2022年北京中考數學一模分類匯編：函數探究題（學生版）

2022年北京中考數學一模分類匯編

函數探究題

1.（2022?海淀區(qū)一模）數學學習小組的同學共同探究體積為330〃遼圓柱形有蓋容器（如圖所示）的設計方案.他們想

探究容器表面積與底面半徑的關系.

具體研究過程如下，請補充完整：

（1）建立模型：設該容器的表面積為Sc%2,底面半徑為xcm,高為ycm,則

330=rof2y,①S=2Ttx2+2nxy,②由①式得y="。，代入②式得S=2TIX2+里立，③可知，S是x的函數，自

2

一一71xx

變量X的取值范圍是x>0.

（2）探究函數：根據函數解析式③，按照如表中自變量x的值計算（精確到個位），得到了S與x的幾組對應值：

x/cm???11.522.533.544.555.56???

S/cm1???666454355303277266266274289310336.??

在下面平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點，畫出該函數的圖象;

（3）解決問題：根據圖表回答,

①半徑為2.4cm的圓柱形容器比半徑為4.4c加的圓柱形容器表面積（填“大”或“小”）；

②若容器的表面積為300cm2,容器底面半徑約為cm（精確至!J0.］）.

iS/fem2

700

600

500

400

300

200

100

0123456

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2.（2022?西城區(qū)一模）要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，記噴出的水

與池中心的水平距離為巾7,距地面的高度為測量得到如表數值:

x/m00.511.522.533.37

ylm2.443.153.493.453.042.251.090

小騰根據學習函數的經驗，發(fā)現y是x的函數，并對y隨x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

（1）在平面直角坐標系xOy中，描出表中各組數值所對應的點（x,y）,并畫出函數的圖象；

（2）結合函數圖象，出水口距地面的高度為m,水達到最高點時與池中心的水平距離約為m（結

果保留小數點后兩位）；

（3）為了使水柱落地點與池中心的距離不超過3.2m，如果只調整水管的高度，其他條件不變，結合函數圖象，估

計出水口至少需要（填“升高”或“降低”）m（結果保留小數點后兩位）.

Ay/m

4-------1----------1--------1--------1

Illi

（ill

iiii

3-------十------1--------1--------1

IIII

IIII

IIII

2-------人------1-----1-----1

IIII

IIII

IIII

X||||

IIII

IIII

01234力/m

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3.（2022?東城區(qū)一模）某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度N3為4米.在距點/水平距離為d

米的地點，拱橋距離水面的高度為〃米.小紅根據學習函數的經驗，對d和力之間的關系進行了探究.

下面是小紅的探究過程，請補充完整:

（1）經過測量，得出了d和力的幾組對應值，如表.

d/米00.611.82.433.64

切米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和〃這兩個變量中，是自變量，是這個變量的函數；

（2）在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數的圖象；

（3）結合表格數據和函數圖象，解決問題：

①橋墩露出水面的高度/￡為米；

②公園欲開設游船項目，現有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為安全起見，公園要在水面

上的C,。兩處設置警戒線，并且要求游船能從C,。兩點之間安全通過，則。處距橋墩的距離3至

少為米.（精確到0.1米）

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4.（2022?朝陽區(qū)一模）某公園在人工湖里建造一道噴泉拱門，工人在垂直于湖面的立柱上安裝噴頭，從噴頭噴出的水

柱的形狀可以看作是拋物線的一部分.安裝后，通過測量獲得如下數據，噴頭高出湖面3米，在距立柱水平距離為

4米的地點，水柱距離湖面高度為人米.

d（米）0.501.001.502.002.503.00

h（米）3.754.003.753.001.750

請解決以下問題:

(1)在網格中建立適當的平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接;

(2)結合表中所給數據或所畫圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度;

(3)求人關于”的函數表達式;

(4)公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為1米，從安

全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米.工人想只通過調整

噴頭距離湖面的高度（不考慮其他因素）就能滿足上述要求，請通過計算說明應如何調整.

r1—T—r1

Lj1___LJ

J.——二-I

~\T—r1

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5.（2022?豐臺區(qū)一模）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，

水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分.若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d

米，與湖面的垂直高度為〃米.下面的表中記錄了d與〃的五組數據:

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根據上述信息，解決以下問題:

（1）在下面網格（圖1）中建立適當的平面直角坐標系，并根據表中所給數據畫出表示〃與d函數關系的圖象;

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為加米，則加=\

（3）現公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過.如

圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于

0.5米.已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不

計）至少調節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結果保留一位小數）.

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6.（2022?通州區(qū)一模）如圖1是某條公路的一個單向隧道的橫斷面.經測量，兩側墻和8C與路面垂直，隧

道內側寬/5=4米.為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面N8上取點￡,測量點E到墻面4D的距離和到隧道頂

面的距離EF.設/￡=x米，EF=y^z.

通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如表:

X（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0

y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00

（1）隧道頂面到路面N3的最大高度為米；

（2）請你幫助工程人員建立平面直角坐標系，描出表中各對對應值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的圖象.

圖2

（3）今有寬為2.4米，高為3米的貨車準備在隧道中間通過（如圖2）.根據隧道通行標準，其車廂最高點到隧道

頂面的距離應大于0.5米，結合所畫圖象，請判斷該貨車是否安全通過：（填寫“是”或“否”）.

圖1

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7.（2022?大興區(qū)一模）某景觀公園內人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的噴水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形

狀是一條曲線.現有一個垂直于湖面的噴水槍，在距噴水槍水平距離為x米處，水柱距離湖面高度為y米.經測量

得到如下數據:

X（米）0123456.??

y（米）2.502.883.002.872.501.881.01???

請解決以下問題：

（1）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了上表中y與x各對對應值為坐標的點.

請根據描出的點，畫出這條曲線；

（2）結合所畫曲線回答：

①水柱的最高點距離湖面約米；

②水柱在湖面上的落點距噴水槍的水平距離約為米；

（3）若一條游船寬3米，頂棚到湖面的高度2米，為了保證游客有良好的觀光體驗，游船需從噴泉水柱下通過,

如果不計其他因素，根據圖象判斷（填“能”或“不能”）避免游船被噴泉噴到.

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8.（2022?房山區(qū)一模）如圖，一個單向隧道的斷面，隧道頂是一條拋物線的一部分，經測量，隧道頂的跨度為4米，

最高處到地面的距離為4米，兩側墻高均為3米，距左側墻壁1米和3米時，隧道高度均為3.75米.設距左側墻壁水

平距離為x米的地點，隧道高度為y米.

請解決以下問題：

（1））在下邊網格中建立適當的平面直角坐標系，根據題中數據描點，并用平滑的曲線連接；

（2）請結合所畫圖象，寫出拋物線的對稱軸；

（3）今有寬為2.4米的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的高度為3.2米，要求卡車從隧道中間通過時，為保

證安全，要求卡車載物后最高點到隧道頂面對應的點的距離均不小于0.6米，結合所畫圖象，試判斷該卡車能否通

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9.（2022?門頭溝區(qū)一模）某景觀公園內人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形

狀是一條拋物線.現測量出如下數據，在距水槍水平距離為d米的地點，水柱距離湖面高度為米.

d（米）0d\12.03di???

h（米）h\1.62.12.52.10???

（1）在下邊網格中建立適當平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑曲線連接；

（2）結合表中所給數據或所畫的圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；

（3）求水柱在湖面上的落點距水槍的水平距離是多少？

（4）現公園想通過噴泉設立一個新的游玩項目，準備通過調節(jié)水槍高度使得公園的平頂游船能從噴泉最高點的正

下方通過（兩次水柱噴出水嘴的初速度相同）.如果游船寬度為3米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被

淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于0.8米，問應如何調節(jié)水槍的高度才能符合要求？請通過計算說明理由.

1----1---1----1---1----1---1----1---1----1---1

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1__1__1

11111111111

11111111111

1----1---1----1---1----1---1----1---1----1---1

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1__1__1

11111111111

11111111111

1-----1111111111

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1__1__1

11111111111

11111111111

1-----1111111111

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1___1__1

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10.（2022?平谷區(qū)一模）某景觀公園內人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形

狀是拋物線.現測量出如下數據，在距水槍水平距離為4米的地點，水柱距離湖面高度為〃米.

d（米）00.723