【創(chuàng)新設(shè)計】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)-人教B版-課時作業(yè)-第八章-立體幾何-6-

第6講立體幾何中的向量方法（一）——證明平行與垂直基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是 ()A．a(chǎn)＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a(chǎn)＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a(chǎn)＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a(chǎn)＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析若l∥α，則a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案D2．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是 ()A．相交 B．平行C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)解析∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))共面．則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)．答案D3．已知平面α內(nèi)有一點M(1，－1，2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3，6)，則下列點P中，在平面α內(nèi)的是 ()A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)解析逐一驗證法，對于選項A，eq\o(MP,\s\up8(→))＝(1，4，1)，∴eq\o(MP,\s\up8(→))·n＝6－12＋6＝0，∴eq\o(MP,\s\up8(→))⊥n，∴點P在平面α內(nèi)，同理可驗證其他三個點不在平面α內(nèi)．答案A4.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為 ()A．(1，1，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))解析設(shè)AC與BD相交于O點，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD對角線交點，∴M為線段EF的中點．在空間坐標系中，E(0，0，1)，F(xiàn)(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中點坐標公式，知點M的坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).答案C5.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點，M為BC的中點．則AM與PM的位置關(guān)系為 ()A．平行 B．異面C．垂直 D．以上都不對解析以D點為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，依題意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，eq\r(3))，C(0，2，0)，A(2eq\r(2)，0，0)，M(eq\r(2)，2，0)．∴eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2，0)－(0，1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2，0)－(2eq\r(2)，0，0)＝(－eq\r(2)，2，0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2，0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.答案C二、填空題6．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________．解析∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.答案－47．設(shè)點C(2a＋1，a＋1，2)在點P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)確定的平面上，則a＝________．解析eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－1，－3，2)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(6，－1，4)．依據(jù)共面對量定理，設(shè)eq\o(PC,\s\up8(→))＝xeq\o(PA,\s\up8(→))＋yeq\o(PB,\s\up8(→))(x，y∈R)，則(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)＝(－x＋6y，－3x－y，2x＋4y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1＝－x＋6y，,a＋1＝－3x－y，,2＝2x＋4y，))解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案168．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，假如eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，2，－1)．對于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(BD,\s\up8(→)).其中正確的序號是________．解析∵eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確．又eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AD,\s\up8(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的法向量，則③正確．由于eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，3，4)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up8(→))與eq\o(AP,\s\up8(→))不平行，故④錯誤．答案①②③三、解答題9．(2021·北京房山一模)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點．求證：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.證明建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，H(1，0，0)．(1)∵eq\o(PB,\s\up8(→))＝(2，0，－2)，eq\o(EH,\s\up8(→))＝(1，0，－1)，∴eq\o(PB,\s\up8(→))＝2eq\o(EH,\s\up8(→))，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)eq\o(PD,\s\up8(→))＝(0，2，－2)，eq\o(AH,\s\up8(→))＝(1，0，0)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝(0，1，1)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AH,\s\up8(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.

10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．解在棱C1D1上存在點F(為C1D1中點)，使B1F∥平面A1BE.證明如下：設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示，以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA,\s\up8(→))1為單位正交基底建立空間直角坐標系．依題意，得B(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，A1(0，0，1)，eq\o(BA,\s\up8(→))1＝(－1，0，1)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2))).設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1BE的一個法向量，則由n·eq\o(BA,\s\up8(→))1＝0，n·eq\o(BE,\s\up8(→))＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－x＋y＋\f(1,2)z＝0.))所以x＝z，y＝eq\f(1,2)z.取z＝2，得n＝(2，1，2)．設(shè)F是棱C1D1上的點，則F(t，1，1)(0≤t≤1)．又B1(1，0，1)，所以eq\o(B1F,\s\up8(→))＝(t－1，1，0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?eq\o(B1F,\s\up8(→))·n＝0?(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝eq\f(1,2)?F為C1D1的中點．這說明在棱C1D1上存在點F(C1D1的中點)，使B1F∥平面A1BE.

力量提升題組(建議用時：25分鐘)11.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正確說法的個數(shù)為 ()A．1B．2C．3D．4解析eq\o(A1M,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(D1P,\s\up8(→))＝eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\o(DP,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(A1M,\s\up8(→))∥eq\o(D1P,\s\up8(→))，所以A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正確．答案C12.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 ()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定解析分別以C1B1、C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，∴eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝(0，a，0)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))·eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up8(→)).∵eq\o(C1D1,\s\up8(→))是平面BB1C1C的法向量，且MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案B13.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點，假如B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．解析以D1A1，D1C1，D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(xiàn)(0，0，1－y)，B(1，1，1)，∴eq\o(B1E,\s\up8(→))＝(x－1，0，1)，∴eq\o(FB,\s\up8(→))＝(1，1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以eq\o(FB,\s\up8(→))·eq\o(B1E,\s\up8(→))＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0?x＋y＝1.答案114．如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的eq\r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點．(1)求證：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．(1)證明連接BD，設(shè)AC交BD于O，則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標原點，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OS,\s\up8(→))分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系如圖．設(shè)底面邊長為a，則高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，則eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s