2023-2024學(xué)年北京市九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期中分類匯編：新定義（原卷版）

2023-2024學(xué)年北京市九年級(jí)上期中數(shù)學(xué)分類一一新定義

1.(2023秋?清華附中期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段48=4,點(diǎn)M,N在線段N5上，且兒加=2,

產(chǎn)為AW的中點(diǎn)，如果任取一點(diǎn)。，將點(diǎn)。繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)。'，則稱點(diǎn)為點(diǎn)0關(guān)

于線段的“旋平點(diǎn)”.

(1)如圖1,已知/(-1,0),B(3,0),Q(1,2),如果。'(a,b)為點(diǎn)。關(guān)于線段的“旋

平點(diǎn)”，畫出示意圖，寫出。的取值范圍；

(2)如圖2,。。的半徑為3,點(diǎn)力,3在。。上，點(diǎn)。(1,0),如果在直線x=%上存在點(diǎn)。關(guān)于線

段的“旋平點(diǎn)”，求加的取值范圍.

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2.（2023秋?北京四中期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為正.對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)/,若存在邊

長(zhǎng)為1的等邊△A8C,滿足點(diǎn)2在OO上，且。C2。/,則稱點(diǎn)/為。。的“近心點(diǎn)”，點(diǎn)C為。。的“遠(yuǎn)

心點(diǎn)

（1）下列各點(diǎn)：。（-3,0）,E（0,1+V3）,F）,G（l,-&）中，。。的“近心點(diǎn)”

有

（2）設(shè)點(diǎn)。與。。的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離為1,求d的取值范圍；

（3）直線y="lx+b（b〉0）分別交X，y軸于點(diǎn)跖M,且線段7W上任意一點(diǎn)都是。。的“近心

3

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3.(2023秋?北京八中期中)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)尸(不在坐標(biāo)軸上)給出如下定義：以尸

為圓心，為半徑的OP與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。，若在線段。0,OP上分別存在點(diǎn)M,N,使得△

MVP為等腰直角三角形，其中/尸血W=90°,則稱點(diǎn)P是完美點(diǎn).

如圖，若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為點(diǎn)(1,3),則在線段O。，OP上分別存在點(diǎn)“(0,5),N(2,6),使得△

MVP為等腰直角三角形，其中/PMN=90°,所以點(diǎn)P(1,3)是完美點(diǎn).

(1)下列點(diǎn)中是完美點(diǎn)的有(填序號(hào))；

①N(3,1)；

②3(2,2).

(2)已知P(m,〃)為拋物線＞=/上一點(diǎn)，若P為完美點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍；

(3)已知直線/：y=x+2,點(diǎn)/為直線/上一點(diǎn)，若以N(xo,jo)為圓心，半徑為1的。/上無(wú)完美

點(diǎn)，求xo的取值范圍.

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4.(2023秋?北京二中期中)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)尸和點(diǎn)°,給出如下定義：若滿足點(diǎn)。繞點(diǎn)

尸旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<180°)后落在半徑為1的圓。上，則稱點(diǎn)。是點(diǎn)尸的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為(4,3).

(1)點(diǎn)Bi(4,0)、&(-2,3)、B3(6,-1)中是點(diǎn)/的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是；

(2)點(diǎn)(m,0)是點(diǎn)/的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求力的取值范圍；

(3)已知直線>=-x+b交坐標(biāo)軸于M、N兩點(diǎn)，若線段上的所有點(diǎn)都是點(diǎn)/的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出

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5.（2023秋?匯文中學(xué)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)P,。和圖形少，如果在圖形少上存

在點(diǎn)N（M,N可以重合）使得那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)。是圖形少的一對(duì)平衡點(diǎn).

（1）如圖1,已知點(diǎn)/（0,3）,B（2,3）；

①設(shè)點(diǎn)O與線段上一點(diǎn)的距離為d,則d的最小值是,最大值是；

②在尸1（3,0）,P2（l，4）,己（-3,0）這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)。是線段的一對(duì)平衡點(diǎn)的是；

2

（2）如圖2,已知的半徑為1,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,0）.若點(diǎn)￡（x,2）在第一象限，且點(diǎn)。與點(diǎn)

￡是。。的一對(duì)平衡點(diǎn)，求x的取值范圍；

（3）如圖3,已知點(diǎn)〃（-3,0）,以點(diǎn)。為圓心，。〃長(zhǎng)為半徑畫弧交x的正半軸于點(diǎn)K.點(diǎn)C

b）（其中620）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OC=5,。。是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若黃上的

任意兩個(gè)點(diǎn)都是OC的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍.

圖2

圖3

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6.(2023秋?人大附中朝陽(yáng)學(xué)校期中)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圖形少上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，

將這個(gè)最大值記為乩對(duì)點(diǎn)尸及圖形少給出如下定義：點(diǎn)0為圖形少上任意一點(diǎn)，若尸，。兩點(diǎn)間的

距離有最大值，且最大值恰好為2d.則稱點(diǎn)P為圖形少的“倍點(diǎn)”.

(1)如圖1,圖形沙是半徑為1的OO.

①圖形少上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值d為;

②在點(diǎn)為(0,2),尸2(3,3),尸3(-3,0)中，的“倍點(diǎn)”是；

(2)如圖2,圖形水是中心在原點(diǎn)的正方形48CD,點(diǎn)/(-1,1).若點(diǎn)E(t,3)是正方形/BCD

的“倍點(diǎn)”，求才的值；

(3)圖形少是長(zhǎng)為2的線段MN,7為九加的中點(diǎn)，若在半徑為6的。。上存在線段的“倍點(diǎn)”，

直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)7組成的圖形的面積.

圖1圖2

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7.(2023秋?八十中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系宜打中，。。的半徑為1.對(duì)于點(diǎn)4和線段8C,給出如下

定義：若將線段5c繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦夕C，C分別是比C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱線

段8C是。。的以點(diǎn)/為中心的“關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖，點(diǎn)N,Bi,Ci,Bi,。2,B3,。3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段BiCi,52c2,33c3中，

的以點(diǎn)/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)△/8C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)/(0,力，其中/W0.若2C是OO的以點(diǎn)/為中心的''關(guān)

聯(lián)線段”，求才的值；

(3)在△/8C中，AB=1,/C=2.若2。是OO的以點(diǎn)/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出。區(qū)的最

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8.（2023秋?陳經(jīng)綸中學(xué)期中）對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)?，當(dāng)其自變量的值為p時(shí)，其

函數(shù)值等于P，則稱〃為這個(gè)函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時(shí)，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值

之差4稱為這個(gè)函數(shù)的不變長(zhǎng)度.特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不變值時(shí)，其不變長(zhǎng)度“為零.例如，圖中

的函數(shù)有0,1兩個(gè)不變值，其不變長(zhǎng)度q等于L

（1）函數(shù)①y=2x,②y=/+l,③y=7-2x中存在不變值的是（填序號(hào)）；

（2）函數(shù)y=2x2-6x.

①若其不變長(zhǎng)度為0,則b的值為；

②若1W6W3,求其不變長(zhǎng)度g的取值范圍；

（3）記函數(shù)y=/-2x（X*）的圖象為Gi,將Gi沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2，函數(shù)G

的圖象由G1和G2兩部分組成，若其不變長(zhǎng)度q滿足0Wq<3,則〃？的取值范圍

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9.（2023秋?陳經(jīng)綸中學(xué)望京分校期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形M上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大

值，將這個(gè)最大值記為d.對(duì)于點(diǎn)尸和圖形M給出如下定義：點(diǎn)0是圖形〃上任意一點(diǎn)，若尸，。兩點(diǎn)

間的距離有最小值，且最小值恰好為力則稱點(diǎn)尸為圖形/的“等距點(diǎn)”.

（1）如圖1,圖形M是矩形495C,其中點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,3）,則d=.在

點(diǎn)尸1（-1,0）,尸2（2,8）,ft（3,1）,p4（-721,-2）中，矩形％。5c的“等距點(diǎn)”是;

（2）如圖2,圖形M是中心在原點(diǎn)的正方形QMG,其中。點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1）.若直線y=x+b上存

在點(diǎn)P,使點(diǎn)尸為正方形。EFG的“等距點(diǎn)”，求b的取值范圍；

（3）已知點(diǎn)M（l,0）,N（0,M）.圖形"是以T（30）為圓心，1為半徑的。T.若線段MN上

存在點(diǎn)P,使點(diǎn)尸為0T的“等距點(diǎn)”，直接寫出/的取值范圍.

88

77

66

55

44

33

22

-S-4-3-2^1^2345a;-7-6-5-4-3-2-11^2345a;

-2

-3

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10.(2023秋?首師大附中朝陽(yáng)學(xué)校期中)我們規(guī)定，以二次函數(shù)y=a/+6x+c的二次項(xiàng)系數(shù)。的2倍為一

次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)6為常數(shù)項(xiàng)構(gòu)造的一次函數(shù)y=2ax+6叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)"，

反過(guò)來(lái)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y=2ax+6的“母函數(shù)".

(1)若一次函數(shù)y=2x-4是二次函數(shù)y=ax2+6x+c的“子函數(shù)"，且二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0),求此二

次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若“子函數(shù)"y=x-6的“母函數(shù)”的最小值為1,求“母函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式.

(3)已知二次函數(shù)y=-/-4x+8的“子函數(shù)”圖象直線/與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn),尸點(diǎn)在直線

/上方的拋物線上，求△尸CD的面積的最大值.

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11.（2023秋?牛欄山一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）將平面直角坐標(biāo)系xOy中的一些點(diǎn)分為兩類，滿足每類至少包含

兩個(gè)點(diǎn).對(duì)于同一類中的任意兩點(diǎn)P（XI,yi）,Q（X2,夕2）,稱陽(yáng)-X2|與歷-"I中的最大值為點(diǎn)尸和點(diǎn)

。的“聯(lián)絡(luò)量”，記作||尸，211.將每類能得到的最大聯(lián)絡(luò)量作為該類的“代表量”，定義代表量中的最

大值為這種分類的“類籌”.

如圖，點(diǎn)/,B,C,D,￡的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

（1）①點(diǎn)/,C,D,E,O,與點(diǎn)、B“聯(lián)絡(luò)量”是2的有；

②點(diǎn)M在平面上運(yùn)動(dòng)，已知將點(diǎn)。，E,M分在同一類時(shí)“代表量”是5,則動(dòng)點(diǎn)M所在區(qū)域的面積

為：

（2）已知二次函數(shù)y=4（x-A）2一3上的任一點(diǎn)K均滿足將點(diǎn)4B,C,D,E,K分為兩類的最小

“類籌”大于4,直接寫出h的取值范圍

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12.(2023秋?三帆中學(xué)期中)設(shè)7是平面內(nèi)的幾何變換，它使得平面內(nèi)任意一點(diǎn)尸都有唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,

從而使任何圖形G都能經(jīng)過(guò)變換T得到另一圖形G'.在此基礎(chǔ)上：

若點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是它本身，則稱點(diǎn)P是變換T的不動(dòng)點(diǎn)；

若圖形G經(jīng)過(guò)變換T后得到的圖形仍然是它本身，則稱圖形G是變換T的不動(dòng)圖形.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)/(1,1),B(0,2),C(2,0).

(1)變換乃：先關(guān)于y軸對(duì)稱，再將坐標(biāo)為(a,6)的點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)(4-a,b).

①若點(diǎn)/在經(jīng)過(guò)變換刀后得到點(diǎn)H,貝144,=；

②有下列圖形：

(A)過(guò)點(diǎn)N且平行于x軸的直線；

(3)開口向下，且以2為頂點(diǎn)的拋物線；

(C)以點(diǎn)C為圓心的半徑為1的圓.

其中是變換為的不動(dòng)圖形的是;

(2)變換？2：先關(guān)于直線y=fcr+l對(duì)稱，再關(guān)于y軸對(duì)稱.

請(qǐng)判斷點(diǎn)3、點(diǎn)C中哪個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換為后可能得到點(diǎn)力,并求出此時(shí)k的值;

(3)變換乃：先繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

①以C為圓心作半徑為:?的圓，若。。上存在點(diǎn)它經(jīng)過(guò)變換乙后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在x軸上，直接寫

出r的取值范圍；

②變換「3是否有不動(dòng)點(diǎn)？若有，寫出其不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

3-3-

2-B2-B

1?A]-?A

1,C,,>????,,C,，,

-4-3-2-101234立一4—3-2—1。1234力

-1一1-

-2

-3

-4

備用圖

第12頁(yè)(共20頁(yè))

13.(2023秋?鐵路二中級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)R和線段尸。，給出如下定義：M為線

段尸。上任意一點(diǎn)，如果凡初兩點(diǎn)間的距離的最小值恰好等于線段尸。的長(zhǎng)，則稱點(diǎn)R為線段尸。的

“等距點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)/(5,0).

①在點(diǎn)21(-3,4),Bi(1,5),Bi(4,-3),B4(3,6)中，線段OA的“等距點(diǎn)”是；

②若點(diǎn)C在直線y=2x+5上，并且點(diǎn)C是線段OA的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)D(1,0),點(diǎn)E(0,-1),圖形少是以點(diǎn)TC,0)為圓心，1為半徑的位于x軸及

x軸上方的部分.若圖形沙上存在線段DE的“等距點(diǎn)”，直接寫出/的取值范圍.

第13頁(yè)(共20頁(yè))

14.（2023秋?東城區(qū)景山學(xué)校期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,點(diǎn)N在。。上，點(diǎn)尸在

OO內(nèi)，給出如下定義：連接4P并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)3,若AP=kAB,則稱點(diǎn)尸是點(diǎn)/關(guān)于O。的左倍

特征點(diǎn).

（1）如圖，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（1,0）.

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-工，0）,則點(diǎn)尸是點(diǎn)/關(guān)于。。的倍特征點(diǎn)；

2

②在C1（0,工），C2（X0）,C3（X-1）這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)/關(guān)于。。的上倍特

22222

征點(diǎn)；

③直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)。，/。/0=60°.點(diǎn)￡在直線/上，且點(diǎn)￡是點(diǎn)/關(guān)于的上倍

2

特征點(diǎn)，求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

（2）若當(dāng)左取某個(gè)值時(shí)，對(duì)于函數(shù)y=-x+1的圖象上任意一點(diǎn)M,在。。上都存在點(diǎn)N,

使得點(diǎn)”是點(diǎn)N關(guān)于。。的k倍特征點(diǎn)，直接寫出k的最大值和最小值.

第14頁(yè)（共20頁(yè)）

15.(2023秋?東直門中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的半徑為1,尸是。。外一點(diǎn)，給出如下

的定義：若在。。上存在一點(diǎn)T,使得點(diǎn)尸關(guān)于某條過(guò)點(diǎn)7的直線對(duì)稱后的點(diǎn)0在。。上，則稱0為

點(diǎn)尸關(guān)于。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線y=2x上時(shí).

①若點(diǎn)尸(1,2),在點(diǎn)Q零)，0(0,1),0(1,0)中，點(diǎn)P關(guān)于O。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)

是;

②若尸關(guān)于。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。存在，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo),的取值范圍.

(3)已知點(diǎn)A(2,1-)＞動(dòng)點(diǎn)〃滿足若“關(guān)于。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)N存在，直接寫出的取值

范圍.

第15頁(yè)(共20頁(yè))

16.(2023秋?廣渠門中學(xué)期中)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x=m,對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作

該函數(shù)自變量大于根的部分關(guān)于直線工=加的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于優(yōu)的部分共

同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線X=7"的"鏡面函數(shù)例如：圖①是函

數(shù)y=x+l的圖象，則它關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解

析式為尸卜+1?！?)，也可以寫成尸M+1.

■[-x+l(x<0)

(1)在圖③中畫出函數(shù)y=-2x+l關(guān)于直線x=l的“鏡面函數(shù)”的圖象.

(2)函數(shù)y=x2-2x+2關(guān)于直線x=-1的"鏡面函數(shù)"與直線y=-x+加有三個(gè)公共點(diǎn)，求加的值.

(3)已知拋物線>="2-4"+2(a<0),關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn)P3,yi),Q

(X2,?),當(dāng)L1WX1W/+1,X224時(shí)，均滿足川》”，直接寫出/的取值范圍.

圖①圖②圖③

第16頁(yè)(共20頁(yè))

17.(2023秋?西城外國(guó)語(yǔ)期中)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系：xQy內(nèi)任意一點(diǎn)尸.過(guò)尸點(diǎn)作軸于點(diǎn)

軸于點(diǎn)N,連接ACV,則稱AW的長(zhǎng)度為點(diǎn)尸的垂點(diǎn)距離，記為肌特別地，點(diǎn)尸與原點(diǎn)重合時(shí)，

垂點(diǎn)距離為0.

(1)點(diǎn)/(2,0),B(4,4),C(-2,衣)的垂點(diǎn)距離分別

為,，.

(2)點(diǎn)尸在以。(遮，1)為圓心，半徑為3的O0上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離/?的取值范圍；

(3)點(diǎn)7為直線Z：y=y[3x+6位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)7的垂點(diǎn)距離h的每個(gè)值有且僅有一個(gè)

點(diǎn)T與之對(duì)應(yīng)，求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)f的取值范圍.

第17頁(yè)(共20頁(yè))

18.（2023秋?文匯中學(xué)級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定線段N3和點(diǎn)P,若滿足為＜48＜尸8或

者PBVABVPA,則稱點(diǎn)尸為線段48的偏序點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)/(2,0),

①在點(diǎn)囪（-1,0）,B2（l,“），83（2,3）,國(guó)（3,-1）中，是線段。區(qū)的偏序點(diǎn)的有

②若直線/：y=x+6上存在線段。/的偏序點(diǎn)，求6的取值的范圍.

（2）已知點(diǎn)0）,N（0,M）,是以1為半徑的圓，并且圓心C在x軸上運(yùn)動(dòng)，若線段

兒W上的點(diǎn)均為。C的某條直徑的偏序點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的取值的范圍.

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5-

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-2

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第18頁(yè)（共20頁(yè)）

19.(2023秋?海淀區(qū)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M不與原點(diǎn)重合.對(duì)于點(diǎn)尸給出如下定義:

點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P,點(diǎn)P關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)為Q,稱點(diǎn)。是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的“轉(zhuǎn)稱

點(diǎn)”.

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5-5-

4-4-

3-

2-