經濟數學-概率論與數理統(tǒng)計課件：二維隨機變量及其分布

二維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)隨機變量的獨立性第四節(jié)二維隨機變量函數的分布1．定義：隨機試驗E的樣本空間Ω={e}，設X1(e),X2(e)為定義Ω上的隨機變量,由它們構成的一個向量(X1,X2)叫做二維隨機變量或二維隨機向量。

對于二維隨機變量,需要考慮

①二維隨機變量作為一個整體的概率分布或稱聯(lián)合分布；

②還要研究每個分量的概率分布或稱邊緣分布；

③并且還要考察各分量之間的聯(lián)系，比如是否獨立等。

一、二維隨機變量的定義第一節(jié)二維隨機變量及其分布定義：若對任意xk∈R,k=1,2,稱二元函數

為二維隨機變量(X1,X2)的聯(lián)合分布函數。

注釋

(1)事件{X1≤x1,X2≤x2}是2個事件{X2≤x2}同時發(fā)生的概率，故稱為聯(lián)合分布函數。(2)F(x1,x2)是普通的二元函數，這樣，我們就把對隨機變量的研究轉化為對普通二元函數的研究。二、二維隨機變量的分布函數(3)二維隨機向量(X,Y)可以看成平面上隨機點的坐標。則(X,Y)的聯(lián)合分布函數F(x,y)=P{X<x,Y<y}在(x,y)處的函數值就是隨機點(X,Y)落在如圖所示的以點(x,y)為頂點而位于該點左下方的無窮矩形閉區(qū)域上的概率。(1).F(x,y)是變量x

和y的不減函數,即

對于任意固定的y,

當x2>x1時，F(xiàn)(x2,y)≥F(x1,y)；

對于任意固定的x,當y2>y1時，F(xiàn)(x,y2)≥F(x,y1)且0≤F(x,y)≤1。因為{X≤x1,Y≤y}

{X≤x2,Y≤y}.(2).對于任意固定的y,F(-∞,y)=0；

對于任意固定的x,F(x,-∞)=0；

F(-∞,-∞)=0，F(xiàn)(+∞,+∞)=1。2.二維分布函數的性質(3).F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)關于x右連續(xù),關于y也右連續(xù).(4).對于任意(x1,y1),(x2,y2)，x1<x

2,y1<y2,

下述不等式成立:

F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0,

事實上，因為

P{x1<X<x2,y1<Y<y2}

=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0，如下圖0x1x2xy1y2y1．定義：

若二維隨機向量(X,Y)的可能取值只有有限個或可列個,則稱(X,Y)是離散型二維隨機向量.

若二維離散型隨機向量(X,Y)的所有可能取值為(Xi,Yj),i,j=1,2,…

記P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…則稱下列一組等式

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…為隨機向量(X,Y)的(聯(lián)合)分布律.三、二維離散型隨機變量常用表格表示(X,Y)的分布律：

YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p2j…

………………

xipi1pi2…pij…

………………(1).pij≥0,i,j=1,2,…(2)

，2.分布律的性質例1:一整數X，隨機地在1，2，3，4四個數中取任一值，另一整數Y隨機地在1—X中取值，求(X,Y)的分布率。解：

XY12341/41/4*1/21/4*1/31/4*1/401/4*1/21/4*1/31/4*1/4001/4*1/31/4*1/440001/4*1/4

若(X,Y)的分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…

則(X,Y)的分布函數為

其中和式是對一切滿足xi≤x,yj≤y求和。3.分布律與分布函數的關系例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函數。解yx111.定義：設(X,Y)的聯(lián)合分布函數為F(x,y),若存在一非負函數f(x,y),使得對于任意的實數x,y有

則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機向量,函數f(x,y)稱為二維

向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度.

2．聯(lián)合概率密度f(x,y)的性質四、二維連續(xù)型隨機變量(3).若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，則有

(4).設G是xy平面上的一個區(qū)域,點(X,Y)落在G內的概率為:

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個曲面.由性質2,介于它和xoy平面的空間區(qū)域的體積為1，由性質4,P{(X,Y)∈G}的值等于以G為底,以曲面z=f(x,y)為頂面的柱體體積。例1:設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度

(i)求分布函數F(x,y);(ii)求概率P{Y≤X}

解:(i)

(ii)將(X,Y)看作是平面上隨機點的坐標.即有

{Y≤X}={(X,Y)∈G}

其中G為xy平面上直線y=x下方的部分,如圖,于是

例2:向一個無限平面靶射擊,設命中點(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(x,y)=A/(1+x2+y2)2,求：(1)常數A；(2)命中點與靶心距離不超過r0的概率

.解:(1)由概率密度的性質知利用極坐標計算可得

從而有Aπ=1,即可得A=1/π。

(2)依題意需求概率

下面我們介紹兩個常見的二維分布.

設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區(qū)域G上任投一質點，若質點落在G內任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關.則質點的坐標(X,Y)在G上服從均勻分布.例

若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數為