2020高考數(shù)學藝考生沖刺第一章集合常用邏輯用語推理與證明復數(shù)程序框圖第1講集合與常見邏輯用語課件

第一章集合、常用邏輯用語、推理與證明、復數(shù)、程序框圖第1講

集合與常見邏輯用語1.集合的有關(guān)概念(1)集合元素的特性:確定性、互異性、無序性.(2)集合與元素的關(guān)系:若a屬于集合A,記作a∈A;若b不屬于集合A,記作b?A.(3)集合的表示方法:列舉法、描述法、圖示法.2.常用數(shù)集及記法3.集合間的基本關(guān)系

4.集合的三種基本運算

5.四種命題的關(guān)系與真假判斷

(1)兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.6.命題p∧q、p∨q、-p的真假判定

簡記為“p∧q兩真才真,一假則假;p∨q一真則真,兩假才假;-p與p真假相反”.7.量詞(1)全稱量詞和存在量詞(2)全稱命題和特稱命題

8.條件問題(1)充分條件、必要條件與充要條件(2)充要條件常用的三種判斷方法①定義法:直接判斷若p則q、若q則p的真假.②等價法:利用A?B與

B?A,B?A與

A?B,A?B與

B?A的等價關(guān)系,對于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運用等價法.③利用集合間的包含關(guān)系判斷:若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.(3)判斷充要條件需注意三點①要分清條件與結(jié)論分別是什么;②要從充分性、必要性兩個方面進行判斷;③直接判斷比較困難時,可舉出反例說明.題型一

集合的基本概念【例1】

(1)設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},則M中的元素個數(shù)為(

)

A.3 B.4 C.5 D.6(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一個元素,則a=(

)【解析】

(1)因為集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以當b=4,a=1,2,3時,x=5,6,7;當b=5,a=1,2,3時,x=6,7,8.由集合元素的互異性,可知x=5,6,7,8.即M={5,6,7,8},共有4個元素.(2)若集合A中只有一個元素,則方程ax2-3x+2=0只有一個實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根.【答案】(1)B

(2)D【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問題的求解策略(1)確定集合中的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點集.(2)看這些元素滿足什么限制條件.(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù),要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.變式訓練一1.已知集合A={x|x∈Z,且

∈Z},則集合A中的元素個數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為

.

C所以x的值分別為3,5,-1,1,故集合A中的元素個數(shù)為4.題型二

集合間的基本關(guān)系【例2】

(1)已知集合A={x|4≤2x≤16},B[a,b],若A?B,則實數(shù)a-b的取值范圍是

.

(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實數(shù)m的取值范圍為

.

【解析】

(1)集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4].因為A?B,所以a≤2,b≥4.所以a-b≤2-4=-2,即實數(shù)a-b的取值范圍是(-∞,-2].(2)因為B?A,所以①若B=?,則2m-1<m+1,此時m<2.解得2≤m≤3.由①、②可得,符合題意的實數(shù)m的取值范圍為m≤3.【答案】

(1)(-∞,-2]

(2)(-∞,3]【規(guī)律方法】1.集合間基本關(guān)系的兩種判定方法(1)化簡集合,從表達式中尋找兩集合的關(guān)系.(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個集合,從元素(或圖形)中尋找關(guān)系.2.根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法,已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系,解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解.易錯警示:B?A(A≠?),應(yīng)分B=?和B≠?兩種情況討論.變式訓練二1.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若A∩C=C,則a的取值范圍是

.

(-∞,-1]2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B?A,則m的取值范圍為

.

(-∞,1]【解析】

當m≤0時,B=?,顯然B?A.當m>0時,因為A={x|-1<x<3}.當B?A時,在數(shù)軸上標出兩集合,如圖,題型三

集合的基本運算(高頻考點)集合的基本運算是歷年各地高考的熱點,每年必考,常和不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域相結(jié)合命題,主要以選擇題的形式出現(xiàn).試題多為低檔題.高考對集合運算的考查主要從以下三個角度命題:①求集合間的交或并運算;②求集合的交、并、補的混合運算;③已知集合的運算結(jié)果求參數(shù)的值(范圍).【例3】

(1)(2019·桂林模擬)已知集合M={x|-1<x<3},N={-1,1},則下列關(guān)系正確的是(

)A.M∪N={-1,1,3}B.M∪N={x|-1≤x<3}C.M∩N={-1}D.M∩N={x|-1<x<1}(2)設(shè)集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠?,則a的取值范圍是(

)A.-1<a≤2 B.a>2C.a≥-1 D.a>-1(3)(2019·廈門模擬)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.a≤1 B.a<1C.a≥2 D.a>2【解析】

(1)M∪N={x|-1≤x<3},M∩N={1},故選B.(2)由A∩B≠?知,集合A,B有公共元素,作出數(shù)軸,如圖所示:易知a>-1,故選D.(3)B={x|1<x<2},由A∩B=B知B?A,則a≥2,故選C.【答案】(1)B

(2)D

(3)C【規(guī)律方法】解決集合運算問題需注意以下三點(1)看元素組成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提.(2)看集合能否化簡,集合能化簡的先化簡,再研究其關(guān)系并進行運算,可使問題簡單明了,易于求解.(3)要借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地,集合元素離散時用Venn圖表示;集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示,并注意端點值的取舍.變式訓練三1.(2017·北京卷)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},則A∩B=(

)A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}A【解析】

由集合交集的定義可得A∩B={x|-2<x<-1},故選A.

2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},則(?UP)∪Q=(

)A.{1} B.{3,5}C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}3.(2019·東北三省四市聯(lián)考)設(shè)集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},則A∪B=(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(-1,3) D.(1,3)C【解析】

因為U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},所以?UP={2,4,6},因為Q={1,2,4},所以(?UP)∪Q={1,2,4,6}.【解析】

A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3},故選C.C4.已知集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},則圖中陰影部分表示的集合是

.

{x|0≤x<6}【解析】

由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,所以A={x|-1<x<6}.由2x<1,解得x<0,所以B={x|x<0}.又圖中陰影部分表示的集合為(?UB)∩A,因為?UB={x|x≥0},所以(?UB)∩A={x|0≤x<6}.題型四

判斷含邏輯詞連接的命題的真假【例4】

已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2,在命題①p∧q;②p∨q;③p∧(-q);④(-p)∨q中,真命題是(

)A.①③

B.①④C.②③

D.②④【解析】

p為真;對于命題q:若x>y,令x=1,y=-2,顯然x2<y2,命題q為假命題.則

p為假命題,-q為真命題,因此p∧q為假,p∨q為真,p∧(-q)為真,(-p)∨q為假,故選C.【答案】C【規(guī)律方法】“p∧q”“p∨q”“p”等形式命題真假的判斷步驟(1)確定命題的構(gòu)成形式.(2)判斷其中命題p,q的真假.(3)依據(jù)“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,來確定“p∧q”“p∨q”“p”等形式命題的真假.變式訓練四(2019·泰安模擬)已知命題p:?x>0,ln(x+1)>0;命題q:若a>b,則a2>b2.下列命題為真命題的是(

)A.p∧q

B.p∧(q)C.(p)∧q D.(p)∧(q)B【解析】

∵x>0,∴x+1>1,∴l(xiāng)n(x+1)>ln1=0.∴命題p為真命題,∴

p為假命題.∵a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,此時a2<b2,∴命題q為假命題,∴

q為真命題.∴p∧q為假命題,p∧

q為真命題,

p∧q為假命題,

p∧

q為假命題.故選B.題型五

充分條件與必要條件的判定【例5】

(1)(2018·北京卷)設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù),則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件(2)設(shè)集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“m?M”是“m?N”的(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(3)設(shè)命題p:(4x-3)2≤1,命題q:x2-(2m+1)x+m(m+1)≤0,若

p是

q的必要不充分條件,則實數(shù)m的取值范圍是(

)要而不充分條件,故選B.(2)條件與結(jié)論都是否定形式,可轉(zhuǎn)化為判斷“m∈N”是“m∈M”的什么條件.由N?M知,“m∈N”是“m∈M”的充分不必要條件,從而“m?M”是“m?N”的充分不必要條件,故選A.由x2-(2m+1)x+m(m+1)≤0得m≤x≤m+1,即q:m≤x≤m+1.由

p是

q的必要不充分條件知,p是q的充分不必要條件,【答案】(1)B

(2)A

(3)A【規(guī)律方法】充分條件和必要條件的三種判斷方法(1)定義法:可按照以下三個步驟進行①確定條件p是什么,結(jié)論q是什么;②嘗試由條件p推結(jié)論q,由結(jié)論q推條件p;③確定條件p和結(jié)論q的關(guān)系.(2)等價轉(zhuǎn)換法:對于含否定形式的命題,如﹁p是﹁q的什么條件,利用原命題與逆否命題的等價性,可轉(zhuǎn)化為求q是p的什么條件.(3)集合法:根據(jù)p,q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.【易錯警示】判斷條件之間的充要關(guān)系要注意條件之間的語句描述,比如正確理解“p的一個充分不必要條件是q”應(yīng)是“q推出p,而p不能推出q”.變式訓練五1.(2018·合肥一模)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B【解析】

由x2+2x-8>0,可解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要條件,故選B.2.若“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分條件,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.[-1,1] B.[-1,0]C.[1,2] D.[-1,2]3.(2019·常德一中月考)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,則a的最小值為

.

A【解析】

由題意知(-1,4)?(2m2-3,+∞),∴2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1,故選A.3

【解析】

由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因為“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值為3.題型六

全(特)稱命題的否定(高頻考點)全稱命題與特稱命題是高考的常考內(nèi)容,多和其他數(shù)學知識相結(jié)合命題,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).高考對全稱命題、特稱命題的考查主要從以下兩個角度命題:①判斷全稱命題、特稱命題的真假性;②全稱命題、特稱命題的否定.

變式訓練六1.命題“對任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定為(

)A.對任意x∈R,都有x2<ln2B.不存在x∈R,使得x2<ln2D2.(2018·河南三市第二次聯(lián)考)若命題“?x∈R,使得sinxcosx>m”是真命題,則m的值可以是(

)A1.(2019·山東濰坊月考)已知集合M={x|x2-x-2=0},N={-1,0},則M∪N=(

)A.{-1,0,2} B.{-1}C.{0} D.?2.(2019·廣東惠州模擬)已知集合M={0,1,2,3},N={x|x2=1},則M∩N=(

)A.{1} B.{-1,1}C.{1,0} D.{-1,1,0}A【解析】

集合M={x|x2-x-2=0}={x|x=2或x=-1}={-1,2},N={-1,0},則M∪N={-1,0,2}.【解析】

N={x|x2=1}={-1,1},M∩N={1}.A是(

)A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x<0}C.{x|-1≤x<0} D.{x|-1<x<0}C

【解析】

∵A∪B=A,∴B?A,∴m∈A,∴m=3或m=,解得m=0或3.B5.(2018·臨沂質(zhì)檢)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若?UB?A,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)6.(2019·湖南長郡中學聯(lián)考)若x>2m2-3是-1<x<4的必要不充分條件,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.[-3,3] B.(-∞,-3]∪[3,+∞)C.(-∞,-1)∪[1,+∞) D.[-1,1]D【解析】

因為x2-3x+2>0,所以x>2或x<1.所以A={x|x>2或x<1},因為B={x|x≤a},所以?UB={x|x>a}.因為?∪B?A,借助數(shù)軸可知a≥2,故選D.【解析】

∵“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分條件,∴(-1,4)?(2m2-3,+∞),因此2m2-3≤-1,解之得-1≤m≤1.D7.命題“對任意x∈[1,2),x2-a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是(

)A.a≥4 B.a>4

C.a≥1 D.a>18.(2018·福州質(zhì)檢)已知命題p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,則

p是(

)A.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0B.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0B【解析】

要使“對任意x∈[1,2),x2-a≤0”為真命題,只需要a≥4,所以a>4是命題為真的充分不必要條件.C【解析】

已知全稱命題p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)≥0,則

p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,故選C.為真的是(

)A.p∧(q) B.(p)∧qC.p∧q

D.(p)∨q10.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若C∩A=C,則a的取值范圍是

.

A命題q:?x∈(2,+∞),x2>2x,當x=4時,42=24,∴命題q為假.所以p∧(

q)為真,故選A.(-∞,-1]

【解析】

因為C∩A=C,所以C?A.

1.設(shè)全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k<2},且B∩(?UA)≠?,則(

)A.k<0 B.k<2