【全程復(fù)習(xí)方略】2020年北師版數(shù)學(xué)文(陜西用)課時(shí)作業(yè)：第六章-第三節(jié)基本不等式

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(三十六)一、選擇題1.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是()(A)a<b<QUOTE<QUOTE (B)a<QUOTE<QUOTE<b(C)a<QUOTE<b<QUOTE (D)QUOTE<a<QUOTE<b2.（2021·漢中模擬）函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上(其中m,n>0),則QUOTE+QUOTE的最小值等于()(A)16 (B)12 (C)9 (D)83.(2022·湖北高考)設(shè)a,b,c∈R,則“abc=1”是“QUOTE+QUOTE+QUOTE≤a+b+c”的()(A)充分條件但不是必要條件(B)必要條件但不是充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要的條件4.(2021·延安模擬)某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)確定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)年后需要更新設(shè)備.()(A)10 (B)11 (C)13 (D)215.(2021·咸陽(yáng)模擬)已知a=(m，1)，b=(1，n-1)(其中m，n為正數(shù))，若a·b=0，則QUOTE+QUOTE的最小值是()(A)2 (B)2QUOTE (C)4 (D)86.(2022·陜西高考)小王從甲地到乙地來(lái)回的時(shí)速分別為a和b(a<b),其全程的平均時(shí)速為v,則()(A)a<v<QUOTE (B)v=QUOTE(C)QUOTE<v<QUOTE (D)v=QUOTE7.(2021·南昌模擬)設(shè)x,y是滿足2x+y=20的正數(shù),則lgx+lg(2y)的最大值為()(A)50 (B)2(C)1+lg5 (D)18.(2021·余姚模擬)已知f(x)=log2(x-2),若實(shí)數(shù)m,n滿足f(m)+f(2n)=3,則m+n的最小值為()(A)5 (B)7 (C)8 (D)9二、填空題9.（2021·安康模擬）設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2QUOTE,則QUOTE+QUOTE的最大值為.10.若對(duì)任意x>0,QUOTE≤a恒成立,則a的取值范圍是.11.若當(dāng)x>1時(shí)不等式QUOTE>m2+1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.12.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是.三、解答題13.若x,y∈R,且滿足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范圍.(2)求證:xy≤2.14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.15.(力氣挑戰(zhàn)題)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的污水處理池,池的深度確定(平面圖如圖所示),假如池圍墻建筑單價(jià)為400元/米,中間兩道隔墻建筑單價(jià)為248元/米,池底建筑單價(jià)為80元/米2,水池全部墻的厚度忽視不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià).(2)若由于地形限制,設(shè)池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米,試設(shè)計(jì)該水池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低.答案解析1.【解析】選B.方法一:令a=1,b=4,則QUOTE=2,QUOTE=QUOTE,∴a<QUOTE<QUOTE<b.方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<QUOTE,a+b<2b,∴QUOTE<b,∴a<QUOTE<QUOTE<b.【變式備選】下列結(jié)論中正確的是()(A)若3a+3b≥2QUOTE,則必有a>0,b>0(B)要使QUOTE+QUOTE≥2成立,必有a>0,b>0(C)若a>0,b>0,且a+b=4,則QUOTE+QUOTE≤1(D)若ab>0,則QUOTE≥QUOTE【解析】選D.當(dāng)a,b∈R時(shí),確定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2QUOTE,A錯(cuò).要使QUOTE+QUOTE≥2成立,只要QUOTE>0,QUOTE>0即可,這時(shí)只要a,b同號(hào),B錯(cuò).當(dāng)a>0,b>0,且a+b=4時(shí),則QUOTE+QUOTE=QUOTE,由于ab≤(QUOTE)2=4,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE≥1,C錯(cuò).當(dāng)a>0,b>0時(shí),a+b≥2QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE,而當(dāng)a<0,b<0時(shí),明顯有QUOTE>QUOTE,所以當(dāng)ab>0時(shí),確定有QUOTE≥QUOTE,故D正確.2.【解析】選D.由題意A(-2,-1),∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.∴QUOTE+QUOTE=(QUOTE+QUOTE)(2m+n)=4+QUOTE+QUOTE≥8.當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)取等號(hào).3.【解析】選A.由于QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE.可知當(dāng)abc=1時(shí),可推出QUOTE+QUOTE+QUOTE≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,滿足QUOTE+QUOTE+QUOTE≤a+b+c,但abc=1不成立.4.【解析】選A.由題意可知x年的維護(hù)費(fèi)用為2+4+…+2x=x(x+1)，所以x年平均費(fèi)用為y=QUOTE=x+QUOTE+1.5，y=x+QUOTE+1.5≥2QUOTE+1.5=21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE，即x=10時(shí)取等號(hào)，所以選A.5.【解析】選C.由于a·b=0，所以m×1+1×(n-1)=0，即m+n=1.又m，n為正數(shù)，所以QUOTE+QUOTE=(QUOTE+QUOTE)(m+n)=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE，即m=n=QUOTE時(shí)等號(hào)成立.故QUOTE+QUOTE的最小值是4.6.【解析】選A.設(shè)甲乙兩地的路程為s,則來(lái)回時(shí)間分別是t1=QUOTE,t2=QUOTE,所以平均速度是v=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于a<b,所以QUOTE>a,QUOTE<QUOTE,即a<v<QUOTE.7.【解析】選B.∵20=2x+y≥2QUOTE,∴2xy≤100,∴l(xiāng)gx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2.當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào).8.【解析】選B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3,因此QUOTE于是n=QUOTE+1.所以m+n=m+QUOTE+1=m-2+QUOTE+3≥2QUOTE+3=7.當(dāng)且僅當(dāng)m-2=QUOTE,即m=4時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)m+n取最小值7.9.【解析】由題意x=loga3,y=logb3.∴QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=log3a+log3b=log3(ab).∵2QUOTE=a+b≥2QUOTE,∴ab≤3,∵QUOTE+QUOTE≤log33=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).∴QUOTE+QUOTE的最大值為1.答案：110.【解析】∵x>0,∴x+QUOTE≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,∴(QUOTE)max=QUOTE,∴a≥QUOTE.答案：a≥QUOTE【方法技巧】依據(jù)恒成立求參數(shù)的方法(1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max.(2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min.即將求參數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.11.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是用基本不等式求QUOTE的最小值,可將其分子依據(jù)分母x-1進(jìn)行配方,然后分解為3項(xiàng),再利用基本不等式求最值.【解析】由于QUOTE=QUOTE=(x-1)+QUOTE+2≥2QUOTE+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào),所以要使不等式恒成立,應(yīng)有m2+1<6,解得-QUOTE<m<QUOTE.答案：-QUOTE<m<QUOTE12.【思路點(diǎn)撥】先對(duì)x2+y2變形,用x+y與xy表示,然后用基本不等式將xy轉(zhuǎn)化為x+y,再解不等式得x+y的最大值.【解析】由x2+y2+xy=1可得(x+y)2-xy=1,所以(x+y)2-1=xy,由于xy≤(QUOTE)2,所以(x+y)2-1≤(QUOTE)2,因此(x+y)2≤QUOTE,所以x+y≤QUOTE,即x+y的最大值是QUOTE.答案：QUOTE13.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,由于x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.(2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤QUOTE≤QUOTE=2,所以xy≤2.14.【思路點(diǎn)撥】把2x+8y-xy=0轉(zhuǎn)化為QUOTE+QUOTE=1即可.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,又x>0,y>0,則1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,得xy≥64,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE時(shí),等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,則x+y=(QUOTE+QUOTE)·(x+y)=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=18.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,且QUOTE+QUOTE=1時(shí)等號(hào)成立,∴x+y的最小值為18.15.【解析】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米,則長(zhǎng)為QUOTE米,則總造價(jià)f(x)=400×(2x+2×QUOTE)+248×2x+80×162=1296x+QUOTE+12960=1296(x+QUOTE)+12960≥1296×2QUOTE+12960=38