第08講-利用導數研究方程的根(學生版)

第08講利用導數研究方程的根（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯考點2022年新I卷，第22題,12分利用導數研究方程的根由導數求函數的最值(含參)2021年新Ⅱ卷，第21題,12分利用導數研究方程的根求離散型隨機查量的均值均值的實際應用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數證明函數的單調性2能結合方程的根的定義用導數解決方程的根的問題【命題預測】導數的綜合應用是高考考查的重點內容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數學抽象、數學運算、邏輯推理等多個數學學科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復習知識講解利用導數研究函數方程的根的方法(1)通過最值(極值)判斷零點個數（方程的根）的方法借助導數研究函數的單調性、極值后，通過極值的正負，函數單調性判斷函數圖象走勢，從而判斷零點個數（方程的根）或者通過零點個數（方程的根）求參數范圍.(2)數形結合法求解零點（方程的根）對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性，畫出草圖數形結合確定其中參數的范圍.(3)構造函數法研究函數零點（方程的根）①根據條件構造某個函數，利用導數確定函數的單調區(qū)間及極值點，根據函數零點的個數（方程的根）尋找函數在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數值與0的關系，從而求解.②解決此類問題的關鍵是將函數零點、方程的根、曲線交點相互轉化，突出導數的工具作用，體現轉化與化歸的思想方法．考點一、利用導數研究方程的根1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設函數．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數的底數）1．（2023·湖南·校聯考二模）已知函數．(1)求的最小值；(2)證明：方程有三個不等實根．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）函數．(1)求證：；(2)若方程恰有兩個根，求證：．3．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知函數，.(1)求函數的極值；(2)請在下列①②中選擇一個作答（注意：若選兩個分別作答則按選①給分）.①若恒成立，求實數的取值范圍；②若關于的方程有兩個實根，求實數的取值范圍.4．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）已知函數，為的導函數.(1)討論的單調性；(2)當時，有且只有兩根，（）.①若，求實數a的取值范圍；②證明：.5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數和在同一處取得相同的最大值．(1)求實數a；(2)設直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為（），證明：．【基礎過關】1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數．(1)若時，函數有2個極值點，求的取值范圍；(2)若，，方程有幾個解？2．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）設，，且a、b為函數的極值點(1)判斷函數在區(qū)間上的單調性，并證明你的結論；(2)若曲線在處的切線斜率為，且方程有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍.3．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數，的導函數為．(1)討論的極值點的個數；(2)當時，方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍．4．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）已知函數.(1)求的單調區(qū)間；(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根，記較小的實數根為，求證：.5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知函數，其中，．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)若方程恰有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．【能力提升】1．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）已知函數.(1)當時，求函數的最大值；(2)若關于x的方1有兩個不同的實根，求實數a的取值范圍.2．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知函數，為其導函數.(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若關于的方程有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.3．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數的圖像與的圖像最多有一個公共點，求實數的取值范圍.4．（2023·全國·模擬預測）已知函數，．(1)證明：；(2)若存在直線，其與兩條曲線和共有四個不同的交點，設從左到右的四個交點的橫坐標分別為，，，，證明：．5．（2023·河南·長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）設函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若方程有兩個不相等的實數根，，證明：.6．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）已知函數．(1)求函數在區(qū)間上的最大值；(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍．7．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知函數在點處的切線方程為，(1)求的值域；(2)若，且，，證明：①；②.8．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知函數為實數．(1)若恒成立，求實數的取值范圍;(2)若方程恰有3個不同的實數根，求實數的值9．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預測）已知函數（其中），．(1)證明：函數在區(qū)間上單調遞增；(2)判斷方程在R上的實根個數．10．（2023·河北衡水·河北棗強中學?？寄M預測）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．【真題感知】1．（·全國·高考真題）已知函數.證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.2．（福建·高考真題）已知函數（1）求在區(qū)間上的最大值