《光電子技術(shù)基礎(chǔ)》課件第2章

2.1光線在介質(zhì)界面的反射與折射2.2光波在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播2.3光波在光纖波導(dǎo)中的傳播2.4光纜的結(jié)構(gòu)與性能第2章光輻射在介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播

2.1光線在介質(zhì)界面的反射與折射

首先熟悉一下均勻平面波，均勻平面波是指在與傳播方向垂直的平面的任意點(diǎn)上，電場(chǎng)強(qiáng)度E的幅度相等，相位及方向相同；磁場(chǎng)強(qiáng)度H的幅度也相等，相位及方向也相同。平面波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)互相垂直，稱(chēng)它為橫電磁波－TEM波。

其在折射系數(shù)為n的介質(zhì)中的傳播速度為在單位長(zhǎng)度上的相位變化，即相位常數(shù)

為真空中的相位常數(shù)。當(dāng)光射線在介質(zhì)中傳播，會(huì)在介質(zhì)界面產(chǎn)生反射、折射和全反射現(xiàn)象，服從反射定律和折射定律。設(shè)n1、n2分別表示兩種介質(zhì)的折射率，且n1>n2；θ1、θ1′

和θ2分別為入射角、反射角和折射角，如圖2-1所示。角度之間的關(guān)系為

(2.1.1)圖2-1光纖在界面的反射和折射設(shè)E01、E01′

、E02為入射波、反射波和折射波的復(fù)數(shù)

振幅，有

(2.1.2)

(2.1.3)常將平面波分成水平極化波和垂直極化波，入射波、反射波和折射波均所在的x、z坐標(biāo)的平面稱(chēng)為入射(平)面，電場(chǎng)矢量與入射面垂直，稱(chēng)為T(mén)E波，也稱(chēng)為水平極化波(與介質(zhì)分界面平行)；磁場(chǎng)矢量與入射面平行，稱(chēng)為T(mén)M波，也稱(chēng)為垂直極化波(與分界面垂直)。它們的入射波、反射波和折射波的極化方向如圖2-2所示。(a)TE波;(b)TM波圖2-2平面波的反射和折射可分別用r⊥和r‖表示TE波和TM波的反射系數(shù)，t⊥和t‖表示TE波和TM波的折射系數(shù)，它們均服從菲涅耳公式，有

(2.1.4)

(2.1.5)令θ2=90°，由式(2.1.1)可得，θ1=arcsinn2/n1，此時(shí)用θc表示，為全反射時(shí)的臨界角。

當(dāng)θ1<θc時(shí)，由式(2.1.4)和式(2.1.5)可以看出，|r|和|t|為小于1的實(shí)數(shù)，即一部分光被反射，另一部分光被折射，如圖2-1所示。

當(dāng)入射角θ1逐漸增大，即θ1=θc時(shí)，這時(shí)為臨界狀態(tài)，|r|=1、|t|=0，沒(méi)有光線進(jìn)入介質(zhì)2，“折射波”只能沿兩

種介質(zhì)的界面?zhèn)鞑?，如圖2-3所示。圖2-3光以臨界角入射于界面進(jìn)一步增大入射角θ1，當(dāng)θ1>θc時(shí)，介質(zhì)n2中沒(méi)有折射光存在，這時(shí)入射光的能量全部被界面反射回介質(zhì)1，這種現(xiàn)象稱(chēng)為全反射，如圖2-4所示。它是光波導(dǎo)理論的基礎(chǔ)。圖2-4光束全反射的情況當(dāng)全反射發(fā)生時(shí)，|r|=1、|t|=0，表示反射波與入射波

具有相同的振幅，但在界面上，反射光相對(duì)于入射光產(chǎn)生一相移，反射系數(shù)見(jiàn)式(2.1.2)，2j表示相移，j為半相移，TE波和TM波的全反射時(shí)的半相移分別為

(2.1.6)

(2.1.7)

2.2光波在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播

2.2.1平板介質(zhì)波導(dǎo)的射線理論分析

1.光線在平板波導(dǎo)中的傳播

下面以三層平板介質(zhì)波導(dǎo)為例來(lái)分析介質(zhì)中的光波傳

輸特點(diǎn)。介質(zhì)平板波導(dǎo)一般由三層介質(zhì)構(gòu)成，結(jié)構(gòu)如圖2-5所示。圖2-5三層平板介質(zhì)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)

1)θ1>θc12≥θc13

波導(dǎo)層中的光線在波導(dǎo)層的上、下界面上都發(fā)生全反射，并沿“之”字形路徑在層內(nèi)傳播，如圖2-6(a)所示。光波能量基本上限制在波導(dǎo)層內(nèi)沿z方向傳播，形成“導(dǎo)模”。導(dǎo)模在波導(dǎo)層內(nèi)形成沿x方向的駐波，而在包層和襯底內(nèi)形成場(chǎng)振幅沿x正、反方向呈指數(shù)衰減的消逝場(chǎng)。圖2-6平面波導(dǎo)光導(dǎo)模的線光學(xué)分析圖

2)θc12>θ1>θc13

波導(dǎo)層中的光線在下界面折射到襯底中，穿過(guò)襯底逸

出波導(dǎo)。而被襯底反射的光線在上界面產(chǎn)生全反射，然后

又在下界面上折射入襯底，并最終穿出襯底逸出波導(dǎo)，如圖2-6(b)所示。其對(duì)應(yīng)的電磁波稱(chēng)為襯底輻射模。襯底輻射模在薄膜和襯底中形成沿x方向的駐波，而在包層中形成場(chǎng)振幅沿x反方向呈指數(shù)衰減的消逝場(chǎng)。

3)θc12>θc13>θ1

波導(dǎo)層中的光線通過(guò)下界面折射到襯底中，穿過(guò)襯底逸出波導(dǎo)。被襯底反射的光線通過(guò)上界面折射到包層中，穿過(guò)包層逸出波導(dǎo)。如圖2-6(c)所示。其對(duì)應(yīng)的電磁波稱(chēng)為包層輻射模。包層輻射模指分別由襯底和包層入射的兩個(gè)平面波疊加而成的模，它在波導(dǎo)層、襯底和包層中均形成沿x方向的駐波。

2.平板介質(zhì)波導(dǎo)中的導(dǎo)波

1)導(dǎo)波的特征方程

設(shè)一光波從波導(dǎo)層下界面出發(fā)向上傳播到上界面，在上界面遭全反射后返回到下界面，在下界面又遭全反射后與原先從下界面出發(fā)的光波疊加在一起，要發(fā)生互相加強(qiáng)，這兩個(gè)光波的相位差應(yīng)等于2π的整數(shù)倍。因此，為使光波維持在波導(dǎo)層內(nèi)傳播，光波在波導(dǎo)層上下界面之間往返一次的總相移必須為2π的整數(shù)倍。這就是維持導(dǎo)模的條件，也稱(chēng)橫向共振條件，也是在橫向方向上形成駐波的條件。平面波傳播圖形如圖2-7所示，設(shè)波導(dǎo)層的厚度為d，相位常數(shù)k0n1(也稱(chēng)平面波的波數(shù))，其橫向分量(x方向)為k0n1cosθ1，光波往返一次的總相移為2dk0n1cosθ1，當(dāng)光波在上界面產(chǎn)生全反射時(shí)會(huì)產(chǎn)生全反射相移－j13，在下界面產(chǎn)生全反射時(shí)會(huì)產(chǎn)生全反射相移－j12，j值參見(jiàn)式(2.1.6)。因此光波在波導(dǎo)層內(nèi)傳播的條件，亦即平板波導(dǎo)中能形成導(dǎo)模的條件是

(2.2.1)

式中，m稱(chēng)為模的階數(shù)，也是模序數(shù)，取以零開(kāi)始的有限個(gè)正整數(shù)。上式可改寫(xiě)為

(2.2.2)圖2-7平面波傳播圖形從上面的討論得知，形成導(dǎo)模的條件是：

(1)θ1>θc12≥θc13；

(2)dk0n1cosθ1=mπ+j12+j13。

2)導(dǎo)波傳輸特性

在全反射情況下，介質(zhì)1中的波為折射波E1和反射波E1′，為二者疊加。此時(shí)入射波和反射波復(fù)數(shù)振幅值相等，有如下公式

(2.2.3)式中，E1=E01exp(－jk1·r)為入射波電場(chǎng)強(qiáng)度；E1=E01exp

(－jk1′

·r)為反射波電場(chǎng)強(qiáng)度。其中，k1′

為入射波的波矢量；k1′

為反射波的波矢量；

r為矢徑，代表該點(diǎn)的位置矢量；E01為入射波和反射波的復(fù)數(shù)振幅；k1x為入射波的波矢量在x方向的分量，則k1x=k1cosθ1=k0n1·cosθ1；k1z為入射波的波矢量在z方向的分量，則k1z=k1sinθ1=k0n1sinθ1。波矢量分量如圖2-8所示。圖2-8波矢量分量式(2.2.3)包括兩部分：2E01cos(k1xx+j1)是合成波的幅度成分，幅度沿x方向按三角函數(shù)振蕩變化，呈駐波分布；exp［－j(k1zz－j1)］是合成波的相位成分，沿z方向傳輸呈行波分布，隨z增加而滯后。即沿z方向傳播。介質(zhì)2中只有折射波，表達(dá)式如下

(2.2.4)

3)導(dǎo)波的模式

特征方程中不同的m值稱(chēng)為模序數(shù)，對(duì)應(yīng)于不同的波形或模式，對(duì)給定的m值，可求出形成導(dǎo)波的θ1值。以該θ1角入射的平面波就會(huì)形成一個(gè)導(dǎo)波模式。當(dāng)用水平極化波的j12、j13代入特征方程時(shí)，得出模式為T(mén)E波；當(dāng)用垂直極化波j12、j13代入特征方程時(shí)，得出的模式為T(mén)M波。對(duì)應(yīng)m=0，1，2，…時(shí)，可得到TE0、TE1和TE2或TM0、TM1和TM2的模。各模式的特性，可用以下幾個(gè)參數(shù)表示

(2.2.5)

(2.2.6)

(2.2.7)

(2.2.8)它們決定了導(dǎo)波模式的橫向分布圖形。在波導(dǎo)層中，導(dǎo)波在橫向是按駐波分布的，相位變化為k1xd，其特征方程為

k1xd=mπ+j12+j13

m=0,1,2,…

(2.2.9)

當(dāng)m=0時(shí)，得TE0、TM0模，特征方程為

k1xd=j12+j13

j12、j13在0～π/2之間變化，有0<j2+j3<π，可見(jiàn)其場(chǎng)沿x方向的變化不足半個(gè)駐波。當(dāng)m=1時(shí)，得TE1、TM1模，特征方程為

k1xd=π+j12+j13k1xd在π與2π間變化，其場(chǎng)沿x方向變化不足一個(gè)駐波，其他依此類(lèi)推。因而m表示了導(dǎo)波場(chǎng)沿薄膜橫向出現(xiàn)的完整半駐波個(gè)數(shù)。m越大，導(dǎo)波的模次越高。圖2-9給出了幾種模式的駐波圖形。圖2-9幾種模式的駐波圖形

4)截止波長(zhǎng)λc

在平板波導(dǎo)中，如果光波不能滿足全反射條件，光波將會(huì)產(chǎn)生輻射進(jìn)而很快被衰減，這時(shí)可認(rèn)為導(dǎo)波處于截止?fàn)顟B(tài)。因?yàn)榇藭r(shí)特征方程變?yōu)楫?dāng)模式固定時(shí)，m值也就確定了。若工作波長(zhǎng)λ0發(fā)生變化，要滿足特征方程要求，只有同時(shí)調(diào)整平面波的入射角θ1，才能在波導(dǎo)層形成導(dǎo)波。當(dāng)θ1=θc12即處于截止的臨界狀態(tài)時(shí)，導(dǎo)波轉(zhuǎn)化為輻射模，此時(shí)的波長(zhǎng)就是該模式的

截止波長(zhǎng)。截止波長(zhǎng)用λc表示，由特征方程可導(dǎo)出

(2.2.10)當(dāng)下邊界處于全反射臨界狀態(tài)時(shí)，對(duì)于TE波和TM波都有

代入式(2.2.10)有

(2.2.11)此時(shí)，f13的表達(dá)式可由式(2.1.6)和式(2.1.7)得到

5)單模傳輸與模式數(shù)量

可見(jiàn)TE0模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)，其傳輸條件最容易滿足。通常把截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)(截止頻率最低)的模式叫基模。TE0模就是平板波導(dǎo)中的基模。當(dāng)波導(dǎo)中只有TE0模傳輸，其他模式均截止時(shí)，則稱(chēng)為單模傳輸。其傳輸?shù)臈l件為

當(dāng)工作波長(zhǎng)縮短時(shí)，單模傳輸?shù)臈l件被破壞，波導(dǎo)中出現(xiàn)多模共存現(xiàn)象。此時(shí)的模式數(shù)量可由特征方程去求。截止時(shí)的特征方程為

得

(2.2.12)

6)對(duì)稱(chēng)薄膜波導(dǎo)

對(duì)稱(chēng)薄膜波導(dǎo)的襯底和敷層的折射率相等，即n2=n3。這時(shí)f12=f13，特征方程可寫(xiě)為

截止波長(zhǎng)為

(2.2.13)2.2.2平板介質(zhì)波導(dǎo)的波動(dòng)理論分析

1.導(dǎo)波的場(chǎng)方程

平板介質(zhì)波導(dǎo)的波導(dǎo)層的折射率n1為均勻的，稱(chēng)該波導(dǎo)為均勻平板波導(dǎo)。其各層介質(zhì)都是無(wú)損耗的。在無(wú)源區(qū)，均勻無(wú)損耗麥克斯韋方程為將上兩式在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)有

(2.2.14)

(2.2.15)將上述關(guān)系代入式(2.2.14)和式(2.2.15)中，再令方程兩端的對(duì)應(yīng)分量相等，得到6個(gè)分為2組的標(biāo)量方程，表達(dá)式如下對(duì)于TE模，由式(2.2.16)和式(2.2.17)可導(dǎo)出Hx和Hz關(guān)于Ey的表達(dá)式，然后用式(2.2.18)消去Hx和Hz，得到只含Ey的

方程

(2.2.22)對(duì)于TM模，其討論方法與TE模相同。消去Ex、Ez，得Hy一維亥姆霍茲方程

(2.2.23)

求得Hy后，即可根據(jù)式(2.2.19)和式(2.2.20)求Ex和Ez。導(dǎo)波其場(chǎng)分量沿y方向不變化，而沿z方向按－jβz規(guī)律變化，下面要確定沿x方向變化的規(guī)律就可以了。由于是導(dǎo)波，在薄膜中應(yīng)是駐波解，可用余弦函數(shù)表示；在襯底和

包層中應(yīng)是衰減解，可用指數(shù)函數(shù)表示。于是Ey解為

(2.2.24)平板波導(dǎo)分為薄膜(波導(dǎo)層)、襯底和包層三個(gè)部分，將其對(duì)應(yīng)的折射系數(shù)n1、n2、n3分別代入亥姆霍茲方程式(2.2.22)，可得到如下三個(gè)區(qū)域中的亥姆霍茲方程再將式(2-28)中各區(qū)域的場(chǎng)方程Ey表達(dá)式代入，可得

(2.2.25)

(2.2.26)

(2.2.27)從上面的表達(dá)式還可以看出相位常數(shù)β的變化范圍。k1x、α2、α3必須為正實(shí)數(shù)，這就限定了

這與前面的射線法得出的結(jié)果是一致的。在平板波導(dǎo)邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是Ey，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是Hz。邊界條件為：在x=0和x=d處，Ey連續(xù)，

連續(xù)。將場(chǎng)方程式(2.2.24)代入，可得

2.導(dǎo)波的特征方程

通過(guò)橫向相位常數(shù)k1x去求其他參量，故要找出關(guān)于k1x的方程。用式(2.2.31)除以式(2.2.30)可得

利用三角函數(shù)周期性，該式也可寫(xiě)為再將f2、α3的值代入整理后得到

(2.2.32)只有滿足這一方程的k1x才能形成導(dǎo)波，對(duì)應(yīng)一個(gè)m，可求出一個(gè)k1x，也就對(duì)應(yīng)一個(gè)場(chǎng)分布和傳播常數(shù)，也就得到一個(gè)導(dǎo)波模式。當(dāng)m=0，1，2，…時(shí)，得到TE0、TE1、TE2、

…的模。

由于k1x=k0n1cosθ1，可以看出

(2.2.33)

(2.2.34)式中,f2、f3代表的是射線法分析中在邊界上全反射時(shí)相移的一半。所以，式(2.2.32)與用射線法得出的特征方程完全一致。故方程式(2.2.32)簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中，f2、f3的取值范圍仍在0～π之間。

3.導(dǎo)波的截止

對(duì)介質(zhì)波導(dǎo)，當(dāng)出現(xiàn)輻射模時(shí)即認(rèn)為截止。對(duì)于平板波導(dǎo)，出現(xiàn)了襯底輻射模即認(rèn)為導(dǎo)波截止。襯底中的波是衰減型的，其衰減常數(shù)α2為正實(shí)數(shù)。當(dāng)α2變?yōu)樘摂?shù)時(shí)，導(dǎo)波截止，出現(xiàn)了襯底輻射模。故α2=0時(shí)導(dǎo)波轉(zhuǎn)為輻射模，可求出截止波長(zhǎng)。由式(2.2.26)

得當(dāng)導(dǎo)波截止時(shí)，傳播常數(shù)等于介質(zhì)2中的波數(shù)，這也是導(dǎo)波截止的標(biāo)志。利用式(2.2.25)、式(2.2.26)和式(2.2.27)，

可得代入特征方程(2.2.32)，并考慮到k0=2π/λc，得到

(2.2.35)

4.導(dǎo)波的場(chǎng)分布

1)TE0模

由前面的討論得知

式中，k1x由特征方程決定。特征方程是超越方程，需要用數(shù)值法求解，得不到關(guān)于k1x的解析表達(dá)式。下面可討論它的變化規(guī)律。由特征方程可知對(duì)于TE0模，m=0有

其相位變化是由于f2+f3<π，因而橫跨薄膜不足半個(gè)駐波。將k1x代入Ey式可得

在x=0處，在x=d處，而當(dāng)

Ey得到最大值?？汕蟪鲴v波波腹的位置為在襯底和敷層中波按指數(shù)規(guī)律衰減，其衰減常數(shù)各為

2)TE1模

當(dāng)m=1時(shí)，跨過(guò)薄膜的相位變化為k1xd=π+f2+f3，不

足兩個(gè)“半駐波”，導(dǎo)波的場(chǎng)分布如圖2-10(b)所示。由于其k1x比TE0模大，因此α2、α3比TE0模小。也就是說(shuō)在薄膜之外的波，衰減比TE0模慢。

3)TE2模

當(dāng)m=2時(shí)，導(dǎo)波的場(chǎng)分布如圖2-10(c)所示。薄膜之外的波衰減比TE1模慢。圖2-10導(dǎo)波的場(chǎng)分布

5.導(dǎo)波的傳輸功率

導(dǎo)波的傳輸功率就是通過(guò)波導(dǎo)橫截面的功率。薄膜波導(dǎo)在y方向是無(wú)限寬的，可只計(jì)算單位寬度的功率。因功率密度沿y方向不變，可用單位寬度的功率說(shuō)明。在圖2-11所示

的波導(dǎo)橫截面上,設(shè)寬度為1,高度為dx的面元dσ，dσ=azdx,設(shè)S是導(dǎo)波的復(fù)數(shù)波印亭矢量，則單位寬度的傳輸功率為ReS代表對(duì)S取實(shí)部。對(duì)TE模有

其中,對(duì)于TE模有代入積分式有圖2-11薄膜波導(dǎo)中功率的計(jì)算在薄膜、襯底和敷層中分三段分別積分后，再相加有其中，為薄膜中波腹處的功率密度，

為最大功率的一半，視為平均的功率密度。令

稱(chēng)之為薄膜波導(dǎo)的有效厚度，于是功率可寫(xiě)為

P=Sde

(2.2.36)

2.3光波在光纖波導(dǎo)中的傳播

2.3.1光纖的基本知識(shí)

1.光纖的結(jié)構(gòu)與分類(lèi)

光纖是光波導(dǎo)的一種，是光導(dǎo)纖維的簡(jiǎn)稱(chēng)，它利用光的全反射原理將光波能量集中在光纖內(nèi)，使光波沿著光纖軸線方向傳播。光纖的典型結(jié)構(gòu)為多層同軸圓柱形絲狀體，從內(nèi)到外由纖芯、包層、涂敷層和護(hù)套構(gòu)成，其中纖芯的折射率較高，包層的折射率較低。纖芯和包層是光纖導(dǎo)光的主要部分，涂敷層和護(hù)套主要起保護(hù)作用，可以隔離外部光源的影響、提高光纖強(qiáng)度等。其結(jié)構(gòu)如圖2-12所示。圖2-12光纖的結(jié)構(gòu)采用橫截面上折射率分布來(lái)分類(lèi)，可分為階躍(折射率分布)型光纖和漸變(折射率分布)型光纖。在階躍型光纖(有時(shí)也稱(chēng)為均勻光纖)里，纖芯和包層折射率在本層都是均勻的，在它們的邊界處，折射率呈階梯形突變，有時(shí)也稱(chēng)為突變型光纖，如圖2-13(a)所示。而漸變型光纖(有時(shí)也稱(chēng)為非均勻光纖)中，纖芯的折射率在中心處最大，然后沿著橫截面的徑向按一定的規(guī)律逐漸減小，直到纖芯與包層的交界處為止，形成一個(gè)連續(xù)變化的梯度，有時(shí)也稱(chēng)為漸變型光纖或梯度光纖，如圖2-13(b)所示。圖2-13光纖斷面的折射率分布

2.光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)

1)直徑

光纖的直徑包括纖芯直徑2a和包層直徑2b。光纖直徑的大小的取值，從成本、柔韌性考慮，應(yīng)盡量細(xì)一些。但從對(duì)接、耦合和損耗等方面來(lái)考慮，粗一些為宜。綜合兩者因素，一般光纖總直徑小于150μm。典型單模光纖芯徑約(4~10)μm(多取9μm)，多模階躍光纖芯徑62.5μm，多模漸變型光纖芯徑約50μm，但它們的包層外徑一般均取

125μm。

2)相對(duì)折射率差Δ

光線在光纖中的傳播特性不僅與n1和n2有關(guān)，還與相對(duì)折射率差有密切關(guān)系。相對(duì)折射率差Δ定義為

(2.3.1)

其大小決定了光纖對(duì)光場(chǎng)的約束能力和光纖端面的受光能力。

3)折射率分布n(r)

纖芯折射率分布一般形式為：

(2.3.2)

還可以近似為

4)數(shù)值孔徑

數(shù)值孔徑定義為光纖可能接受外來(lái)入射光的最大受光角j0,max的正弦與入射區(qū)折射率的乘積。光纖界面光傳輸圖如圖2-14所示，因?yàn)橹挥械墓饩€才能在光纖中傳播(其中，n1為纖芯折射率，n2為包層折射率，n0為空氣折射率)，即

(2.3.3)圖2-14光纖界面光傳輸圖NA代表光纖接收入射光的能力，只有j<jmax的光才可能在光纖中發(fā)生全反射而被傳播。一般情況下n1≈n2(大多數(shù)光纖屬這種類(lèi)型)，這種情況下的Δ約為0.01，稱(chēng)為弱導(dǎo)波近似。一般n1只略大于n2，單模光纖Δ=0.3%，多模光纖Δ=1%，于是

5)歸一化頻率V

表示在光纖中傳播模式多少的參數(shù)，定義為2.3.2階躍型光纖理論分析

1.子午射線

當(dāng)入射光線通過(guò)光纖軸線(子午線)，且入射角θ1>θc=arcsin時(shí)，光線將在柱體界面上不斷發(fā)生全反射，形成曲折回路，而且傳導(dǎo)光線的軌跡始終處于入射光線與軸線決定的平面內(nèi)。這種光線稱(chēng)為子午射線，包含子午射線的平面稱(chēng)為子午面，如圖2-15所示。圖2-15光纖波導(dǎo)中的子午射線下面來(lái)分析一下時(shí)延差，如圖2-16所示。滿足全反射條件的射線在光纖的傳播路徑也是不一樣的，路徑最短的射線是在軸線上傳播的射線，傳播距離最長(zhǎng)的射線是以全反射臨界角傳播的射線。在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的光纖上傳輸所用的時(shí)間前者最短，后者最長(zhǎng)。其二者的傳播時(shí)延差為

(2.3.5)圖2-16不同傳播路徑示意圖

2.偏射線

當(dāng)入射光線不通過(guò)圓柱波導(dǎo)軸線時(shí)，傳導(dǎo)光線將不在同一平面內(nèi)，而按圖2-17所示的空間折線傳播，這種光線稱(chēng)為偏射線。圖2-17光纖波導(dǎo)中的偏射線光線在A點(diǎn)以j0角入射，于P、Q等點(diǎn)發(fā)生全反射。直

線PP′、QQ′平行于直線OO′，交端面圓周于P′、Q′點(diǎn)，AP與PP′(即與軸線)交角為j1，稱(chēng)為折射角(又稱(chēng)為軸線角)；AP與端面夾角入射面與子午面夾角為γ；θ1為AP在界面的入射角，則

θ1還滿足于是j1的最大允許值j1m(s)

滿足

(2.3.6)

因此

(2.3.7)偏射光線的縱向傳播常量為

若則

3.導(dǎo)波的場(chǎng)方程

階躍光纖纖芯半徑為a，包層半徑為b，兩區(qū)域中折射率分別為n1、n2。由于包層中導(dǎo)波場(chǎng)衰減很快，在r≥b導(dǎo)波場(chǎng)已衰減到很小，可等效為包層延展到無(wú)限遠(yuǎn)處，這樣的近似不會(huì)引起太大的誤差。分析時(shí)采用圓柱坐標(biāo)系，三個(gè)坐標(biāo)為r、θ、z。z方向Ez分量的亥姆霍茲波動(dòng)方程為在圓柱坐標(biāo)系可化為

(2.3.8)

(2.3.9)采用分離變量法，令Ez=R(r)Φ(j)Z(z)，則上式可化為三個(gè)獨(dú)立的方程

(2.3.10)

(2.3.11)

(2.3.12)由于設(shè)光波沿z向傳播，因此由式(2.3.10)，并考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)有限這一邊界條件，可得

由于系統(tǒng)的圓柱對(duì)稱(chēng)性，穩(wěn)定的電磁場(chǎng)沿j向的分布是以2π為周期的函數(shù)(正弦或余弦)，故由式(2.3.11)并考慮邊界條件j=0處場(chǎng)有限，可直接得出對(duì)于式(2.3.12)，令

可得

4.導(dǎo)波的特征方程

要確定光纖中導(dǎo)波的特性，就需要確定參數(shù)u、w和β。前述得出了導(dǎo)模Z(z)、Φ(j)和R(r)的表達(dá)式，于是導(dǎo)模的解寫(xiě)為

(2.3.13)

(2.3.14)

式中令

(2.3.15)

于是有以縱向磁場(chǎng)表達(dá)橫向磁場(chǎng)，有將Ez、Hz代入，并考慮邊界連續(xù)條件，得到導(dǎo)波的特征方程

(2.3.16)

導(dǎo)波的特征方程也稱(chēng)為色散方程。對(duì)于子午射線ν=0，對(duì)于偏射線ν≠0。

5.導(dǎo)波的傳輸特性

1)導(dǎo)波的截止條件及單模傳輸

對(duì)于導(dǎo)波，場(chǎng)在纖芯外是衰減的，即w>0；對(duì)于輻射模，場(chǎng)在纖芯外是振蕩的，即w<0。w=0為臨界狀態(tài)，此時(shí)參數(shù)記為wc、uc、Vc。Vc是光纖的歸一化截止頻率。由式(2.3.15)可得

Vc=uc以子午射線為例，此時(shí)ν=0，利用式(2.3.16)，對(duì)于TE、TM模有

當(dāng)w→0時(shí)，可得即

uc是零階貝塞爾函數(shù)的根。用μ0n表示零階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，可見(jiàn)

對(duì)于TE01、TM01，Vc=2.40483；對(duì)于TE02、TM02，

Vc=5.52003；對(duì)于TE03、TM03，Vc=8.65373等。每一模式都有對(duì)應(yīng)的歸一化截止頻率，若V大于某一模式的Vc，則該模式被導(dǎo)行；反之則被截止。即

導(dǎo)行條件：V>Vc

截止條件：V<Vc

臨界條件：Vc=V

同理對(duì)于EH模有

Vc=uc=μmn可見(jiàn)，HE11模的歸一化截止頻率最低。故要保證光纖中傳輸HE11單一模式，必須滿足下列條件

0<V<2.40483

在該條件下，利用可以用來(lái)選擇光纖的

尺寸和材料。

2)標(biāo)量模及其特性

對(duì)于一對(duì)確定的m、n值，有一個(gè)確定的u值，每一個(gè)u值對(duì)應(yīng)一個(gè)模式，這種模式稱(chēng)為標(biāo)量模，記為L(zhǎng)Pmn模，也是線極化波。反之對(duì)應(yīng)一個(gè)u值，會(huì)有一個(gè)或多個(gè)模式與之對(duì)應(yīng)，這些模式的歸一化截止頻率相同，也就是說(shuō)傳輸參數(shù)相同。即LPmn是傳輸參數(shù)相同的模式集合，它包括四重兼并。只有LP0n模例外，它僅包含兩個(gè)模式。2.3.3漸變型光纖理論分析

1.平方律梯度光纖中的光線軌跡

平方律折射率分布光纖的n(r)可表示為

(2.3.17)

由光纖理論可以證明子午光線軌跡按正弦規(guī)律變化

(2.3.18)

式中,r0、Ω由光纖參量決定?？梢?jiàn)平方律梯度光纖具有自聚焦性質(zhì)，又稱(chēng)為自聚焦光纖，其光線軌跡如圖2-18所示。圖2-18自聚焦光纖光線軌跡自聚焦光纖與光學(xué)透鏡作用相擬，可以會(huì)聚光線和成像。兩者的不同之處在于，一個(gè)是靠球面的折射來(lái)彎曲光線；一個(gè)是靠折射率的梯度變化來(lái)彎曲光線。自聚焦光纖的特點(diǎn)是尺寸很小，可獲得超短焦距，可彎曲成像等。這些都是一般透鏡很難或根本不能做到的?？梢宰C明，自聚焦光纖的焦距(焦點(diǎn)到主平面的距離)f為

(2.3.19)

2.平方律折射率分布光纖中光線的時(shí)延特性

光線經(jīng)過(guò)單位軸向長(zhǎng)度所用的時(shí)間稱(chēng)為群時(shí)延，用τ表示。在非均勻介質(zhì)中，光線的軌跡是彎曲的。沿光線軌跡經(jīng)過(guò)距離s所用的時(shí)間τ為

(2.3.20)若光在軸向前進(jìn)的距離為L(zhǎng)，對(duì)于傳導(dǎo)模，傳播常數(shù)β的大小在n2k0與n1k0之間取值。其最大的群時(shí)延差為

(2.3.21)2.3.4光纖的損耗和色散

1.光纖的損耗特性

光波在光纖中傳輸時(shí)，由于光纖材料對(duì)光波的吸收和散射、光纖結(jié)構(gòu)的缺陷和彎曲及光纖間的耦合不完善等原因，導(dǎo)致光功率隨傳輸距離增大而衰減，這種現(xiàn)象稱(chēng)為光纖的傳輸損耗，簡(jiǎn)稱(chēng)損耗。光纖的損耗是光纖最重要的傳輸特性之一，光纖在傳輸中損耗大小由下式計(jì)算

(2.3.22)

1)吸收損耗

光纖的吸收損耗，是由于光纖材料的量子躍遷致使一部分光功率轉(zhuǎn)換為熱量造成的傳輸損耗。光纖的吸收損耗包括本征吸收損耗、雜質(zhì)吸收損耗和原子缺陷吸收損耗三種。

圖2-19給出了光纖的損耗譜曲線。圖2-19光纖損耗譜曲線

2)散射損耗

由于光纖制作工藝上的不完善，包括結(jié)構(gòu)缺陷和材料的不均勻，例如，有微氣泡、雜質(zhì)、折射率密度不均勻以及有內(nèi)應(yīng)力等，光波在這些地方會(huì)發(fā)生散射，使光纖損耗增大。

該瑞利散射與波長(zhǎng)的四次方成反比。瑞利散射引起的損耗為

(2.3.23)彎曲損耗會(huì)使光的傳播路徑改變，使得光能滲透過(guò)包層向外泄漏而損失掉。設(shè)光纖彎曲處的曲率半徑為R，則由彎曲而產(chǎn)生的衰減系數(shù)為

(2.3.24)

2.光纖的色散特性

光纖的色散主要包括材料色散、模式色散和波導(dǎo)色散三種。在單模光纖中只有基模傳輸，因此不存在模式色散，只有材料色散和波導(dǎo)色散。

色散的大小用時(shí)延差Δ