2022-2023學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題：線段上的動點(diǎn)問題（解析版）

專題09線段上的動點(diǎn)問題

類型一、求線段長度問題

例1.數(shù)軸上有/,B,C三點(diǎn)，A,3表示的數(shù)分別為〃（機(jī)<〃），點(diǎn)C在2的右側(cè)，AC-AB=2.

_j-------1---

ABC

圖1

AEFBC>

圖2

—1---------1-------->

AB

備用圖

⑴如圖1,若多項(xiàng)式（〃-1卜3一2^+"1+3》-1是關(guān)于》的二次三項(xiàng)式，請直接寫出〃?，〃的值：

（2）如圖2,在（1）的條件下，長度為1的線段E尸（E在尸的左側(cè)）在4,8之間沿?cái)?shù)軸水平滑動（不與

A,8重合），點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)，N是3尸的中點(diǎn)，在E尸滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判

斷并說明理由；

⑶若點(diǎn)。是/C的中點(diǎn).

①直接寫出點(diǎn)。表示的數(shù)（用含相，"的式子表示）；

②若4D+2BD=4,試求線段48的長.

【答案】（1）加=-5,"=1；⑵不變化，理由見解析；⑶①等+1；②?

【解析】⑴解:由題可知，77-1=0,7+5=2,

???〃=1,m=-5

故答案為：m=-5,?=1

⑵解：的長不發(fā)生變化，理由如下：

由題意，得點(diǎn)C表示的數(shù)為3,

設(shè)點(diǎn)￡表示的數(shù)為無，則點(diǎn)廠表示的數(shù)為x+1

AB=6,BC=2,AE=x+5,AF=x+6,EC=3—x,BF=—x,

???點(diǎn)/是EC的中點(diǎn)，N是B尸的中點(diǎn)

：.MC=ME=^~,NF=—,^MN=ME-EF-FN=^^-l--=-

22222

AEFNMBC

⑶解：①，.?/，8表示的數(shù)分別為"?，?(?<?)

又點(diǎn)C在8的右側(cè)，-加

vAC—AB=2,.'.AC=n-m+2

,??點(diǎn)。是/c的中點(diǎn)，??.4D=!/C=I(w-m+2)

22

1rn+n

表示的數(shù)為：m+—(n-m+2)---------Fl

22

②依題意，點(diǎn)C表示的數(shù)分別為〃+2

/八m+nin-m,

/.AB=n—m,AD=-------\-\—m=---------F1

22

八一m+n,m-n,八八一_m-n,?7

:.BD=-------Fl—AZ=-----------i-l,2BD=2-------Fl=\m—n+2\

22211

n—mI7，

vAD+2BD=4,a即n+41+1加一〃+2|=4

當(dāng)加一〃+2>0時(shí).--——Fl+(加一〃+2)=4,m-n=2

?.?加<〃，.?.加一〃二2不符合題意,舍去

當(dāng)加一〃+2<0時(shí).n；+]_(加_〃+2)=4,n-m=^-

綜上所述，線段N5的長為g.

―?-------------------------?_?------------------1——>

ADBC

例2.已知在數(shù)軸上點(diǎn)/、B、C對應(yīng)的數(shù)分別為。、b、c.

⑴如圖1是一個(gè)正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個(gè)面都有一個(gè)有理數(shù)，其相對面上的兩個(gè)數(shù)互為

相反數(shù)，并且圖2中，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，則°=,b=,c=；

(2)如圖3若〃，b,c滿足卜+5|+20+4|+(C-3)2=0,

①Q(mào)二，b=,c-；

②若點(diǎn)/、8沿?cái)?shù)軸同時(shí)出發(fā)向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)4速度為2個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)5速度為1個(gè)單位長度/

秒.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，秒，運(yùn)動過程中，當(dāng)4為5C的中點(diǎn)時(shí)，求，的值.

【答案】(1)-7,3,-2；(2)①5-4,3,②當(dāng)/為5c的中點(diǎn)時(shí)，/=3

【解析】⑴解:"與"7"相對，*"與"-3"相對,

???相對面上的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，"=-7,6=3,

???點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，q?3=2

故答案為：-7,3,-2；

(2)解：①解a+5|N0,2|Z>+4|>0,(c-3)2>0,

.,-(2+5=0,Z?+4=0,c-3=0,?,.?=-5,6=4c=3,

故答案為：-5,-4,3；

②當(dāng)點(diǎn)4與點(diǎn)。重合時(shí)，貝IJ2U3-(-5),解得片4,

當(dāng)點(diǎn)5與點(diǎn)。重合時(shí)，則U3-(-5),解得六8,

可見點(diǎn)A先到達(dá)點(diǎn)C,

只存在AB=AC,且點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)而在點(diǎn)C左側(cè)的情況，

???---=-5+2f,解得：f=3.

2

???當(dāng)4為的中點(diǎn)時(shí)，U3.

例3,已知：如圖L"是定長線段45上一定點(diǎn)，。、。兩點(diǎn)分別從M、5出發(fā)以lcm/s、3cm/s的速度沿直

線A4向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(。在線段上，。在線段8”上)

<——<--------.

ill?I

ACMDB

圖1

l______________i______________________I

AMB

圖2

⑴若，8=llcm,當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了Is,求NC+MD的值.

⑵若點(diǎn)C、。運(yùn)動時(shí)，總有M)=3/C,直接填空：AM=BM.

2MN

⑶在(2)的條件下，N是直線48上一點(diǎn)，且AN-BN=MN,求7一的值.

3AB

11?

【答案】(l)7cm；(2)-；(3)§或§

【解析】⑴解：當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了1s時(shí)，CM=lcm,BD=3cm

■■AB=llcm,CM=1cm,BD=3cm

■?.AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.

(2)解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為3則CN=3BD=3t,

■：AC=AM-t,MD=BM-3t,

又MD=3AC,-.BM-3t=3AM-3t,即2M=3/M,：.AM=^BM

故答案為：—.

⑶解：由(2)可得：

■：BM=AB-AM.-.AB-AM=3AM,：.AM=-AB,

4

①當(dāng)點(diǎn)N在線段48上時(shí)，如圖

I___________I____________I______I

AMNB

■■AN-BN=MN,

p112MN1

又■:AN-AM=MN,：.BN=AM=-AB,：.MN=~AB,即----=-.

423AB3

②當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時(shí)，如圖

|??I

AMBN

■■■AN-BN=MN,

?MN2MN2

5L--AN-BN=AB,：.MN=AB,：.——=1,a即n----=-.

N33AB3

綜上所述黑=:或:

3AB33

【變式訓(xùn)練1】【新知理解】

如圖①，點(diǎn)M在線段上，圖中共有三條線段48、和若其中有一條線段的長度是另外一條線

段長度的2倍，則稱點(diǎn)〃是線段AB的“和諧點(diǎn)”.

圖③"

⑴線段的中點(diǎn)()這條線段的“和諧點(diǎn)"(填"是"或"不是")；

(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD=12cm,點(diǎn)N是線段CD的和諧點(diǎn)，則CN=()cm；

(3)【解決問題】如圖③，已知/3=15cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以lcm/s速度沿48向點(diǎn)2勻速移動：點(diǎn)

。從點(diǎn)8出發(fā)，以2〃?/s的速度沿8/向點(diǎn)N勻速移動，點(diǎn)P、。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動

停止，設(shè)移動的時(shí)間為3請直接寫出f為何值時(shí)，/、P、。三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段

的和諧點(diǎn).

【答案】(1)是；(2)6或4或8c,,⑶f為3或當(dāng)或9或當(dāng)或?qū)W或6

74o7

【解析】⑴解：若點(diǎn)〃是線段的中點(diǎn)時(shí)，滿足

???線段的中點(diǎn)是這條線段的“和諧點(diǎn)"，

故答案為：是；

(2)解：①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN=^CD=6cm；

②N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，CN=；CO=4cm；

③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近。時(shí)，CN=-CD=8cm.

故答案為：6cm或4cm或8cm；

(3)解：-AB=15cm,."秒后，AP=t,^0=15-2t(0<Z<7.5),

由題意可知，4不可能為。、。的和諧點(diǎn)，此情況排除；

①P為4、。的和諧點(diǎn)，有三種情況：

1)P為中點(diǎn)，AP=^-AQ,即(15-2。，解得看:；

2)P為的三等分點(diǎn)，且尸靠近/,AP^^AQ,即才=；(15-2力，解得f=3；

3)P為N0的三等分點(diǎn)，且P靠近。，AP=^AQ,即(15-2?),解得f=］；

②0為/、尸的和諧點(diǎn)，有三種情況：

1)0為中點(diǎn)，AP=^AQ,即15—9，解得f=6；

1145

2)0為4P的二等分點(diǎn)，且P靠近4,即15-2%=§3解得￡=不；

7945

3)0為/尸的三等分點(diǎn)，且尸靠近0,AP=-AQ即15-2%=力，解得/=?.

JfJX

綜上所述，f為3或夕或，或不或/或6時(shí)，/、P、。三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的

和諧點(diǎn).

【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1,M是定長線段N8上一定點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)分別從M、8出發(fā)以lcm/s、3cm/s

的速度沿直線A4向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段上，。在線段3M上)

I____I_<_——___I_________<-I_--_--_--_-_--_--_--_--_,I

ACMDB

圖1

I__________i________________I

AMB

圖2

(1)若N8=llcm,當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了Is,求NC+MD的值.

(2)若點(diǎn)C、。運(yùn)動時(shí)，總有M)=3/C,直接填空：4M=BM.

2MN

⑶在(2)的條件下，N是直線上一點(diǎn)，旦AN-BN=MN,求式「的值.

3AB

11?

【答案】(l)7cm；(2)］；(3)§或§

【解析】⑴解：當(dāng)點(diǎn)。、。運(yùn)動了1s時(shí)，CM=lcm,BD=3cm

^AB=llcm,CM=1cm,BD=3cm

:?AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.

(2)解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為3則BD=3t,

-AC=AM-t,MD=BM-3t,

又MD=3/C,.g/-3t=3/〃-33即故答案為：

⑶解：由(2)可得：

1

■：BM=AB-AM,：.AB-AM^SAM,：.AM=-AB,

4

①當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖

I_____________I______________I_______I

AUNB

■■■AN-BN=MN,

r112MN1

又?:AN-AM=MN,；.BN=AM=—AB,.-.MN=-AB,即-------=-.

423AB3

②當(dāng)點(diǎn)N在線段48的延長線上時(shí)，如圖

I111

AMBN

-AN-BN=MN,

立MN2MN2

又'-'AN-BN=AB,：.MN=AB,,???-----=1,即an-------=一.

AB3AB3

綜上所述篝或:

3AB33

【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)C在線段上，AC=2BC,點(diǎn)、D、E在直線48上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè).若

48=18,DE=8,線段。E在線段48上移動.

ADCE_BACB

圖1備用圖

⑴如圖1,當(dāng)E為8C中點(diǎn)時(shí)，求的長；

(2)點(diǎn)尸(異于A,B,C點(diǎn))在線段42上，AF=3AD,CE+EF=3,求的長.

【答案】⑴7；(2)3或5

【解析】(1)/C=22C,AB=1S,BC=6,/C=12,

如圖1,

I-------------1-------------1--------11

ADCEB

圖1

為8c中點(diǎn)，:.CE=BE=3,

;DE=8,：.BD=DE+BE=8+3=\l,：.AD=AB-DB=18-11=1,

(2)1、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè)，如圖2,

?-------------1-----------------1_LJ--------1

Ab圖21力

或4D圖2(而C尸3

?:CE+EF=3,BC=6,點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)，

/.CF=BF=3,：.AF=AB-BF=1S-3=15,：.AD=-AF=5,

3

,:CE+EF=3,故圖2(6)這種情況求不出；

II、如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)尸的右側(cè)，

AD~Ec彳

圖3

或4"DCEi

一圖3(b)

AC=12,CE+EF=CF=3,:.AF=AC-CF=9,

：.AF=3AD=9,

/.AD=3.

?；CE+EF=3,故圖3(b)這種情況求不出;

綜上所述：的長為3或5.

類型二、定值問題

例.如圖1,線段AB長為24個(gè)單位長度，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線AB運(yùn)動,

M為AP的中點(diǎn)，設(shè)P的運(yùn)動時(shí)間為X秒.

~~AMPB~

ffll

~~AMBNP-

圖2

⑴P在線段AB上運(yùn)動，當(dāng)=時(shí)，求x的值.

(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動時(shí)，求(2西-8尸)的值.

(3汝口圖2,當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長

度.如變化，請說明理由.

【答案】⑴x=6；(2)23-8尸為定值24；⑶初V=12.

【解析】⑴解：YM是線段AP的中點(diǎn)，=

PB=AB-AP=24-2x,

PB=2AM,24-2x=2x,解得x=6.

(2)解：AM^x,BM^24-x,PB=24-2x,

.-.2W-5P=2(24-x)-(24-2x)=24,

即23河-8尸為定值24.

⑶解：當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P在B點(diǎn)的右側(cè).

-.■PA=2x,AM=PM=x,PB=2x-24,PN=-PB=x-12,

2

.-.MN=PM-PN=x-{x-12)=\2,

所以MN的長度無變化是定值.

【變式訓(xùn)練1】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,8表示的有理數(shù)分別為-6,3,點(diǎn)P是射線42上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)

A,8重合)，M是線段4P靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段AP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

A????B>

-6013

(1)若點(diǎn)？表示的有理數(shù)是0,那么的長為；若點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是6,那么九W的長為

（2）點(diǎn)尸在射線22上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,3重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出

求的長的過程；若改變，請說明理由.

【答案】（1）6；6；（2）不發(fā)生改變，MN為定值6,過程見解析

【詳解】解：（1）若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0（如圖1）,則AP=6,BP=3.

AMpNB

..一B,■?

-63

圖1

???M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

22

.-.MP=-AP=4,NP=§BP=2,.?.MN=MP+NP=6；

若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6（如圖2）,則AP=12,BP=3.

A??MB?N??p>

-6圖23

???M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

2?

.-.MP=-AP=8,NP=§BP=2,.-.MN=MP-NP=6.故答案為：6；6.

（2）MN的長不會發(fā)生改變，理由如下：

設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)是a（a>-6且辭3）.

當(dāng)-6<aV3時(shí)（如圖1）,AP=a+6,BP=3-a.

是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

2222

.-.MP=-AP=-（a+6）,NP=-BP=-（3-a）,；.MN=MP+NP=6；

當(dāng)a>3時(shí)（如圖2）,AP=a+6,BP=a-3.

???M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

2222

.-.MP=-AP=y（a+6）,NP=§BP=§（a-3）,；.MN=MP-NP=6.

綜上所述：點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,B重合）的過程中，MN的長為定值6.

【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)尸是定長線段上一點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)分別從點(diǎn)P、3出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒

的速度沿直線48向左運(yùn)動（點(diǎn)C在線段/尸上，點(diǎn)。在線段2P上）.

（1）若點(diǎn)C、。運(yùn)動到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2/C,請說明點(diǎn)尸在線段48上的位置；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)。是直線N8上一點(diǎn)，且/。-求當(dāng)?shù)闹担?/p>

（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)C、。運(yùn)動5秒后，恰好有=此時(shí)點(diǎn)C停止運(yùn)動，點(diǎn)。繼續(xù)運(yùn)動

2

(點(diǎn)。在線段P8上)，點(diǎn)M、N分別是。、尸。的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①尸M-PN的值不變；②坦的值

AB

不變.可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值.

11111

ACPDB

【答案】(1)點(diǎn)P在線段AB的(處；(2)(或1；(3)結(jié)論②3的值不變正確，空二.

33ABAB12

【詳解】解:(1)設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則尸A==

由PZ)=24C得尸8-2/=2(/P-f),即必=2/尸

QAP+PB=4B,AP+2AP=AB,3AP=AB,即4P=；4B,所以點(diǎn)P在線段AB的;處；

(2)①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，

I?1__________I

APQB

由=尸?？芍狽Q=尸0+20,

QAQ=AP+PQ,PQ=AP=-AB,:.^=-

3AB3

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時(shí)，

1,1一

APBQ

QAQ-BQ=AB,AQ-BQ=PQ,AB=PQ,.)=1

AB

綜合上述，岑的值為:或1;

AB3

(3)②出^的值不變.

AB

由點(diǎn)。、。運(yùn)動5秒可得C尸=5,50=5x2=10,

如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，

1----'_1-----H---1-------1

ACPMNDB

點(diǎn)C停止運(yùn)動時(shí)，CD=^AB,

?.?點(diǎn)M、N分別是CD、尸。的中點(diǎn)，.?.CW=LCD,PN=L/Y),:.CM=-AB

224

:.PM=CM-CP=-AB-5

4

21211

QPD=PB—BD=—AB—U),PN=-(-AB-10)=-AB-5,MN=PN-PM=—AB

323312

_4R

當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動時(shí)，MN的值不變，所以12_1;

AB~AB~12

如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時(shí)，

II11J，---------------------------------------------1

ACMPNDB

點(diǎn)C停止運(yùn)動時(shí)，CD=^AB,

???點(diǎn)〃、N分別是C。、尸。的中點(diǎn)，.?.CW=gc2PN=gp。,:.CM=^AB

:.PM=CP-CM=5--AB

4

21211

QPD=PB-BD=-AB-\Q,PN=-（-AB-10）=-AB-5,MN=PN+PM=-AB

323312

A

當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動時(shí)，MN的值不變，所以迫=L邁蘭B=，；

AB~AB~12

所以②竽的值不變正確，黑=卜

ABAB12

【變式訓(xùn)練3】（1）如圖1,在直線23上，點(diǎn)尸在A、3兩點(diǎn)之間，點(diǎn)初為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段/P

的中點(diǎn)，若AB=n,且使關(guān)于x的方程（〃-4）x=6-〃無解.

①求線段48的長；

②線段九W的長與點(diǎn)尸在線段N8上的位置有關(guān)嗎？請說明理由；

pA_i_PR

⑵如圖2,點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)?在線段的延長線上，試說明的值不變.

111IJ

AypMB

圖i

ACBP

即2

【答案】（1）①AB=4；②線段MN的長與點(diǎn)P在線段43上的位置無關(guān)，理由見解析；（2）見解析.

【詳解】解：（1）①???關(guān)于x的方程（"-4）x=6-”無解..-.n-4=0,解得：n=4.故AB=4.

②線段九W的長與點(diǎn)尸在線段42上的位置無關(guān)，理由如下：

為線段PB的中點(diǎn)，；.PM=yPB.

同理：PN=yAP..

.?.MN=PN+PM=y(PB+AP)=yAB=yx4=2.

???線段MN的長與點(diǎn)P在線段AB上的位置無關(guān).

(2)設(shè)AB=a,BP=b,則PA+PB=a+b+b=a+2b.

???C是AB的中點(diǎn)，.=

22

1PA+PBa+2b.

/.PC=PB+BC=-a+b'pcI

2—af+b

2

pAPR

所以二靠_i_色的值不變.

類型三、數(shù)量關(guān)系

例.已知線段45,點(diǎn)C在直線上，。為線段5C的中點(diǎn).

--------------------------------------------?----------------------------------?----------------

AB

AB

（備用圖）

⑴若45=8,AC=2,求線段的長.

⑵若點(diǎn)E是線段4C的中點(diǎn)，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】⑴3或5

⑵AB=2DE,理由見解析

【解析】（1）解：如圖L當(dāng)。在點(diǎn)4右側(cè)時(shí)，

?----------?-------------------?-------------------?

ACDB

圖1

???45=8,AC=2,BC=AB-AC=6,

是線段2c的中點(diǎn)，：.??C〃=；3C=3；

如圖2,當(dāng)C在點(diǎn)/左側(cè)時(shí)，

■--------->--------------■------------------------■

CADB

圖2

vAB=S,AC=2,；,BC=AB+AC=10,

是線段2C的中點(diǎn)，二。=；8c=5；綜上所述，0=3或5；

（2）解：AB=2DE.

理由是：如圖3,當(dāng)C在點(diǎn)/和點(diǎn)3之間時(shí)，

?-------?---------?-------------------------------?-------------------------------?

AECDB

圖3

???￡是/C的中點(diǎn)，。是5c的中點(diǎn)，.%。=2及\BC=2CD,

：.AB=4C+BC=2EC+2CD=2DE；

如圖4,當(dāng)C在點(diǎn)4左側(cè)時(shí)，

?------??-----------------------?----------------------------------------?

CEADB

圖4

同理可得：AB=BC-AC=2CD-ICE=2（CD-CE）=2DE；

如圖5,當(dāng)C在點(diǎn)8右側(cè)時(shí)，

?------------------------------?~~?-------------?-------------?

AEBDC

圖5

同理可得：4B=AC-BC=2EC-2CD=2（EC-CD）=2DE.

、.4

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知線段延長線段氏4至C,使C5=§/反

AB

AT

（1）請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整.直接寫出-示=_______；

AB

（2）設(shè)=9cm，點(diǎn)。從點(diǎn)5出發(fā)，點(diǎn)￡從點(diǎn)力出發(fā)，分別以3cm/s,lcm/s的速度沿直線向左運(yùn)

動.

①當(dāng)點(diǎn)D在線段N8上運(yùn)動，求名的值；

②在點(diǎn)。，￡沿直線AB向左運(yùn)動的過程中，M,N分別是線段DE、N2的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段的

三等分點(diǎn)時(shí)，求的長.

【答案】（1）（2）3,（3）12cm或24cm.

【詳解】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，

CAB

4iAT1i

*.*CB——AB,CA—BC—AB=—AB,-----=—,故答案為：—；

33AB33

(2)①=9cm,由(1)得，CA=jAB=3(cm),設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為f秒,

Ar)Q_Q#

￡M=(9-37)cm,C￡=(37)cm,|^=y^=3,

CEADB

②當(dāng)=3c時(shí)，???/B=9cm,G4=3cm,..CB=2CD=12cm,

CD=6cm,BD=3CD=lScm,

運(yùn)動時(shí)間為：18+3=6(秒)，則NE=6cm,

BE=BA+AE=15cm,ED=BD-BE=3cm,

,:M,N分別是線段。E、48的中點(diǎn)..?.DM=1.5cm,BN=45cm,

MN=BD-DM-BN=\2cm,

DMECANB

當(dāng)=3cB時(shí)，r/B=9cm,C/=3cm,二C8=12cm,BD=3CB=36cm,

運(yùn)動時(shí)間為：364-3=12(秒)，貝！J/E=12cm,BE=BA+AE=21cm,ED=BD-BE=15cm,

■：M,N分別是線段。E、的中點(diǎn).二。朋=7.5cm,57V=4.5cm,

MN=BD—DM-BN=24cm,

DMECANB

綜上，MV的長是12cm或24cm.

【變式訓(xùn)練2】已知代數(shù)式〃=(a-16)x3+20x?+10x+9是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，且二次項(xiàng)系數(shù)為6.如圖,

在數(shù)軸上有/、B、C三個(gè)點(diǎn)，且/、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別是a、b、c,已知NC=64B.

(1)直接依次寫出a、b、c的值：,,；

(2)若動點(diǎn)P、。分別從C、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動，且點(diǎn)。不超過點(diǎn)/.在運(yùn)動過程中，￡為線段

/尸的中點(diǎn)，尸為線段2。的中點(diǎn)，若動點(diǎn)尸的速度為每秒2個(gè)單位長度，動點(diǎn)。的速度為每秒3個(gè)單位長

度,則的值是_______;

EF

(3)若動點(diǎn)P、。分別從/、5兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都以每秒2個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動，動點(diǎn)M從點(diǎn)C出

發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為/秒，若動點(diǎn)尸、。分別從C、。兩點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)，時(shí)，數(shù)軸上有一點(diǎn)N與點(diǎn)河的距離始終為2個(gè)單位長度，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，7為線段

九W上的一點(diǎn)(點(diǎn)7不與M、N重合)，在運(yùn)動的過程中，若滿足MQ-N7=3尸7(點(diǎn)7不與點(diǎn)P重合)，求

出此時(shí)線段尸7的長度.

COA_B

【答案】(1)16,20,-8；(2)2；(3)尸7=1或尸7=]

【詳解】解：(1)：M=m-16)x3+20x2+i0x+9是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，二次項(xiàng)的系數(shù)為6

.,.?=16,b=20,；.4B=4,

9：AC=6AB,???4C=24,A16-c=24,；.c=—8,

故答案為：16,20,-8

(2)設(shè)點(diǎn)尸的出發(fā)時(shí)間為/秒，由題意得：①當(dāng)時(shí)，

EF=AE-AF=^AP-^BQ+AB=~(24-2t)-1(20-3?)+4=6+；,

：.BP-AQ=(28-It')-(16-3/)=12+3BP~A^=2.

1EF

②當(dāng)此2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，即40=0,點(diǎn)尸對應(yīng)的數(shù)值為:(16+20)=18；

32

此時(shí)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的右側(cè)，即OP=2-8,而尸8=|2「8-20|=|28-2(

則點(diǎn)￡對應(yīng)的值為。(2?-8+16)=/+4,則所=|18-