【北京特級教師-二輪復(fù)習(xí)精講輔導(dǎo)】2021屆高考理科數(shù)學(xué)-立體幾何及空間想象能力新題賞析-課后練習(xí)一

立體幾何及空間想象力量新題賞析主講老師：程敏北京市重點中學(xué)教研組長在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是(A．0＜θ＜eq\f(π,2) B．0＜θ≤eq\f(π,2)C．0≤θ≤eq\f(π,3) D．0＜θ≤eq\f(π,3)四周體的六條棱中，有五條棱長都等于a.求該四周體的體積的最大值.已知某球半徑為R，則該球內(nèi)接長方體的表面積的最大值是()A．8R2 B．6R2C．4R2 D．2R2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為棱DD1(1)求三棱錐A－MCC1的體積；(2)當(dāng)A1M＋MC取得最小值時，求證：B1M⊥平面

專題立體幾何及空間想象力量新題賞析課后練習(xí)參考答案D.詳解：當(dāng)P在D1處時，CP與BA1所成角為0，二者平行，不是異面，不符合題意；當(dāng)P在A處時，CP與BA1所成角為eq\f(π,3)，∴0＜θ≤eq\f(π,3).eq\f(1,8)a3.詳解：如圖，在四周體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點為P，BC的中點為E，連接BP，EP，CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝eq\f(1,3)·S△APC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r((3a2－x2)x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝\f(\r(6),2)a時取等號)).∴該四周體的體積的最大值為eq\f(1,8)a3.A.詳解：設(shè)球內(nèi)接長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則a2＋b2＋c2＝(2R)2，所以S表＝2(ab＋bc＋ac)≤2(a2＋b2＋c2)＝8R2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(2\r(3),3)R時，等號成立．(1)eq\f(1,3).(2)見詳解.詳解：(1)由長方體ABCD－A1B1C1D1AD⊥平面CDD1C1∴點A到平面CDD1C1的距離等于AD＝又S△MCC1＝eq\f(1,2)CC1×CD＝eq\f(1,2)×2×1＝1，∴VA－MCC1＝eq\f(1,3)AD·S△MCC1＝eq\f(1,3).(2)證明：將側(cè)面CDD1C1繞DD1逆時針轉(zhuǎn)90°開放，與側(cè)面ADD1A1共面(如圖當(dāng)A1，M，C′共線時，A1M＋MC由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M為DD1中點．連接A1M，B1M，在△C1MC中，MC1＝eq\r(2)，MC＝eq\r(2)，CC1＝2，∴CCeq\o\al(2,1)＝MCeq\o\al(2,1)＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由長方體ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平