2022屆高三文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)單元評估檢測(三)三角函數(shù)、解三角形

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元評估檢測(三)第三章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.給出下列命題:①其次象限角大于第一象限角;②不論用角度制還是用弧度制度量一個角,它們與扇形所對半徑的大小無關(guān);③若sinα=sinβ,則α與β的終邊相同;④若cosθ<0,則θ是其次或第三象限的角.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【解析】選A.由于第一象限角370°不小于其次象限角100°,故①錯;②正確;由于sin=sin,但與的終邊不相同,故③錯;當(dāng)θ=π,cosθ=-1<0時既不是其次象限角,又不是第三象限角,故④錯.綜上可知只有②正確.2.如圖,角α的終邊與單位圓(圓心在原點,半徑為1)交于其次象限的點P(cosα,),則cosα+sinα=()【解析】選B.由三角函數(shù)的定義,得sinα=,又α是其次象限的角,所以cosα=故cosα+sinα=-.【加固訓(xùn)練】已知點P落在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則θ的值為()【解析】選D.由sin>0,cos<0知角θ在第四象限,由于tanθ==-1,θ∈[0,2π),所以θ=.3.(2021·濟(jì)南模擬)已知tanα=2,則cos2α+1=()A.1 B. C. D.【解析】選C.由tanα=2,得sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1,所以5cos2α=1,即cos2α=,故cos2α+1=.【一題多解】本題還可如下解答:選C.由于tanα=2,所以cos2α+1=4.在△ABC中,若tanB=-2,cosC=,則角A等于()【解題提示】利用三角形的內(nèi)角和定理先求角A的正切值,再求角A的大小.【解析】選B.由于cosC=>0,所以sinC=,故tanC=,又由于A=π-(B+C),所以tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)由于A∈(0,π),所以A=.5.(2021·眉山模擬)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分圖象如圖所示,f(x)的圖象左移個單位得到g(x)的圖象,則g(x)的一條對稱軸可以是()A.x=0 B.x=C.x= D.x=-【解析】選D.由圖象可知,即函數(shù)的最小正周期T=π,所以ω=2,由于即sin(+φ)=1,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,由于-<φ<,所以φ=-,即f(x)=2sin(2x-),將f(x)的圖象左移個單位得到g(x)的圖象,則g(x)=f(x+)=2sin(2x+-)=2cos(2x-),由2x-=kπ,k∈Z,解得x=,所以當(dāng)k=-1時,x=-,故選D.6.(2021·合肥模擬)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定【解析】選C.由正弦定理,得a2+b2<c2,由余弦定理,得cosC=QUOTE<0,所以C為鈍角,故選C.7.(2021·青島模擬)電流強(qiáng)度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的圖象如圖所示,則當(dāng)t=秒時,電流強(qiáng)度是()A.-5安 B.5安 C.5安 D.10安【解題提示】先由圖象求函數(shù)的解析式,再由解析式解答.【解析】選A.由圖象可知,A=10,T=,所以T=,即ω=100π,故I=10sin(100πt+φ),代入點(,10),得10=10sin(+φ),即sin(+φ)=1,由于0<φ<,所以φ=,所以I=10sin(100πt+),當(dāng)t=時,I=10sin(π+)=-5(安).故選A.【一題多解】本題還可如下求解:選A.由圖象知圖象與x軸的一個交點為結(jié)合圖象易知當(dāng)t=時,I<0,故選A.8.在△ABC中,a=2,則b·cosC+c·cosB的值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由余弦定理知b·cosC+c·cosB=a=2.9.(2021·大連模擬)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,若其圖象向右平移個單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象()A.關(guān)于點(,0)對稱 B.關(guān)于點(,0)對稱C.關(guān)于直線x=對稱 D.關(guān)于直線x=對稱【解析】選C.f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π,則ω=2,即f(x)=sin(2x+φ).向右平移個單位后,所得函數(shù)為g(x)=sin[2(x-)+φ]=sin[2x+(φ-)],又由于g(x)為奇函數(shù),|φ|<,所以φ=-,故函數(shù)f(x)=sin(2x-).當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)=sin=1,故函數(shù)f(x)=sin(2x-)關(guān)于直線x=對稱.【加固訓(xùn)練】(2022·臨沂模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,為了得到g(x)=cos2x的圖象,則只要將f(x)的圖象()A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度【解析】選A.由圖象可知A=1,,所以T=π,又T==π,所以ω=2,即f(x)=sin(2x+φ).又=-1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=,即f(x)=sin(2x+).由于g(x)=cos2x=sin(+2x)=sin[2(x+)+],所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到g(x)的圖象.10.已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f(x)≥恒成立,則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()【解題提示】先由題意求φ的值,再依據(jù)其解析式求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】選A.由題意得=-2,即-2sin(+φ)=-2,sin(+φ)=1.由于|φ|<π,所以φ=,故f(x)=-2sin(2x+),由2kπ-≤2x+≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-π,kπ+](k∈Z),故A正確.11.如圖,正方形ABCD的邊長為1,延長BA至E,使AE=1,連接EC,ED,則sin∠CED=()【解析】選B.由于四邊形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC=,cos∠BEC=.sin∠CED=sin(-∠BEC)=cos∠BEC-sin∠BEC12.(2021·長沙模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,c=2,1+,則C=()【解題提示】切化弦化簡已知條件求A,由正弦定理求sinC,進(jìn)而求C.【解析】選B.由于所以由于所以,即cosA=,所以A=,由于a=2,c=2,由正弦定理,得sinC=由于c<a,所以C<A=,故C=.【誤區(qū)警示】解答本題易誤選C,出錯的緣由是忽視角C的取值范圍,解題時要留意挖掘題中隱含的條件.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.已知sinsinx+cosπcosx=,則銳角x=.【解析】由于cosπ=cos(π-)=-cos,所以sinsinx-coscosx=,即-cos(+x)=,cos(x+)=-,由于x是銳角,所以x+=,即x=.答案:14.(2021·石家莊模擬)若函數(shù)f(x)=sin(3x+φ),滿足f(a+x)=f(a-x),則f(a+)的值為.【解析】易知x=a為對稱軸,所以f(a)=sin(3a+φ)=±1,則f(a+)=sin(3a+φ+)=cos(3a+φ)=0.答案:0【一題多解】本題還可如下解答:由于x=a為對稱軸,又f(x)的周期是,故x=a+是與x=a相鄰的對稱軸,而x=a+是兩相鄰對稱軸中間的f(x)的零點.即f(a+)=0.答案:015.在△ABC中,若asinBcosC+csinBcosA=b,且ac=4,則△ABC的面積為.【解析】由正弦定理,得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,由于sinB≠0,所以sinAcosC+cosAsinC=,即sin(A+C)=,由于B=π-(A+C),所以sinB=,由于ac=4,所以S△=acsinB=1.答案:116.(2021·杭州模擬)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中點.若sin∠BAM=,則sin∠BAC=.【解題提示】數(shù)形結(jié)合法.結(jié)合題意,畫出圖形,結(jié)合圖形,用正弦定理和勾股定理求解.【解析】如圖:設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得①,由于sin∠BMA=sin∠CMA=,又AC=b=,AM=所以sin∠BMA=又由①得,兩邊平方化簡得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2所以sin∠BAC=答案:【加固訓(xùn)練】在△ABC中,2sin2=sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,則=.【解析】2sin2=sinA?1-cosA=sinA?sin(A+)=,又0<A<π,所以<A+<,所以A+=,所以A=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc, ①將sin(B-C)=2cosBsinC開放,得sinBcosC=3cosBsinC,所以將其角化邊,得b·=3··c,即2b2-2c2=a2 ②將①代入②,得b2-3c2-bc=0,左右兩邊同除以bc,得-3×-1=0, ③解③得或(舍),所以答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2021·北京模擬)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期及值域.(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)由于f(x)=cosx(sinx+cosx)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,所以最小正周期T==π.由于x∈R,所以-1≤sin(2x+)≤1.所以-≤sin(2x+)+≤.所以f(x)的值域為[-,].(2)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,得-+2kπ≤2x≤+2kπ.即-+kπ≤x≤+kπ.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ,+kπ](k∈Z).【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=sinx+cos(x-π).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域.(2)若函數(shù)f(x)的圖象過點(α,),<α<.求f(+α)的值.【解析】(1)由題意得,f(x)=sinx+cos(x-π)=sinx-cosx=2sin(x-),由于-1≤sin(x-)≤1,所以函數(shù)f(x)的值域為[-2,2],函數(shù)f(x)的周期為2π.(2)由題得,由于函數(shù)f(x)過點(α,),所以f(α)=?2sin(α-)=?sin(α-)=,由于<α<,所以0<α-<?cos(α-)>0?cos(α-)所以f(+α)=2sinα=2sin((α-)+)=2sin(α-)cos+2cos(α-)sin?f(+α)=,綜上,f(+α)=.18.(12分)(2021·廈門模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知bsinA=3csinB,a=3,cosB=QUOTE.(1)求b的值.(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)由于bsinA=3csinB,由正弦定理可得ab=3bc,由于a=3,所以c=1.所以b2=a2+c2-2accosB=9+1-6×QUOTE=6,故b=QUOTE.(2)由于B∈(0,π),且cosB=QUOTE,所以sinB=QUOTE,所以sinQUOTE=sin2BcosQUOTE-cos2BsinQUOTE=QUOTEsin2B-QUOTEcos2B=sinBcosB-QUOTE×(2cos2B-1)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.19.(12分)(2021·蘭州模擬)已知向量a=(sinα,cosα),b=(6sinα+cosα,7sinα-2cosα),設(shè)函數(shù)f(α)=a·b.(1)求函數(shù)f(α)的最大值.(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,f(A)=6,且△ABC的面積為3,b+c=2+3,求a的值.【解析】(1)f(α)=a·b=sinα(6sinα+cosα)+cosα(7sinα-2cosα)=6sin2α-2cos2α+8sinαcosα=4(1-cos2α)+4sin2α-2=4sin(2α-)+2.所以f(α)max=4+2.(2)由(1)可得f(A)=4sin(2A-)+2=6,sin(2A-)=,由于0<A<,所以-<2A-<,所以2A-=,所以A=.由于S△ABC=bcsinA=bc=3,所以bc=6,又b+c=2+3,所以a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc×=(2+3)2-12-2×6×=10.所以a=.20.(12分)(2021·天津模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足QUOTE=QUOTE,(1)求角C.(2)求QUOTE的取值范圍.【解題提示】(1)由正弦定理化角為邊,由余弦定理利用邊的關(guān)系求角C.(2)由正弦定理化邊為角,再利用角的范圍求解.【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE,化簡得a2+b2-c2=ab,所以cosC=QUOTE=QUOTE,又C∈(0,π),C=QUOTE.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=2sinQUOTE,由于A∈QUOTE,又由A≠C,得a≠c,故A≠Q(mào)UOTE.QUOTE<A+QUOTE<QUOTE,且A+QUOTE≠Q(mào)UOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE.故QUOTE的取值范圍是(1,2).21.(12分)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船馬上前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達(dá)D點需要多長時間?【解題提示】已知速度,要求時間,只要求出路程,即CD的長即可;再觀看CD所在的三角形,確定已知條件較集中的三角形求解.【解析】由題意知AB=5(3+)海里,由于∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△ADB中,由正弦定理,得所以DB=又由于∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-