【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修二導(dǎo)學(xué)案：《垂直關(guān)系的判定》

第10課時垂直關(guān)系的判定1.理解直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理,能用圖形語言和符號語言表述這些定理,并能加以證明.2.能運用直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡潔問題.3.了解二面角及其平面角的概念.天安門廣場上,佇立的旗桿、紀念碑給我們一種直線與平面垂直的形象.你能否用數(shù)學(xué)語言表述一下什么是直線與平面垂直?假如一條直線與平面內(nèi)的很多條直線都垂直,那么這條直線與這個平面肯定垂直嗎?問題1:假如直線l與平面α內(nèi)的一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α相互垂直,記作l⊥α,直線l叫作平面α的垂線,平面α叫作直線l的垂面,唯一的公共點叫作垂足.

問題2:直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理是怎樣的?試用符號語言表示出來.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則這條直線與平面垂直.符號語言表示:若l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=A,則l⊥α.

平面與平面垂直的判定定理:假如一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.符號語言表示:若l⊥α,l?β,則α⊥β.

問題3:直線與平面所成的角、平面與平面所成的角是如何定義的?范圍分別是多少?平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,稱為該直線與平面所成的角,范圍是[0°,90°].

從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角,范圍是[0°,180°].

問題4:如何應(yīng)用線面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可簡述為“線面垂直,則面面垂直”.使用定理時兩個條件缺一不行.該定理告知我們證明兩平面垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直的問題,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題,體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“平面與平面垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,即要證線面垂直,只需證這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可,至于這兩條直線與已知直線是否有公共點是無關(guān)緊要的.定理使用時五個條件缺一不行.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a?α,b?α?l⊥α.

1.若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角的大小關(guān)系是().A.相等 B.互補 C.相等或互補 D.不確定2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以下結(jié)論不正確的是().A.AB⊥平面BCC1B1 B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1 D.A1C⊥平面AB1D13.過一個平面的垂線和這個平面垂直的平面有個.

4.已知在空間四邊形ABCD中,AB=AC,DB=DC,點E為BC的中點,求證:BC⊥平面AED.直線與平面垂直的判定與證明如圖所示,Rt△ABC所在的平面外有一點S,且SA=SB=SC,點D為斜邊AC的中點.(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定與證明在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點,且AD=PD=2MA.求證:平面EFG⊥平面PDC.平面圖形折疊后的垂直問題如圖①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分別為AB,AC上的點,且EF∥BC,AE=2BE.現(xiàn)將△AEF沿EF邊折疊到點A,并且點A在平面EBCF內(nèi)的射影恰好是點B,如圖②所示.(1)求證:平面AEF⊥平面ABE;(2)EBBC的值為何值時,EC⊥平面在四周體ABCD中,AC=BD,E,F分別為AD,BC的中點,且EF=22AC,∠BDC=90°,求證:BD⊥平面在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AB,BC的中點.求證:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如圖,矩形ABCD滿足AB=3,AD=2,E,F分別是AB,DC上的點,且EF∥AD,AE=1,將四邊形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=5.求證:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.兩個相交平面構(gòu)成的圖形B.從一個平面的一條直線動身的一個平面與這個平面構(gòu)成的圖形C.從一條直線動身的兩個半平面構(gòu)成的圖形D.過棱上一點,在兩個面內(nèi)分別作棱的垂線,這兩條射線所成的角2.如圖,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在對角線AC、FB上,且MN∥平面BCE,則下列結(jié)論肯定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如圖),則圖中相互垂直的平面有對.

4.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,將△ABD折起構(gòu)成了三棱錐B-ADC.求證:AD⊥平面BDC.(2021年·遼寧卷)如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點.(1)求證:BC⊥平面PAC;(2)設(shè)Q為PA的中點,G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.考題變式(我來改編):第10課時垂直關(guān)系的判定學(xué)問體系梳理問題1:任意l⊥α垂線垂面垂足問題2:a∩b=Al?β問題3:[0°,90°][0°,180°]問題4:線面垂直線線垂直相交直線l⊥α基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.C可以依據(jù)空間角的關(guān)系定理來想象這兩個二面角的大小關(guān)系.2.BA正確,由于AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正確,由于BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正確,由于B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.很多可以想象直立在課桌上的書本,書本的每一頁紙都與桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重點難點探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D為AC的中點,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D為AC的中點,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小結(jié)】證明線線垂直時,往往要利用平面幾何中的有關(guān)方法,這是值得我們留意的地方.同時,線面垂直的定義給出了線面垂直的必備條件,但作為判定并不有用.不過直線和平面垂直時,可以得到直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,給判定兩直線垂直帶來了便利.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC?平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四邊形ABCD為正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分別為PB、PC的中點,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小結(jié)】要證平面EFG⊥平面PDC,關(guān)鍵是利用線面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行線的傳遞性可得所證的結(jié)論.探究三:【解析】(1)由圖①知:∠B=90°,EF∥BC,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又由于EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又由于EF?平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)由于AB⊥平面BEFC,EC?平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,則只需EC⊥BF即可,當∠ECB=∠EBF時,EC⊥BF,由于從圖①可知EFBC=AEAB=所以∠ECB=∠EBF時,tan∠ECB=tan∠EBF,即EFEB=23BCEB=EBBC,所以EBBC=63時,EC⊥【小結(jié)】觀看折疊后的幾何體與折疊前的平面圖形間的聯(lián)系,留意到不變的元素有哪些,留意已知條件在兩種圖形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:取CD的中點G,連接EG,FG,∵E,F分別為AD,BC的中點,∴EG12AC,FG1又AC=BD,∴FG=12AC∴在△EFG中,EG2+FG2=12AC2=EF2∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.應(yīng)用二:連接AC且AC∩BD=O,則AC⊥BD,又M,N分別是AB,BC的中點,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN?平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN?平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.應(yīng)用三:(1)矩形ABCD中,由于EF∥AD,所以EF⊥CD,又由于DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四邊形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又由于DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC?平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基礎(chǔ)智能檢測1.C留意二面角與二面角的平面角是不同的兩個概念,前者指的是圖形,后者指的是角度.2.B過M作MG∥BC交AB于G,連接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以AMAC=AGAB=FNFB,正方形ABCD和正方形ABEF邊長相等,所以AC=FB3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:由于AD⊥BC,所以在三棱錐B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新視角拓展(1)由AB是圓O的直徑,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC