【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第9章-第2節(jié)-簡單幾何體的表面積和體積

第九章其次節(jié)一、選擇題1．(2022·廣東汕頭金山中學(xué)摸底)如圖是一正方體被過棱的中點M，N，頂點A及過N，頂點D，C1的兩個截面截去兩角后所得的幾何體，該幾何體的正視圖是()[答案]B[解析]在原正方體中，此幾何體的頂點A、B、B1、M、N在正視圖中的投影依次為D、C、C1、Q、D1(其中Q為C1D1的中點)，能觀看的輪廓線用實線，看不見的輪廓線為虛線．故選B.2.紙制的正方體的六個面依據(jù)其實際方位分別標記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“△”的面的方位是()A．南 B．北C．西 D．下[答案]A[解析]將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為上，最右面為東，則前面為△，可知“△”的實際方位為南．3．(文)(2021·惠安中學(xué)高考適應(yīng)性訓(xùn)練)一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖是腰長為1的等腰直角三角形，側(cè)(左)視圖是直角三角形，其中一條直角邊長為2，則這個幾何體的體積是()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2[答案]A[解析]由三視圖知，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，梯形兩底邊長分別為1和2，高為eq\r(2)，面積S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(2)＝eq\f(3\r(2),2)，錐體高eq\f(\r(2),2)，∴體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)，故選A.(理)(2022·重慶理)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．54 B．60C．66 D．72[答案]B[解析]如圖所示該幾何體是將一個直三棱柱截去一個三棱錐得到的，直三棱柱底面是直角三角形，兩直角邊長為3和4，柱高為5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面積為S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED＋SRt△DEF＝eq\f(3×4,2)＋3×5＋eq\f(5＋2×4,2)＋eq\f(2＋5×5,2)＋eq\f(3×5,2)＝60.4．(文)(2021·貴州六校聯(lián)盟)某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線相互垂直，則該幾何體的體積是()A.eq\f(20,3) B．eq\f(16,3)C．8－eq\f(π,6) D．8－eq\f(π,3)[答案]A[解析]由三視圖知，該幾何體為一個正方體挖掉一個正四棱錐，其中正方體的棱長為2，正四棱錐的底面為正方體的上底面，高為1.∴幾何體的體積為V＝23－eq\f(1,3)×2×2×1＝8－eq\f(4,3)＝eq\f(20,3).(理)(2021·安徽六校教研會聯(lián)考)四棱錐P－ABCD的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面截得的線段長為2eq\r(2)，則該球的表面積為()A．9π B．3πC．2eq\r(2)π D．12π[答案]D[解析]該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得的，則正方體外接球的直徑即為PC.由直線EF被球面所截得的線段長為2eq\r(2)，可知正方形ABCD的對角線AC的長為2eq\r(2)，可得a＝2，在△PAC中，PC＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，∴球的半徑R＝eq\r(3)，∴S表＝4πR2＝4π×(eq\r(3))2＝12π.5．(文)(2022·河北名校名師俱樂部模擬)一個球的球心到過球面上A、B、C三點的平面的距離等于球半徑的一半，若AB＝BC＝CA＝3，則球的體積為()A．8π B．eq\f(43π,4)C．12π D．eq\f(32π,3)[答案]D[解析]設(shè)球心為O，過O作OM⊥平面ABC，垂足是M,∵△ABC是邊長為3的正三角形，∴AM＝eq\r(3)，可得球半徑是2，體積是eq\f(32,3)π.(理)如圖，已知在多面體ABC－DEFG中，AB、AC、AD兩兩相互垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為()A．2 B．4C．6 D．8[答案]B[解析]補成長方體ABMC－DEFN并連接CF，易知三棱錐F－BCM與三棱錐C－FGN的體積相等，故幾何體體積等于長方體的體積4.故選B.[點評]1.也可以用平面BCE將此幾何體分割為兩部分，設(shè)平面BCE與DG的交點為H，則ABC－DEH為一個直三棱柱，由條件易證EH綊FG綊BC，平面BEF∥平面CHG，且△BEF△CHG，∴幾何體BEF－CHG是一個斜三棱柱，這兩個三棱柱的底面都是直角邊長為2和1的直角三角形，高都是2，∴體積為4.2．如圖(2)，幾何體ABC－DEFG也可看作棱長為2的正方體中，取棱AN、EK的中點C、F，作平面BCGF將正方體切割成兩部分，易證這兩部格外形相同，體積相等，∴VABC－DEFG＝eq\f(1,2)×23＝4.6．在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)放入一個鋼球，鋼球恰與棱錐的四個面都接觸，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是()[答案]B[解析]球與正三棱錐底面的切點為底面正三角形的中心，故在截面圖中，此切點將截面三角形的這一條邊(底面正三角形的高)分為12兩部分，截面過三棱錐的高和一條側(cè)棱，故截面圖中球大圓與側(cè)棱外離且圓心在三角形的高(即棱錐的高)上，這條高應(yīng)是頂點與底面中心的連線段，故選B.二、填空題7．圓臺的上、下底半徑分別為2和4，母線長為4，則截得此圓臺的圓錐側(cè)面開放圖的中心角為________．[答案]π[解析]如圖，設(shè)PD＝x，則eq\f(2,4)＝eq\f(x,x＋4)，∴x＝4，∴θ＝eq\f(4,8)×2π＝π.8．一個底面半徑為1，高為6的圓柱被一個平面截下一部分，如圖(1)所示，截下部分的母線最大長度為2，最小長度為1，則截下部分的體積是________．[答案]eq\f(3π,2)[解析]依據(jù)對稱性把它補成如圖(2)所示的圓柱，這個圓柱的高是3，體積是所求幾何體體積的2倍，故所求的幾何體的體積是eq\f(1,2)×π×12×3＝eq\f(3π,2).故填eq\f(3π,2).9．(文)(2022·天津理)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.[答案]eq\f(20π,3)[解析]由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，其上部是一個圓錐，且底面圓半徑為2，高為2；下部是一個圓柱，底面圓半徑為1，高為4，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)·π·22·2＋π·12·4＝eq\f(8π,3)＋4π＝eq\f(20π,3).(理)(2021·山東泰安市期末)已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，依據(jù)圖中標出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是________．[答案]eq\f(5,3)πcm3[解析]由圖可知，該幾何體是一個組合體，上部為半徑為1的半球，下部為圓柱，圓柱的底半徑為1、高為1，∴體積V＝eq\f(4π,3)×eq\f(1,2)＋π×(eq\f(2,2))2×1＝eq\f(5π,3)(cm3)．三、解答題10．(文)(2021·江西贛州博雅文化學(xué)校月考)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2eq\r(3)，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝eq\f(π,3).(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若側(cè)棱PC上的點F滿足PF＝7FC，求三棱錐P－BDF的體積．[解析](1)∵BC＝CD＝2，∴△BCD為等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝eq\f(π,3)，∴BD⊥AC.再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.而PA∩AC＝A，故BD⊥平面PAC.(2)∵側(cè)棱PC上的點F滿足PF＝7FC，∴三棱錐F－BCD的高是三棱錐P－BCD的高的eq\f(1,8).△BCD的面積S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(2π,3)＝eq\r(3).∴三棱錐P－BDF的體積V＝VP－BCD－VF－BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·PA－eq\f(1,3)·S△BCD·(eq\f(1,8)PA)＝eq\f(7,8)×eq\f(1,3)·S△BCD·PA＝eq\f(7,24)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝eq\f(7,4).(理)(2021·濟南外國語學(xué)校質(zhì)檢)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB.(1)求證：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)證明：由于PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，在平面ABCD內(nèi)，由于AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD，(2)由(1)可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又由于AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四邊形ABCE為矩形，所以S四邊形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋eq\f(1,2)CE·DE＝1×2＋eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(5,2)，又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(5,2)×1＝eq\f(5,6).一、選擇題11．(文)(2022·湖北荊州質(zhì)量檢查)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B．πC.eq\f(4π,3) D．2π[答案]A[解析]由三視圖可知，該幾何體是在一個圓柱中挖去兩個半球而形成的，且圓柱的底面圓半徑為1，母線長為2，則圓柱的體積V柱＝π×12×2＝2π，挖去的兩個半球的半徑均為1，因此挖去部分的體積為V球＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π.故所求幾何體的體積為V＝V柱－V球＝2π－eq\f(4π,3)＝eq\f(2π,3).(理)(2022·河南鄭州質(zhì)檢)如圖所示，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的表面積為()A．15＋3eq\r(3) B．9eq\r(3)C．30＋6eq\r(3) D．18eq\r(3)[答案]C[解析]由三視圖知幾何體是一個斜四棱柱，底面是邊長為3的正方形，棱柱高為eq\r(3)，側(cè)棱長為2，故S＝3×3×2＋3×2×2＋3×eq\r(3)×2＝30＋6eq\r(3).12．(文)(2022·東北三校一聯(lián))某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,9) D．eq\f(16π,9)[答案]D[解析]該幾何體是底面為扇形的一個錐體，由主視圖可知AD＝1，而AO＝2，∴∠AOD＝eq\f(π,6)，∴底面扇形的圓心角α＝eq\f(2,3)π，∴eq\f(S扇形AOB,S⊙O)＝eq\f(1,3)，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,3)·π×22)×4＝eq\f(16,9)π.(理)(2022·江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是()A.eq\f(20,3)π B．6πC.eq\f(10,3)π D．eq\f(16,3)π[答案]C[解析]由三視圖可知，該幾何體上半部分是底面半徑和高都為2的半圓錐，下半部分為底面半徑為2，高為1的半圓柱組成的組合體，因此它的體積為V＝eq\f(1,2)(π×22×1)＋(eq\f(1,3)π×22×2)×eq\f(1,2)＝eq\f(10,3)π.13．(2022·山東青島二模)已知三棱錐D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，則該三棱錐的外接球的表面積為()A.eq\r(6)π B．6πC．5π D．8π[答案]B[解析]∵由勾股定理易知DA⊥AB，AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(6).∴AC2＋AD2＝CD2，∴DA⊥AC.取CD的中點O，由直角三角形的性質(zhì)知O到點A，B，C，D的距離均為eq\f(\r(6),2)，其即為三棱錐的外接球球心．故三棱錐的外接球的表面積為4π(eq\f(\r(6),2))2＝6π.二、填空題14．(2022·陜西寶雞質(zhì)檢)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖中半圓直徑為2，則該幾何體的體積為________．[答案]24－eq\f(3π,2)[解析]由三視圖可知，該幾何體是長方體里面挖了一個半圓柱體，可知，長方體的長為4，寬為3，高為2，圓柱體的高為3，底面的半徑為1，則可知該幾何體的體積為4×2×3－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3,2)π.15．(文)已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，則球O的表面積等于________．[答案]4π[解析]可以將其補全為一個長方體，則長、寬、高分別為eq\r(2)、1、1，所以，長方體體對角線長為eq\r(2＋1＋1)＝2，故R＝1，因此球的表面積為4πR2＝4π.(理)圓錐的高為4，側(cè)面積為15π，其內(nèi)切球的表面積為________．[答案]9π[解析]設(shè)圓錐底面半徑為r(r>0)，則母線長l＝eq\r(16＋r2)，由πrl＝15π得r·eq\r(16＋r2)＝15，解之得r＝3，∴l(xiāng)＝5.設(shè)內(nèi)切球半徑為R，作出圓錐的軸截面如圖，則BD＝BO1＝3，PD＝5－3＝2，PO＝4－R，∵OD⊥PB，∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝eq\f(3,2)，∴球的表面積S＝4πR2＝9π.三、解答題16．(文)(2022·南開區(qū)質(zhì)檢)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D為AB的中點，且CD⊥DA1(1)求證：平面A1B1B⊥平面ABC；(2)求多面體DBC－A1B1C1的體積[解析]∵AC＝BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，∴CD⊥面AA1B1B，又由于CD?平面ABC，故平面A1B1B⊥平面ABC.(2)V多面體DBC－A1B1C1＝V棱柱ABC－A1B1C1－V棱錐A1－ADC＝S△ABC·|AA1|－eq\f(1,3)S△ADC·|AA1|＝S△ABC·|AA1|－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S△ABC·|AA1|＝eq\f(5,6)S△ABC·|AA1|＝eq\f(10,3).(理)(2021·焦作市期中)如圖，四邊形BCDE為矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC＝CD＝eq\f(1,2)BC＝2，點F是線段AD的中點．(1)求證：AB∥平面CEF；(2)求幾何體ABCDE被平面CEF分成的上下兩部分的體積之比．[解析](1)連接BD交CE于點O，連接FO.∵四邊形BCDE為矩形，∴O為BD的中點，又F是線段AD的中點，∴FO∥AB，∵FO?平面CEF，AB?平面CEF.∴AB∥平面CEF.(2)∵平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AC⊥平面BCDE.∴VA－BCDE＝eq\f(1,3)·S矩形BCDE·AC＝eq\f(1,3)×BC×CD×AC＝eq\f(1,3)×4×2×2＝eq\f(16,3).矩形BCDE中，BC⊥CD，又AC⊥BC且AC∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，又矩形BCDE中，ED∥BC，∴ED⊥平面ACD.Rt△ACD中，F(xiàn)是線段AD的中點，∴S△CDF＝eq\f(1,2)S△ACD＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)·AC·CD＝1，∴VE－CDF＝eq\f(1,3)·S△CDF·ED＝eq\f(1,3)×1×4＝eq\f(4,3)，∴平面CEF將幾何體ABCDE分成的上下兩部分的體積之比為eq\f(VE－CDF,VA－BCDE－VE－CDF)＝eq\f(\f(4,3),\f(16,3)－\f(4,3))＝eq\f(1,3).17．(文)已知P在矩形ABCD的邊DC上，AB＝2，BC＝1，F(xiàn)在AB上且DF⊥AP，垂足為E，將△ADP沿AP折起，使點D位于D′位置，連接D′B、D′C得四棱錐D′－ABCP.(1)求證：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱錐D′－ABCP的體積．[解析](1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，∴AP⊥平面D