云南省巧家縣第二中學2021屆人教版高三數(shù)學專題復習：數(shù)列綜合

高三數(shù)學復習之數(shù)列綜合1.遇到數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系的問題應利用使用這個結論的程序是：寫出Sn的表達式，再“后退”一步（降標）得Sn-1的表達式，作差；得an的表達式。留意：n≥2的要求切不行疏忽！若Sn的表達式無法寫出，亦可將an表示成Sn-Sn-1，得到一個關于Sn的遞推關系后，進一步求解。數(shù)列的前n項和=an+b,(a0,且a1),則數(shù)列成等比數(shù)列的充要條件是__________解析：降標得：=an-1+b,(n≥2),作差得：an=an-an-1=an-1(a-1),(n≥2)再“升標”得：an+1=an(a-1)；∴，(n≥2)，∴數(shù)列成等比數(shù)列的充要條件是：，即b=–1。數(shù)列中，a1=1，Sn為數(shù)列{}的前n項和，n≥2時=3Sn，則Sn=。解析：思路一：同得：an–an-1=3an(n≥3)(n≥3)∴數(shù)列從其次項開頭成等比數(shù)列（留意：不是從第三項開頭），又a2=3（a1+a2）得a2=,∴n≥2時=a2qn-2=()()n-2(這個地方極簡潔出錯)，即=∴Sn==，留意到n=1和n≥2可以統(tǒng)一，∴Sn=。（冗長煩瑣，步步荊棘?。┧悸范阂蟮牟皇嵌荢n，可以考慮在=3Sn中用Sn-Sn-1代換（體現(xiàn)的是“消元”的思想，思路一是加減消元，消去Sn；思路二是代入消元，消去）得：Sn-Sn-1=3Sn，（n≥2），即，（n≥2），又S1=1，∴Sn=。數(shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{bn}滿足：.（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。等差數(shù)列的首項a1=1，公差d＞0，且其次項、第五項、第十四項分別為等比數(shù)列的其次項、第三項、第四項求數(shù)列與的通項公式；設數(shù)列對任意整數(shù)n都有成立,求c1+c2+…+c2007的值.2.形如：+的遞推數(shù)列，求通項時先“移項”得=后，再用疊加（消項）法；形如：的遞推數(shù)列，求通項用連乘（約項）法；形如：an+1=qan+p(a1=a，p、q為常數(shù))的遞推數(shù)列求通項公式可以逐項遞推出通項（在遞推的過程中把握規(guī)律）或用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列（公比為q）；形如：（為常數(shù)）的遞推數(shù)列求通項，先“取倒數(shù)”，可得數(shù)列{}是等差數(shù)列（公差為）。①已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+2n-1,則a10；解析：an+1-an=2n-1，分別取n=1，2，…9，疊加得：a10-a1=（2+22+…+29）-9=210-11a10=210-10.②若數(shù)列an滿足a1=，（n≥2）,則an=；解析：“取倒數(shù)”得：（n≥2），記數(shù)列{+}為等比數(shù)列，且公比為2，（為常數(shù)），則+=2（+）（n≥2），可見=-1，而-1=2∴-1=2n,=2n+1,an=。注：（?。┯袝r能夠看、猜、試出來，未必非要“待定系數(shù)”。（ⅱ）數(shù)列{+}為等比數(shù)列，其首項是+而不是a1，同樣，通項是+而不是an，這是很簡潔出錯的一個地方。（ⅲ）若遞推關系變?yōu)閍n+1=qan+pn,則也相應變?yōu)閜n，其他做法不變。③已知數(shù)列{an}滿足：a1+2a2+3a3+…+nan=an+1且a2=2，則an。解析：“降標”得a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=an，（n≥2）作差得(n+1)an=an+1（n≥2）（n≥2）分別取n=2，3，…，n-1,連乘得：，又a2=2得an=n!（n≥2）而a1=a2,∴an=。某顧客購買一件售價為1萬元的商品，擬接受分期付款的方式在一年內分12次等額付清，即在購買后1個月第一次付款，以后每月付款一次，若商場按0.8%的月利率受取利息(計復利),則該顧客每月付款的數(shù)額為______3.應把握數(shù)列求和的常用方法：應用公式（必需要記住幾個常見數(shù)列的前n項和）、折項分組（幾個數(shù)列的和、差）、裂項相消（“裂”成某個數(shù)列的相鄰兩項差后疊加）、錯位相減（適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項乘積構成的數(shù)列）、倒序相加等，要依據(jù)不同數(shù)列的特點合理選擇求和方法（其中最重要、最常見的是裂項）。①數(shù)列中，若，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為。解析：求的過程請讀者自己完成。=，∴數(shù)列的前項和為：。一般地：通項為分式的數(shù)列求和多用“裂項”，“裂項”是“通分”的逆運算，可以先“裂開”再回頭通分“湊”系數(shù)。②已知=，Sn為數(shù)列{}的前n項和，=nSn，求數(shù)列{}的前n項和Tn；解析：Sn=-2=n×-2n,Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×-2（1+2+3+…+n）(視數(shù)列{}的前n項和為兩個數(shù)列的前n項和的差，此即“分組求和”)記：Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×2Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×24+…+（n-1）×+n×-Rn=1×22+1×23+1×24+…+1×-n×-Rn=2n+2-4-n×2n+2=-(n-1)2n+2-4,∴Rn=(n-1)2n+2+4Tn=(n-1)2n+2+4-n(n+1)。注：“錯位相減”法在中學數(shù)學中除推倒等比數(shù)列的求和公式外就僅此一用。“相減”后的n+1項中，“掐頭去尾”中間的n-1項成等比數(shù)列。③=解析：S==用“倒序相加”：得2S==n2n,∴S=n2n-1。設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項之和為，已知與的等比中項為，且與的等差中項為1。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項之和為，其中，問是否存在實數(shù)M，使得對任意正整數(shù)都成立？若存在，試求出實數(shù)M的范圍；若不存在，試說明理由。4.與數(shù)列相關的不等式問題多用“放縮法”或數(shù)列的單調性解決。在數(shù)列中，已知，，（Ⅰ）證明數(shù)列{-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：解析：（Ⅰ）留給讀者自己完成（參看第2條②），；（Ⅱ）（≥2）∴=2+<2+1-<3.已知在數(shù)列的前n和為Sn,且對一切正整數(shù)n都有Sn=n2+an,（Ⅰ）求證：an+1+an=4n+2;（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由。5．在解以數(shù)列為數(shù)學模型的應用題時，要選擇好爭辯對象，即選擇好以“哪一個量”作為數(shù)列的“項”，并確定好以哪一時刻的量為第一項；對較簡潔的問題可直接查找“項”與“項數(shù)”的關系，對較簡單的問題可先爭辯前后項之間的關系（即數(shù)列的遞推關系），然后再求通項。從盛滿729升純酒精的容器里倒出a升，然后用水填滿，再倒出a升混合溶液，用水填滿，這樣連續(xù)進行，一共倒了6次，這時容器里還含有64升純酒精，則a的值為.解析：記：倒了n次后容器里還含有an升純酒精,則a=，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，a1=729-a,∴64×7295=(729-a)6,2×35=729-aa=343。在占地3250畝的荒山上建筑森林公園,2000年春季植樹100畝,以后每年春季植樹面積都比上一年多植樹50畝,直到荒山全部綠化為止.到哪一年春季才能將荒山全部綠化完?假如新植樹木的每畝木材量為2m3,樹木每年自然增長率為20%,到全部綠化完的那年春季,該森林公園的木材總量是多少?(精確到1m3,1.29≈1.56)簡答1.bn=2n-1+2,Tn=2n+2n-1,(1)an=2n-1,bn=3n-1,(2)32007,2.記每次還款x萬元，則第一次還款后尚欠商場1.008-x萬元,其次次還款后尚欠商場(1.008-x)1.008-x=1.0082-1.008x-x萬元,…,第12次還款后尚欠商場1.00812-1.00811x-1.00810x-…-1.008x-x=0,得x=,3.an=,對數(shù)列{bn}“裂項”求得=）（）max==