第11講-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))(原卷版)

第11講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【人教A版2019】·模塊一直線與圓的位置關(guān)系·模塊二圓與圓的位置關(guān)系·模塊三課后作業(yè)模塊模塊一直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無(wú)解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

②若點(diǎn)在圓上，則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線.

(2)求過(guò)圓上的一點(diǎn)的圓的切線方程：

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.②重要結(jié)論：a.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

b.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

c.經(jīng)過(guò)圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線方程為.3．圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長(zhǎng)l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法簡(jiǎn)單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長(zhǎng)公式.4．解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問(wèn)題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過(guò)圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問(wèn)題

解析幾何中的最值問(wèn)題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對(duì)于圓的最值問(wèn)題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡(jiǎn)化運(yùn)算的最佳途徑.

①形如u=的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.②形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

③形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.

(3)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的直徑，過(guò)這點(diǎn)和最長(zhǎng)弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應(yīng)用(1)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：①審題：認(rèn)真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數(shù)據(jù)；②建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)及已知條件，求出幾何模型的方程；③求解：利用直線、圓的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)求解；④還原：將運(yùn)算結(jié)果還原為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解釋.(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個(gè)原則：

①對(duì)稱性原則.可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個(gè)定點(diǎn)的距離問(wèn)題，可以選擇兩個(gè)定點(diǎn)所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問(wèn)題則可選其為坐標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問(wèn)題，可以考慮將三角形的三個(gè)頂點(diǎn)全部放在坐標(biāo)軸上.【考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系及判定】【例1.1】（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x2+y2+2x?4y=0，直線l:2x?y?1=0，則圓A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過(guò)圓C的圓心【例1.2】（2023春·浙江·高二期中）設(shè)圓C：x2?2x+y2?3=0，若直線l在y軸上的截距為1，則lA．0 B．1 C．2 D．以上都有可能【變式1.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=4與直線A．5 B．10 C．25 D．100【變式1.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0為圓C:x2A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交【考點(diǎn)2圓的切線問(wèn)題及切線方程的求解】【例2.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P1,1作圓E：x2+A．x+y?2=0 B．2x+y?3=0C．x?2y+1=0 D．2x?y?1=0【例2.2】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線3x+4y+m=0與圓x?12+y?12=1A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12【變式2.1】（2023春·四川廣元·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C:x2+y2+4x+2y?11=0，過(guò)點(diǎn)2,1作圓C的切線A．x=2 B．3x+4y?10=0C．3x+4y?10=0或x=2 D．3x+4y?10=0或3x?4y?2=0【變式2.2】（2023春·四川廣安·高二校考階段練習(xí)）過(guò)直線l：x+y?5=0上的點(diǎn)作圓C：x?12+y+2A．6 B．23 C．15 D．【考點(diǎn)3圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題】【例3.1】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直線l:x+y?2=0被圓C:x2+A．7 B．27 C．【例3.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)三點(diǎn)A(1,0)，B(2,1)，C(2,?3)的圓與直線x?2y?1=0交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|?=（A．455 B．655 C．【變式3.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l:2x?y?2=0被圓C:x2+y2?2x+4y+m=0截得的線段長(zhǎng)為A．2 B．4 C．5 D．5【變式3.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）與y軸相切，圓心在直線x?3y=0上，且在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為27，則此圓的方程是（

A．(x?3)B．(x+3)C．(x+3)2+D．(x+3)2+【考點(diǎn)4直線與部分圓的相交問(wèn)題】【例4.1】（2023·湖南益陽(yáng)·?？既＃┲本€y=x+b與曲線x=1?y2恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)bA．?1≤b≤2 B．C．?1<b≤?1，b=?2 D．【例4.2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若直線y=kx?1與曲線y=?x2+4x?3恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．43,+∞ B．1,43 【變式4.1】（2023秋·浙江臺(tái)州·高二期末）已知曲線C:y=m2+1?x2?1(y≥0)，若存在斜率為?2的直線與曲線A．(?1,1) B．(?2,2) C．(?∞,?1)∪(1,+∞【變式4.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)2,0引直線l與曲線y=1?x2相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，直線A．±3 B．?33 C．±【考點(diǎn)5直線與圓有關(guān)的最值問(wèn)題】【例5.1】（2023秋·重慶渝中·高二?？计谀┻^(guò)點(diǎn)P0,1的直線l與圓E:(x?1)2+y2=4A．2 B．22 C．23【例5.2】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）已知直線l:x?y+6=0與圓C:(x?1)2+(y?1)2=8，則圓A．1 B．2 C．32 D．【變式5.1】（2023春·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）若P是直線l:x+2y?25=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O:x2+y2A．3 B．3 C．2 D．2【變式5.2】（2023·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)直線l：3x+4y?1=0上一點(diǎn)P作圓M：x2+(y?4)2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，BA．1 B．2 C．2 D．2模塊模塊二圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無(wú)②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時(shí)，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.3．兩圓的公共弦問(wèn)題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿足且，所以.即點(diǎn)適合直線方程，故在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③表示過(guò)兩圓與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng).4．圓系方程及其應(yīng)用技巧具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見(jiàn)的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.

(2)與圓同心的圓系方程是.

(3)過(guò)同一定點(diǎn)(a,b)的圓系方程是.

(4)過(guò)直線Ax+By+C=0與圓的交點(diǎn)的圓系方程是.(5)過(guò)兩圓:和:的交點(diǎn)的圓系方程是().(其中不含有:,注意檢驗(yàn)是否滿足題意,以防漏解).①當(dāng)時(shí)，l:為兩圓公共弦所在的直線方程.②當(dāng)兩圓相切(內(nèi)切或外切)時(shí)，l為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的直線方程.【考點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系及判定】【例1.1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）圓C1:x2+A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【例1.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2+y2?2x=0，圓C2：x?3A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【變式1.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2+(y?3)A．(x?4)2+(y?6)C．(x?4)2+(y?6)【變式1.2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）半徑為2，圓心在x軸上方且與x軸相切，同時(shí)也與圓x?22+y?1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)2由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)】【例2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若兩圓(x+1)2+y2=4和圓(x?a)A．0<a<2 B．0<a<2或?4<a<?2C．?4<a<?2 D．2<a<4或?2<a<0【例2.2】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓C1:x2+y2A．－1 B．1 C．1或4 D．4【變式2.1】（2023春·江蘇南京·高二?？计谥校┮阎獔AO1:x2+y2A．1 B．4 C．9 D．1或9【變式2.2】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1：x?12+y+22=r2r>0A．0,1 B．1,5 C．1,9 D．5,9【考點(diǎn)3與兩圓相切有關(guān)問(wèn)題】【例3.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列方程中，圓C1:x2?2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．【例3.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C1：x2+y2?6x?10y?2=0與圓A．1 B．2 C．3 D．4【變式3.1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：xA．3x?4y?5=0 B．3x?4y+5=0C．4x?3y?5=0 D．4x?3y+5=0【變式3.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心均在y軸的兩圓外切，半徑分別為r1,rA．±22 B．±24 C．±【考點(diǎn)4兩圓的公共弦問(wèn)題】【例4.1】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1:x2+(y?2)2=5和C2A．3 B．23 C．23 D．【例4.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1:x2+y2A．62 B．32 C．6【變式4.1】（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓C1:x2+y2=1與圓A．2ax+by?1=0 B．2ax+by?3=0C．2ax+2by?1=0 D．2ax+2by?3=0【變式4.2】（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀﹫AO1:x2+y2A．公共弦AB所在直線方程為x?2y+1=0 B．公共弦AB的長(zhǎng)為64C．線段AB中垂線方程為2x?y=0 D．∠A【考點(diǎn)5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用】【例5.1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）圓拱橋的一孔圓拱如圖所示，該圓拱是一段圓弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造時(shí)每隔4米需用一根支柱支撐．(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出圓弧的方程；(2)求支柱A2【例5.2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）為了適應(yīng)市場(chǎng)需要，某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地(如右圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)A，接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B；從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離.【變式5.1】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)、寬分別為8m、4m）和圓弧構(gòu)成，截面總高度為6m，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在堅(jiān)直方向上高度之差至少要有0.5

(1)試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓弧所在圓的一般方程；(2)車輛通過(guò)隧道的限制高度為多少米？【變式5.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過(guò)O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?模塊模塊三課后作業(yè)1．（2023春·北京海淀·高二?？计谥校┲本€ax?y+2a=0a∈R與圓x2A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．（2023春·上海黃浦·高二?？计谥校﹫AC:x2+y2+2x+4y?3=0上到直線A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)3．（2023秋·北京房山·高二統(tǒng)考期末）過(guò)定點(diǎn)P3,1作圓(x?1)2+A．4x?3y?9=0 B．4x?3y?3=0C．4x?3y?9=0或y=1 D．4x?3y?3=0或y=14．（2023秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）圓C1:x2+A．0條 B．1條 C．2條 D．3條5．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）若直線kx?y+1?2k=0與圓C：(x?1)2+y2=4相交于A，BA．23 B．22 C．3 6．（2023春·福建廈門·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2?23x+a=0與圓C2A．?6 B．?4 C．?2 D．07．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線x+y?a=0與曲線y=2??x2?2x恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則A．[1?2,1+2C．[2,1+2) 8．（2023秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）若A為圓C1:x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，A．5 B．6 C．7 D．89．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西10akma>0處，港口位于小島中心正北40km處，如果輪船沿直線返港，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，則a的取值范圍是（A．233,+C．433,+10．（2023·天津·二模