2024年1月中學生標準學術(shù)能力診斷性測試數(shù)學卷附答案解析

2024年1月中學生標準學術(shù)能力診斷性測試數(shù)學卷

本試卷共150分，考試時間120分鐘.2024.1

一、單項共選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知，"GR,集合A=卜〃T2},'=忖|。*"},若C=且C的所有元素和為12,則〃?=（）

A.-3B.0C.1D.2

2.已知數(shù)列{““}滿足q=向出，則凡=（）

2121

A.2"-"B.FC.2"+1D.2T

3.兔數(shù)z滿足G+2）i=l-i（i為虛數(shù)單位），則z的共輯堂數(shù)的虛部是（）

A.-3B.IC.iD.-i

4.在直三棱柱ABC-AUG中，所有校長均為1,則點A到平面的距離為（）

叵叵叵M

A.7B.5c.6D.4

5.設(shè)（l+2x）”二旬+囚工+/“/++a”x",若。$=4,則n=［）

A.6B.7C.8D.9

6.若不等式-4x+5+J?一己+17?4的解集為m，句,則。+〃的值是（）

A.5B.4萬c.6D.7

a=e2,Z>=—ln2,c=15-51n5

7.已知2,則（）

A.a>b>cB.b>c>ac.ci>c>bD.b>a>c

x,y>0,x3+y3—x—y=3

8.已知44，則⑶1O+丁的最大值是（）

A.15B.18C.20D.24

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得5分，部分選對但不全得2分，有錯選的得。分.

9.設(shè)以尸，7為互不重合的平面，機，〃為互不重合的直線，則下列命題為真命題的是（）

A若a〃片?〃y,則?！ā闎.若ac尸=〃?,w_L7,則aJ.7,/?，/

若,則則a〃夕

C.m//a,n//p,m//na//pD.若aLy.pLyy

工—2T

10.已知點夕為雙曲線一上的任意一點，過點月作漸近線的垂線，垂足分別為反/，則（）

閥+網(wǎng)=華附卜歸尸

A.3B.

8

PEPF=-—

C.25D.4「卬的最大值為25

11.直線4：心+分+c=。和仆以+①+叱。將圓Udf+U-1)2=1分成長度相等的四段弧，則

(“-1)2+(力-1)2+(。-1)2的取值可以是()

48

--

32C33

A.B.D.

12.已知sin2a+sin2￡=2sin(2a+2〃)，口0+萬工阮從金工，則出11。+21@"二+")+3311〃的值可能為

()

A.-6B.-5c.50D.8

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為RJ(")為偶函數(shù)，4+2)-1為奇函數(shù)，當天?2,4］時，f(x)=a\og2x+bf

若〃。)+/⑹=4,則0+處=

廠,y」2

U.已知是橢圓.7+后―”>>的左、右焦點，尸是0上一點，線段^的中垂線/過點反

\AB\=-a

與橢圓C相交于48兩點，且??5,則橢圓°的離心率為

15.已知函數(shù)g(“)的圖象與函數(shù)〃x)=e'—"的圖象關(guān)于原點對稱，動直線與函數(shù)

/(x)，g(M的圖象分別交于點AB,函數(shù)/(%)的圖象在A處的切線4與函數(shù)g(”的圖象在B處的切線4

相交于點°,則/8c面積的最小值是

16.對任意的xwR,不等式(~7X+14)之g2―6%+吼/―8工+17)恒成立，則實數(shù)陽的取值范圍

為.

匹、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

fIS?=a(S

17.數(shù)列的前〃項和為3間=L當〃之2時，"A02人

1

?

⑴求證：數(shù)列1sj是等差數(shù)列，并求S”的表達式；

h=n\_2

⑵設(shè)"一左R,數(shù)列間的前"項和為乙，不等式9*/-3的+〃對所有的.恒成立，求正整數(shù)〃?

2

的最小值.

，八ZBAD=-ZDAC

18.如圖所示，在ABC中，A3=1,O是8c上的點，2

N8AC=------------=>/5

⑴若2,求證：AOAC；

BD=-DC

⑵若4,求面積的最大值.

19.如圖所示，一只螞蟻從正方為的頂點A出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點到另一個

頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蚊沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為％,沿正方

2

體的側(cè)棱爬行的概率為5.

⑴若螞蟻爬行〃次，求螞蟻在下底面頂點的概率;

⑵若螞蟻爬行5次，記它在頂點°出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

20.如圖所示，已知48c是以8c為斜邊的等腰直角三角形，點M是邊A8的中點，點N在邊8c上,

口BN=3NC.以MN為折痕將ABMN折起，使點B到達點。的位置，且平面血肥，平面ABC,連接

DADC

⑴若E是線段OM的中點，求證：NE〃平面DAC；

⑵求二面角O-AC-8的余弦值.

3

21.如圖所示，己知拋物線）'=*-LM（O,1）,A,8是拋物線與x軸的交點，過點M作斜率不為零的直線/

與拋物線交于CD兩點，與X軸交于點Q,直線AC與直線8。交于點尸.

⑴求lCDl的取值范圍；

⑵問在平面內(nèi)是否存在一定點丁，使得7Pk2為定值？若存在，求出點下的坐標；若不存在，請說明理

由.

22.已知函數(shù)/"一4+*a有兩個零點/大2a<W）.

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

⑵求證：%々<1；

⑶求證：占-%<"2-4<4一片.

1.A

【分析】先確定集合8中可能的元素，根據(jù)兩集合中元素的和求出，”的值，再根據(jù)集合中元素的互異性

取值.

【詳解】集合8中的元素可能為：機2,1,4

因為加工一1,〃?工2.

若〃z=l,則A={I2},B={1,4},則C={1,T,2,4},元素和不為⑵

若〃?=-2,貝產(chǎn){々T2},5={1,4},則。={-2,-1,2,4},元素和不為⑵

蘭'"土1,±2時，C={九-1,2,詭1,4},因為C中所有的元素和為12.

所以〃『+〃?=6,解得〃?二-3或〃?=2（舍去）.

綜上：加二-3.

故選：A

2.D

4

【分析】對%一磯=2"%《,+響時除以。必.何得。川%再由累加法求解即可得出答案.

【詳解】若〃尸°,則％一.向=°,則%=%=°,

這與％=1矛盾，所以勺+尸°,

對外一%=2”的用同時除以。"%+],

--I----」=z--I--I--=2叱--1-----?-=_-，

aaCla

所以。”+14,則nn-\,n-\n-2

-----=2

......,生4,

上面的n-l式子相加可得：

—=2+22+23+,+2"T=20-2)=2—

4%1-2,

wn1

—=2-2+l=2-la-

所以凡，所以"2"-1,

故選：D.

3.B

【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求H」3,即可得到其虛部.

【詳解】解：由(z+2)i=>i可得：zi+2i=l-i,

l-3i(l-3i)ia

z=---=-~=-3-i

ii2

二z=-3+i,

則z的共桅復數(shù)的虛部為1,

故選：B.

4.A

【分析】取AB的中點M,連接CW,可證CM_L平面A84A,利用等體枳法求點到面的距離.

【詳解】取A8的中點M,連接CM,

5

因為，人8c為等邊三角形，則創(chuàng)J_AB,

又因為人4,平面ABC,且CMu平面A8C,則。知_14人，

^ABr>AAx=AAS,AA,u平面AB8|A,可得0^1_1_平面4844

AB.=CR=42,CM=—

由題意可知：2

設(shè)點4到平面AAC的距離為d,

Ix^xlxlxl

因為。-叫即3322

（1=叵

解得7

后

所以點A到平面八的距離為7.

故選：A.

5.C

【分析】先求出（"2x）"展開式第i］項，再由%=&,代入即可求出〃的值.

【詳解】（1+2x）"展開式第r+1項加=C；（2?=C：2F

?.?%=4,.?.C：25=C26,即—,

加二2、加

.5!（/2-5）!"X6!（/i-6）!

??，

整理得〃-5=3,.*.?=8

故選：C.

6.C

6

【分析】將+無7行轉(zhuǎn)化為點（x，0）與點億1）,（4』）距離的和為4,求出以（2，1）,（4,1）

為焦點，長軸長為4的橢圓方程，則點（H°）不能在橢圓外，正而可得x的范圍，則。+〃的值可求.

【詳解】令"=&一4X+5+&-8X+17=J（X-2）2+（0-1）2+J（、—4）2+（0-1）;

則加的值為平面直舛坐標系中點（“'°）與點（2」），（4」）距離的和

若M=4,即點?°）與點（2」），HD距離的和為4,

虹點（“°）為以（2」），（4/）為焦點，長軸長為4的橢圓與不軸的交點，

（.1-3）2Jy_l）2]

設(shè)以（2』），（4,1）為焦點，長軸長為4的橢圓方程為片一產(chǎn)一,

則/=4,c2=I,b2=a2-c2=3,

（IlJ）-）]

故橢圓方程為43,如圖:

,0

橢圓內(nèi)的點到（2」），（4J的距離和小于4,橢圓外的點到（2，1）,（41）的距離和大于4,

所以點（*'°）不能在橢圓外，即點（乂°）在線段AB上，

22?_26

3--------<x<3+-------

所以66,

”3-巫,b=3+運

即66

所以。+〃=6

故選：C.

7

7.A

/(x)=e3\

【分析】將的結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)變形結(jié)果構(gòu)造函數(shù)％,然后分析“旬的單調(diào)性，根據(jù)

In2_in4

以及e'>2()可比較，Aj

21Ine,e,caIn2?…-？

e-=e----,b=—ln2=e3-----,c=15-51n5=e5哆

e22

【詳解】因為

\31-lnx

構(gòu)造函c呼，所以J(x)=e-(x>0)

蘭問“)時，r(H>0,4)單調(diào)遞增,

蘭xe(e,+8)時，rW<。，/(x)單調(diào)遞減,

In21n4f/=/(e),/2=/(2)=/(4),c=/y

又因為可一丁，所以

e_>4>

區(qū)為e3>2.7183>20,所以不>,,

/(e)>/(4)>/修

所以I",所以a>>>J

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考杳導數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)比較大小，對學生的轉(zhuǎn)化與計算能力要求較高，難度

In2

較大.解答本題的關(guān)鍵在于：通過所給數(shù)值進行合適變形，可由B項中的〒作為突破點，從而構(gòu)造出函

f(x)=e3

數(shù)x解決問題.

8.C

【分析】先利用立方和公式和極化配方式把等式轉(zhuǎn)化為只含有'+)'"一》'的一個等式，然后利用配方進

行整理即出現(xiàn)含13x+)’的式子，即可得出答案.

【詳解】利用公式辦”3旅-樹力山+淤+力2-3司

口+?一")2

及4可得：

/+i+),"『-3.也更

8

二(中)9士中

所以代入已知式化簡可得a+y)F(?y)(x-?++y)=i2,

由觀察可得：當x-y=l,x+)'=2時，即23+3x2x『—2=12成立,

31

x=—,y=—

此時2-2,

44①,

3”]=3f+2

又I2)4②,

則①+②+③可得:

"3丫/1丫33273r

+3

X\X~2)+()'+I)|/一句=x+y-丁-w)'+7

x3+y3--x--y=(x+3)f^--1fJ>-+7

+(y+i),一2

所以.4，'\2)444.4.

=(.r+3)[-9+(y+l)0-￡]+"丁一7=3

(?3)「9+(尹1)])」丫+3=]。

故原不等式可化為：I2；2,

13x+^<10

即2一，故小+”2。，

=3

此時當時等號成立，即I3x+y的最大值是20.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點在于尋求當乂)'分別為何值時，13工+了可能取得最大值，根據(jù)原式不

易觀察，所以先利用立方和公式和極化配方式把等式轉(zhuǎn)化為只含有X+)'"-)'的一個等式，然后利用配

方進行整理即出現(xiàn)含I3X+)'的式子，即可得出答案.

9.AB

【分析】把幾何語言轉(zhuǎn)化問文字語言，想象空間模型，得出結(jié)論.

【詳解】對A：平行于同一個平面的兩個平面互相平行，正確；

9

對B：兩個平面的交線垂直于第三個平面，則這兩個平面都垂直于第三個平面.根據(jù)面面垂直的判定定理,

該結(jié)論正確；

對C：和兩條平行直線分別平行的兩個平面相交或平行，故C錯誤；

對D：垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交.故D錯誤.

故選：AB

10.BCD

【分析】對A找到反例即可；對B利用點到直線距離公式計算即可；對C,利用二倍角的余弦公式和向

量數(shù)量積的定理計算即可；對D利用三角形的面積公式計算即可.

【詳解】對A,當尸趨近于無窮遠處時歸國+歸目故A錯誤；

對B,設(shè)點P(2。)，滿足W"一I即4一”：=4,

又兩條漸近線方程分別為'一±5",即x±2y=°,故有

忸同仍尸|_辰+2%|員-2%|」片-4引_4

6逐55,故BIE確；

1

y=-X

對C,設(shè)漸近線2的傾斜角為。，則

cosZ.EPF=cos(n-/.EOF)=-cosZ.EOF=-cos2a=---"=--

'7l+tanI2a5,

PEPF=\PE[\PF\COSZ.EPV=----=-—

所以5I5J25,故c正確;

4

sinZEPF=

對D,由C可知,5,所以

IQ

s=一IPEI?I。尸I?SinNEPF=—

225為定值，故D正確.

故選：BCD.

11.CD

1()

【分析】考慮兩種情況，第一種L和4垂直且過圓心C(U),第二種4和4平行，圓心C(L1)到直線4和4

旦

的距離都等于2,分別求解即可.

【詳解】①若4和’2相交，由題意可知，圓心C(U)應該是兩直線的交點，所以4+〃+。=。,

71

出于4和72將圓C分成長度相等的四段弧，所以母段弧所對的圓心角都為5,

所以直線+外+c=()和6+cy+a=O垂直，

所以"+仇*=0,所以"（”+c）=0,再由a+0+c=0,

可得：a+c=0，〃=。，

所以(a―1)-+-+(c—1)"=(a—1)+1+(—a—1)~=3+2a~N3

②若4和12平行,則無=訛，

由于4和4將單位圓分成長度相等的四段弧，

兀

所以每段弧所對的圓心角都為2,

旦

所以圓心到直線4和4的距離都等于2,

|a+〃+d&也+c+a|>/2

222

月“J+A2yjc+b~2,所以/+尸=/+〃？，gpa=cf

又因為從=。。>°，所以A。同號，則。=J

當4=c=力時，yla2+a22,不滿足題意，所以

(a-lF+S-1)2+(0_])2=3?2_%+3=3(4」]

所以I3J33,

綜上①②，可知CD正確.

故選：CD.

12.ACD

,2

4tana+----

【分析】借助二倍角公式及兩角和差公式化簡，得到tana，再利用基本不等式得到其取值范圍,

從而得到答案.

II

【詳解】因為sin2a+sin24=2s1n(2a+2/?)

所以sin[(a+,)+(a_/?)]+sin[(a+,)_(a_/)]=2sin(2a+2,)

2sin(a+〃)cos(a-/7)=2sin(2a+2/7)

sin(tz+^)cos(cr-/?)=2sin(tz+^)cos(￡z+^)

運為a+B于加,kwZ,所以sin(a+尸)HO,

所以cos(a_77)=2cos(a+0

cosacos^+sinasin/?=2cosacos^-2sinasin0,

3sinasin/?=costzcos/?,cosacosp/0,

tanatan/7=-tan/7=——

所以3,即3tana,

所以tana+2lan(a+1)+3tan1

ctana+tanfl_

=tana+2-------------+3tanpn

1-tanatan

1

tana+-------

+3.—!—

二tana+2---------

3tana

1-tana------

3tana

=4123

tana,

4tana+二一>2J4tana?——=4拒

蘭tana>0時，tanaVtana

42上tan,=^

蘭且僅當tana,即2等號成立;

(-4lana)+=4>/2

蘭tcina<。時,

4tana+—=—<-4夜-4tana=---=-tana=....-

即tana,當且僅當tana,即2時的等號成立,

4tana+-----￡(-8,-40卜45/2,+oo即tana+2(an(a+^)+3(an^e(-oo,-4>72JU^4A/2,+ooj

綜上，tana'」L

故選：ACD.

12

【點睛】關(guān)鍵點點睛：靈活變換，利用2a=（。+尸）+（。叫，2尸=（。+0-（"/）,兩角和與差公式化

簡已知的等式是解本題的關(guān)犍.

13.4

【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)求出八2）=1及/@-2）+/0+2）=2,賦值即可得解.

【詳解】因為/（x+2）T為奇函數(shù)，所以八0+2）-1=0,即/（2）=1,

因為當xe[2,4]時，/（x）=?log2x+/^

所以〃2）=a+6=l,

由/（x+2）-l為奇函數(shù)，可得/（-+2）-1+/*+2）-1=0,

即/（-x+2）+/（x+2）=2,

又/⑶為偶函數(shù),所以于。.2）+f（x+2）=2f

令x=2,可得/（0）+/（4）=2,

令x=4,可得/(2)+/(6)=2,

兩式相加可得，/⑵+/(4)+/9)+/(6)=4,

由/(0)+/(6)=4,可得/(2)+/(4)=0,

由/（2）=1,可得f（4）=T,即加+〃=一1,

a+b=\

聯(lián)立|2a+b=-l可得〃=-2m=3,故a+2/?=4.

故答案為：4

5

k.13

【分析】設(shè)直線/方程）'="（人十’）,然后與橢圓聯(lián)立，再利用根與系數(shù)關(guān)系求出弦長卜邳，再結(jié)合題中

幾何關(guān)系得到以k為中間元的關(guān)于"，c的等式，化簡從而求解.

【詳解】由題意得"（P°）,瑪億°）,設(shè)直線/的方程為丁=*3+0）,4斗,），6（心必）,

y=Z(x+c)

x2y2

^■+乒=^(/?2+a2A:2)x2+2a1k2cx+a1k2c2-a2b2=0

聯(lián)立方程

13

2a-k2ccrk-c2-a-b~

x,+x,=----丁=x,x=---；---——

由根與系數(shù)關(guān)系得一b'crk",y一b-+a-匕

222222222

I.D|r.~~尸r72~■r-7T1（2akcVakc-ab2ab（1+k）

所以弦長=N+/""北西前J7=，+八2

tan/環(huán)居=但1

由題意知，設(shè)直儂/與尸鳥的交點為心加圖，所以在Rt班人中，I環(huán)I,

乂由橢圓定義知附㈤°周=2/因為直線,是尸鳥的中垂線,

所以陷白耳國=2。，陷|=Z明=2（a-c）,

IEFJ

tanNE丹氏=-----------=k

但用^4c2-（?-（?）

所以②,

聯(lián)立①②得5/+1女2T8次、=0,所以13e2-]8e+5=0,解得‘一百或e=l（舍）.

5

【點睛】方法點睛：通過直線與橢圓聯(lián)立及結(jié)合弦長公式求出關(guān)于人的表達式，再結(jié)合題中的幾何條件

從而建立以左為中間元的關(guān)于4c的等式，從而求解.

15.2

【分析】先利用兩個函數(shù)對稱求出解析式，再利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程，利用基本不等式可求答案.

【詳解】因為函數(shù)80）的圖象與函數(shù)/（人）=°、一大的圖象關(guān)于原點對稱，

所以8（力=-/（-力=七』,所以|AB|=|/（a）-g（〃）|=e"+：

r（x）=ev-l,/（1）=e-x—1,r⑷=e〃—I,/⑷二十一1,

所以直線KZe\"）』''-*]—。），即），=（。“一1卜+（一）J

直線幻尹（尸+。）=（尸-1）（.。），即y=（e-"-l）x-（l+〃）e

14

y=(e"-1卜+(1-o)e"

聯(lián)立b="l)x-(l+a)e,得

所以點C到x="(a"°)的距離為

]u+e-fl(e"+e-”「

-xe

5=—(e+e")------=^-j-----^-r

設(shè)”的面積為s,則2e“一e"2卜"一e“|

令…“-尸，則①=(e。-/+4=/+4,

即卜“Y*2時，取到等號.

故答案為：2

1

心5

16.

2

【分析】設(shè)"二丁-6"+13=(“-3)-+4",v=x-8x+l7=(.r-4)-+l>l>將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成

構(gòu)造〃加普，根據(jù)單調(diào)性求最值.

=X2-6X+13=(X-3)2+4>4

【詳解】設(shè)“

V=X2-8,V+17-(X-4)2+1^1

x2-7x+14=—(z/+v-2)

則2V7,

1nH一74+14『n〃?(/一6%+13)(/一版+17)；(〃+”2)'N

則I)l八，恒成立可化為4怛成乂,

J^v-2)2

即4,9恒成立，故L」min,

/⑺=(〃士2)2=士2(“二2)匕(〃二2)：工J+(〃二2)2+一

“'J4。4/YV4〃v'7

設(shè)L」9

易知/⑺在1v"〃-2時遞減，在y>〃-2時遞增，

所以〃％“=/("-2)=l=l[=g("),

而g3顯然在〃24時單調(diào)遞增，所以g?min-g(4)-5,

15

故2,當且僅當「=2時，即1=3時，等號成立,

所以實數(shù)機的取值范圍為（雙2_

【點睛】方法點睛：本題將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，然后采用雙換元和輪流作主法求最值.

=—!—

17.（1）證明見解析，2?-1

⑵3

1

【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得〔S"為等差數(shù)列，即可利用等差數(shù)列的通項求解,

（2）根據(jù)分組求和以及裂項求和化簡「，即可由數(shù)列的單調(diào)性求解最值求解.

【詳解】（1）當〃之2時，數(shù)列的前〃項和為品，滿足I2人

S；=（S.—s,T）卜—；］=S：；s,i

即I2J22,

整理可得2s￡_、=S“_[_S”

o_1

?.4=1,則2s2￡=S「52,即2s2=1-52,可得％3

?I1

由2s2sLs2-邑，即3s3="邑，可得$=5，，

以此類推可知，對任意的〃wN*b>0,

?=2

在等式2s“S“T=S“T兩邊同時除以S.S“T可得SnS-

,U1=1

所以數(shù)列2”J為等差數(shù)列，且其首項為4,公差為2

-,y=1+2(H-I)=2W-1

因此，S,,=2n-\

電』+1Li.ipq

2〃+l4[(2/I-1)(2H+1)J4812〃-12n+\)

(2)

16

1、2

2<m-3in

不等式（4〃？-3/〃+〃對所有的〃wN恒成立，4812/r+1;對所有的〃wN.恒成立,

記則

_2

所以乙+「4<°,故當〃=1時，?取最大值一3,

,2

in2-3m+—>0

因此3,

mN-9-歷

m<

即6或~6~

因此，滿足條件的正整數(shù)，"的最小值為3

18.（1）證明見解析

⑵?百-9

【分析】（1）由題意結(jié)合面積公式計算即可得；

（2）設(shè)/班。=。，結(jié)合題意由正弦定理可將.A"C面積表示出來，設(shè)出函數(shù)，結(jié)合導數(shù)得到該函數(shù)單

調(diào)性可得該函數(shù)的最大值，即可得A8C面積的最大值.

ABAC=-,ZBAD=-ZDAC^BAD=-^DAC=-

【詳解】⑴由22，知63,

s=S=^ABAD^n^^ADACsin^=^ABAC

ABCABD+SACD

結(jié)合題設(shè)，即AO+J5A°.AC=2AC,

兩邊同除以A"AC,得AO4C；

(2)設(shè)44)=a,則NA4c=21,

AB_BD

△A8￡)中，由正弦定理，得sin/ADAsina①，

ACDC

cAC￡>中，由正弦定理，得sin/CDAsin2a②，

-C=2

②XD，結(jié)合sin/BDA=sinZCDA,DC=4BD,得cosa,

c1.c?csin3a3sina-4sin3a_..，

S，ARC=—-AC?sin3a=-----=-------------=3tana-4tana?sm-a

2cosacosa

17

,3tana（sin~a+cos"a）-4tanasin"a

SAM.=3tana-4tan??sin~a=--------------------J------------

即sin-a+cos'a

_tan口（一taifa+3）_3tanatai?a

tan2?+ltan2?+l

設(shè)tanL（04）,即求函數(shù)〃'卜鍛八（°詞的最大值,

（3—3/）（1+產(chǎn)）—（3—3）2Z（2>/3-3-?）（2>/3+3+?）

r（?（M=（M

/￡（0,2癢3）時，r（/）>0>函數(shù)單調(diào)遞增,

產(chǎn)?2/-3,3）時,廣⑺<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

些產(chǎn)=28一3時，函數(shù)有最大值,

也正一3（3-26+3）

=j6x/J-9je（0,同

1+26-3

此時

.工ABC面積的最大值為>/6^^一9.

⑼⑴心5+大5

8

⑵分布列見解析，27

【分析】（1）記螞蟻爬行〃次在底面ABC。的概率為乙，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底

面，找到關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列可得答案.

（2）結(jié)合題意易知X=（），l，2,求出對應得概率，列出分布列，計算期望即可.

【詳解】（1）記螞蟻爬行〃次在底面A8C〃的概率為巴，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底

面,

21?

八人所工且殂6=彳，匕+|=4?+4（1一匕）

結(jié)合題總易得，333,

P-L=-L（p-1\-p--.1_1

川231“2,1"21是等比數(shù)列，首項為Z,公比為3,

18

（2）結(jié)合題意易得：X=0,1,2,

蘭X=2時，螞蟻第3次、第5次都在0處，

.fll212.l12.IW221111"|1

PD\/Xv=2A）=-x-x2nx—+—x—x2x—+—x—x2x—Ix-x—+—x—+—x—I=—,

'，（663636636八336666）18

蘭x=l時，螞蟻第3次在C處或第5次在C處，

設(shè)螞蟻第3次在C處的概率為片,

11c212cl12-15I52M1

P\=—x—x2x—+—x—x2x—+—x—xzx——X—+—X—+—X—

663636636666633；18

設(shè)螞蟻第5次在C處的概率為6,

設(shè)螞蟻不過點C且第3次在?的概率為%設(shè)螞蟻不過點°且第3次在用的概率為巴,

設(shè)蛆蟻不過點C且第3次在人的概率為乙，由對稱性知，2=9,

「111,212.13?121^22211

66636354,又$63633327,

Py=2P,x—x—x2+^x—x—x2=—

得-6356654,

??.P（X=I）=…得

P（X=0）=\-P（X=\）-P（X=2）=—

X的分布列為:

X012

4151

P

5427Is

Q

￡（X）=0xP（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=—

X的數(shù)學期望27

20.（1）證明見解析

4j3

⑵可

【分析】（1）過點七作人〃的平行線交4。于點尸，過點N作人8的平行線交AC于點G,連接向G,

即可證明四邊形EPGN是平行匹邊形，從而得到NE//FG,即可得證；

（2）解法1,以點A為原點，所在的直線為X軸、），軸，過點A垂直于平面A3C的直線為z軸,

19

建立空間直角坐標系，利用空間向軟法計算可得；解法2,過點B作直線MN的垂線交于點/,交直線CM

于點〃，再過點〃作AC的垂線交于點°,連接即可證明是二面角O-AC-8的平面角，

最后利用平面幾何的知識解得即可.

【詳解】（1）過點石作AM的平行線交于點尸，過點N作48的平行線交AC于點G,連接尸G.

因為點E是線段OM的中點，BN=3NC,

EF=-ABGN=-AB

所以加7/A8且2,GN；/AB且4，又M為AB的中點，

..EF=NG=-AM?〃?

2,QEFVNG,四邊形"BN是平行四邊形.

所以NE//FG,框。平面。AC,尸Gu平面QAC,

;.NE〃平面DAC.

（2）解法1：以點A為原點，A8，AC所在的直線為X軸、＞軸，過點A垂直于平面人BC的直線為z軸,

建立空間直角坐標系.

設(shè)正心2,則取。，”。。。）,嗚,訓，設(shè)。（5）,

因為平面nwc_L平面ABCf所以點。在平面A8C上的射影落在直線CM上,

DM=1,DN=」&,.?.(%-1尸+y2+z2=1

出題意可知，2②,

20

8

x=—

7

2

<y=--

'7

2而

z=------

由①②③解得7

AD=區(qū)二2"

〒一〒7

所以

設(shè)平面AC。的法向量為"二（乂，z）,

ADH=04x-},+x/FTz=0

貝Jco-〃=（）,即14x—8y+Ez=（）,取x=VFT,y=0,z=_4,則〃=（E，°，T）

取平面ABC的法向量〃=z（°，°，l）.

設(shè)二面角O-AC-B的平面角為/顯然二面角O-AC-3為銳角,

cos?=|cos/w,n|=

則11網(wǎng)〃I9.

4,

即二面角O-AC-3的余弦值為T.

解法2：如圖，過點4作直線MN的垂線交于點/,交直線CM于點

由題意知，點。在底面A8C上的射影在直線8/上且在直線上,

所以點〃即點。在底面上的射影，即。"J■平面A6C,

2

BM=I,BN=士血,NMBN=-

設(shè)48=2,則24,

21

MN=JBN2+BM--2BN-BMcos-=—

由余弦定理得’42

BM?+MN2-BN?Vio

cos/BMN=