〃，

:.DH=3,AH=3,

???ND4H=45°,

???BCLAD,

'：AO=\,

AOK=1,

；?CK=2,

???△CQK是等腰直角三角形，

???Q(1,2),

???C點關(guān)于AD的對稱點G(2,1),

???NCAQ=NQAG,

：,AD平分NC4G,

設(shè)直線AP的解析式為)，="+兒

,f-k+b=0

l2k+b=f

［孱

解得；

吟

y=-X2+2X+3

聯(lián)立方程組，ii,

ly"3X+3

8

解得（x=T（舍）或xw

y=0.ll,

y~

：.P(&,—)；

39

(3)令x=0,貝i]y=3〃P,

AC(0,3w2),

令y=0,貝ij-X2+2WA+3W2=0,

解得x=-m或x=