【2021屆備考】2021全國(guó)名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(1月第三期)：G單元立體幾何

G單元立體幾何名目G單元立體幾何 1G1空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1G2空間幾何體的三視圖和直觀圖 2G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 18G4空間中的平行關(guān)系 18G5空間中的垂直關(guān)系 30G6三垂線定理 60G7棱柱與棱錐 60G8多面體與球 62G9空間向量及運(yùn)算 67G10空間向量解決線面位置關(guān)系 68G11空間角與距離的求法 72G12單元綜合 90G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）】6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E是棱BC上的一點(diǎn)，則三棱錐的體積等于A.B.C.D.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】錐體的體積求法.G1【答案】【解析】D解析：,故選D.【思路點(diǎn)撥】由等體積轉(zhuǎn)化法求解.【數(shù)學(xué)卷·2021屆江蘇省鹽城中學(xué)高三1月月考（202101）】6.已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的體積為▲．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.G1【答案】【解析】解析：依據(jù)題意，圓柱的底面半徑r=1，母線長(zhǎng)l=2r=2

∴圓柱的體積為V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．

故答案為：2π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，求出圓柱的母線長(zhǎng)l，再求圓柱的體積V．G2空間幾何體的三視圖和直觀圖【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】6．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D．第第6題圖【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】A解析：由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐，其底面面積為，側(cè)面面積為，所以其表面積為，則選A.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求表面積與體積時(shí)，可先通過(guò)三視圖分析原幾何體的特征，再進(jìn)行求值.【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分別是俯視圖正視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖3642A．24+和40B．24+和72C．64+和40D．50+和72【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】C解析：由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為3,4高為4的四棱錐，所以其體積為，表面積為：所以選C.【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為3,4高為4的四棱錐，即可求得其體積以及表面積.【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考（202101）】4．右圖是一個(gè)幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖,其俯視圖是面積為8的矩形,則該幾何體的表面積是（） A．20+8 B．24+8 C．8 D．16【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】A【解析】此幾何體是一個(gè)三棱柱，且其高為，由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，所以其面積為×2×2=2，又此三棱柱的高為4，故其側(cè)面積為，（2+2+2）×4=16+8，表面積為：2×2+16+8=20+8．【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為，故先求出底面積，求解其表面積即可．【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）】9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)等于A.B.C.D.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用.G2【答案】【解析】C解析：由三視圖可知此幾何體的直觀圖如下：所以其最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)DB=，故選C.【思路點(diǎn)撥】由幾何體的三視圖得此幾何體的直觀圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，從而該多面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng).【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省襄陽(yáng)市高三第一次調(diào)研考試（202101）word版】7若某多面體的三視圖如右圖所示，則此外接球的表面積是

A．6 B．

C．2 D．3【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】D【解析】三視圖復(fù)原幾何體如圖：

是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，

它的外接球就是開(kāi)放為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，

體對(duì)角線的長(zhǎng)度為：，

所以外接球的半徑為：；所以外接球的表面積為：=3π．【思路點(diǎn)撥】畫出三視圖復(fù)原后幾何體是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，如圖，推斷出幾何體的外接球的直徑，直接求出幾何體的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】15．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為▲．第15第15題圖【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】解析：由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐，其底面面積為，側(cè)面面積為，所以其表面積為.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求表面積與體積時(shí)，可先通過(guò)三視圖分析原幾何體的特征，再進(jìn)行求值.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A．12B．24C．40D．72俯視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖3642【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】C解析：由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為3,4高為4的四棱錐，所以其體積為.所以選C.【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為3,4高為4的四棱錐，即可求得其體積.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考（202101）】4．右圖是一個(gè)幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖,其俯視圖是面積為8的矩形,則該幾何體的表面積是（） A．20+8 B．24+8 C．8 D．16【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】A【解析】此幾何體是一個(gè)三棱柱，且其高為，由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，所以其面積為×2×2=2，又此三棱柱的高為4，故其側(cè)面積為，（2+2+2）×4=16+8，表面積為：2×2+16+8=20+8．【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為，故先求出底面積，求解其表面積即可．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】三棱柱的三視圖如圖所示，則該棱柱的體積等于.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖的應(yīng)用.G2【答案】【解析】3解析：由三視圖可知，此三棱柱是直三棱柱，其高為3，底面是底邊長(zhǎng)2，底邊上的高為1的等腰三角形，所以該棱柱的體積等于.【思路點(diǎn)撥】由三視圖得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底邊長(zhǎng)及高的值，從而求得此三棱柱的體積.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】三棱柱的三視圖如圖所示，則該棱柱的體積等于.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖的應(yīng)用.G2【答案】【解析】3解析：由三視圖可知，此三棱柱是直三棱柱，其高為3，底面是底邊長(zhǎng)2，底邊上的高為1的等腰三角形，所以該棱柱的體積等于.【思路點(diǎn)撥】由三視圖得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底邊長(zhǎng)及高的值，從而求得此三棱柱的體積.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】7．已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為 A． B． C． D．1【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】C【解析】解析：邊長(zhǎng)為1的正三角形的高為，即側(cè)視圖的底面邊長(zhǎng)為，而側(cè)視圖的高，即為正視圖的高，所以側(cè)面積為.故選擇C.【思路點(diǎn)撥】由題意可得側(cè)視圖為三角形，且邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1的正三角形的高線，高等于正視圖的高，分別求解代入三角形的面積公式可得答案．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】7．已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為 A． B． C． D．1【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】C【解析】解析：邊長(zhǎng)為1的正三角形的高為，即側(cè)視圖的底面邊長(zhǎng)為，而側(cè)視圖的高，即為正視圖的高，所以側(cè)面積為.故選擇C.【思路點(diǎn)撥】由題意可得側(cè)視圖為三角形，且邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1的正三角形的高線，高等于正視圖的高，分別求解代入三角形的面積公式可得答案．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省襄陽(yáng)市高三第一次調(diào)研考試（202101）word版】6．若某多面體的三視圖如右圖所示，則此多面體外接球的表面積是A．6B．C．2D．3【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】D【解析】三視圖復(fù)原幾何體如圖：

是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，

它的外接球就是開(kāi)放為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，

體對(duì)角線的長(zhǎng)度為：，

所以外接球的半徑為：；所以外接球的表面積為：=3π．【思路點(diǎn)撥】畫出三視圖復(fù)原后幾何體是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，如圖，推斷出幾何體的外接球的直徑，直接求出幾何體的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】4、已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A、48cm3B、78cm3C、88cm3D、98cm3【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D解析：由三視圖可知幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體截取一個(gè)角后剩余的幾何體，所以其體積為6×3×6-=98cm，所以選D..【思路點(diǎn)撥】由三視圖求體積，通常先推斷結(jié)合體特征再計(jì)算.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】4、已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A、48cm3B、78cm3C、88cm3D、98cm3【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D解析：由三視圖可知幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體截取一個(gè)角后剩余的幾何體，所以其體積為6×3×6-=98cm，所以選D..【思路點(diǎn)撥】由三視圖求體積，通常先推斷結(jié)合體特征再計(jì)算.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】9.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A． B.C. D.（第9題圖）（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=。【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。【數(shù)學(xué)理卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A.B.C.D.60【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】A解析：由已知中的三視圖，我們可以推斷該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，三棱柱的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形，高為4，四棱錐的底面是一個(gè)以4為邊長(zhǎng)的正方形，高為4，分別求出棱柱和棱錐的體積，其中直三棱的底面為左視圖，高為8-4=4，故，四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，

故，故該幾何體的體積，故選A.【思路點(diǎn)撥】由已知中的三視圖，可以推斷該幾何體是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐的組合體.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】4．已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是 A．108cmB．100cm3C．92cm3 D．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】B【解析】解析：如圖所示，原幾何體為：

一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體砍去一個(gè)三棱錐，底面為直角邊分別為3，4直角三角形，高為4．因此該幾何體的體積.故選擇B.【思路點(diǎn)撥】如圖所示，原幾何體為：一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為6，3，6的長(zhǎng)方體砍去一個(gè)三棱錐，底面為直角邊分別為3，4直角三角形，高為4．利用長(zhǎng)方體與三棱錐的體積計(jì)算公式就看得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】14．如圖是一個(gè)無(wú)蓋器皿的三視圖，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖中的正方形邊長(zhǎng)為2，正視圖、側(cè)視圖中的虛線都是半圓，則該器皿的表面積是【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】解析：該器皿的表面積可分為兩部分：去掉一個(gè)圓的正方體的表面積和半球的表面積，，故【思路點(diǎn)撥】由三視圖求表面積與體積，關(guān)鍵是正確分析原圖形的幾何特征.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B.C.D.（第9題圖）正視圖（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=?！舅悸伏c(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B.C.D.（第9題圖）正視圖（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=?！舅悸伏c(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B.C.D.（第9題圖）正視圖（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=。【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B.C.D.（第9題圖）正視圖（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=。【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B.C.D.（第9題圖）正視圖（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=?！舅悸伏c(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B.C.D.（第9題圖）正視圖（第9題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖還原幾何體S=++++=。【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A.B.C.D.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】A解析：由已知中的三視圖，我們可以推斷該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，三棱柱的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形，高為4，四棱錐的底面是一個(gè)以4為邊長(zhǎng)的正方形，高為4，分別求出棱柱和棱錐的體積，其中直三棱的底面為左視圖，高為8-4=4，故，四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，

故，故該幾何體的體積，故選A.【思路點(diǎn)撥】由已知中的三視圖，可以推斷該幾何體是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐的組合體.G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線G4空間中的平行關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．第18第18題圖【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系二面角G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）解析：方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)．是正方形，∴是的中點(diǎn)．是的中點(diǎn)，∴是△的中位線．∴．………2分又平面，平面，∴平面．………4分（Ⅱ）證明：由條件有∴平面，且平面∴又∵是的中點(diǎn)，∴∴平面平面∴……………6分由已知∴平面又平面∴平面平面……8分（Ⅲ）取中點(diǎn)，則．作于，連結(jié)．∵底面，∴底面．∴為在平面內(nèi)的射影．∵,∴．∴為二面角的平面角．………10分設(shè)，在中，，∴．∴二面角的余弦的大小為．………12分方法二：（=1\*ROMANI=1\*ROMANI）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由,可設(shè)，則．，，,即有…6分又且．平面．又平面∴平面⊥平面．………8分（Ⅲ）底面，∴是平面的一個(gè)法向量，．設(shè)平面的法向量為,,則即,∴令,則．……10分,由作圖可知二面角為銳二面角∴二面角的余弦值為．………12分【思路點(diǎn)撥】證明線面平行于面面垂直通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求二面角時(shí)可通過(guò)尋求二面角的平面角解答也可以建立空間直角坐標(biāo)系用空間向量解答.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）】20.（12分）如圖平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC=CE，點(diǎn)F為CE中點(diǎn).證明：AE∥平面BDF；（2）點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間點(diǎn)，線，面位置關(guān)系；線面平行及線面垂直的證明.G4G5【答案】【解析】（1）證明：見(jiàn)解析；（2）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，證明：見(jiàn)解析.解析：(1)連接AC交BD于O，連接OF.在△ACE中，∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC中點(diǎn)，又F為EC中點(diǎn)，∴OF∥AE，又平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.（2）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，以下賜予證明.取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，∵P為AE中點(diǎn)，H為BE中點(diǎn)，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P、H、C、D四點(diǎn)共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD平面BCE=BC，CD⊥BC∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H為BE中點(diǎn)，∴CH⊥BE∵CHCD=C，∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，∴BH⊥PM，即PM⊥BE.【思路點(diǎn)撥】(1)取BD中點(diǎn)O,證明OF∥AE即可；（2）要使PM⊥BE，只需BE⊥平面DCP，取BE中點(diǎn)H，連接CH，由于BC=CE，所以BE⊥CH，有BE⊥平面BCH，則平面BCH于線段AE的交點(diǎn)為點(diǎn)P，易得P為線段AE中點(diǎn).【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】20．（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證：直線平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的余弦值．第20第20題圖【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系直線與平面所成角G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）解析：方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)．是正方形，∴是的中點(diǎn)．是的中點(diǎn)，∴是△的中位線．∴．………2分又∵平面，平面，∴平面．………4分（Ⅱ）證明：由條件有∴平面，∴……6分又∵是的中點(diǎn)，∴∴平面∴由已知，∴平面…8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，則直線在面內(nèi)的射影為，∴為所求的直線與面所成的角．…10分又，∴在中∴又由可得∴．∴…12分∴直線與平面所成角的余弦值為．…………13分【思路點(diǎn)撥】證明線面平行于面面垂直通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求直線與平面所成角時(shí)可找出其對(duì)應(yīng)的平面角再進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】3．若，是兩條不重合的空間直線，是平面，則下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系G4G5【答案】【解析】C解析：A選項(xiàng)，直線m還可能在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，直線m還可能在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤；C選項(xiàng)由線面垂直的性質(zhì)可知正確，所以應(yīng)選C.【思路點(diǎn)撥】推斷垂直關(guān)系與平行關(guān)系時(shí)，能直接利用定理推斷的可用定理推斷，不能直接利用定理推斷的可用反例法排解.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考（202101）】19．(12分)如右圖,已知三棱柱ABC—A1B1C1。(Ⅰ)若M、N分別是AB,A1C的中點(diǎn),求證:MN∥平面BCC1B1(Ⅱ)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,∠B1BA=∠B160°,P為線段B1B上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA++PC最小時(shí),求證:B1B⊥平面APC?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系垂直關(guān)系G4G5【答案】（1）略(Ⅱ)略【解析】（1）證明：連接,則AN=NC,由于AM=MB,所以MN平行,所以MN∥平面BCC1B1。(Ⅱ)將平面ABA1開(kāi)放到與平面BCC1共面，A到的位置，此時(shí)為菱形，可知PA+PC=P+PC,C即為PA+PC的最小值，此時(shí),所以,,,所以【思路點(diǎn)撥】利用線線垂直證明線面垂直，再依據(jù)最小值證明結(jié)果。【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】17.（本小題滿分12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線交于點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若，上一點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的正弦值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間線面位置關(guān)系；空間坐標(biāo)系；空間向量的應(yīng)用.G4G5G10G11【答案】【解析】(1)證明：見(jiàn)解析；（2）.解析：(1)∵DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴DE⊥AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又DEBD=D，∴AC⊥平面BDE,∵BE平面BDE，∴AC⊥BE（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)OA,OB,OF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)平面BCE的法向量為，則取，則設(shè)直線AF和平面BCE所成的角為，則sin=.【思路點(diǎn)撥】（1）證AC⊥平面BDE即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】6、（）.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì).G4G5【答案】【解析】A解析：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)過(guò)直線m的平面交平面于n，由于,所以m∥n,又，所以，所以，故選A.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)得選項(xiàng)A正確.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】17.（本小題滿分12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線交于點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若，上一點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的正弦值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間線面位置關(guān)系；空間坐標(biāo)系；空間向量的應(yīng)用.G4G5G10G11【答案】【解析】(1)證明：見(jiàn)解析；（2）.解析：(1)∵DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴DE⊥AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又DEBD=D，∴AC⊥平面BDE,∵BE平面BDE，∴AC⊥BE（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)OA,OB,OF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)平面BCE的法向量為，則取，則設(shè)直線AF和平面BCE所成的角為，則sin=.【思路點(diǎn)撥】（1）證AC⊥平面BDE即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】6、（）.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì).G4G5【答案】【解析】A解析：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)過(guò)直線m的平面交平面于n，由于,所以m∥n,又，所以，所以，故選A.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)得選項(xiàng)A正確.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】13．設(shè)b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題：①若ba，c∥a，則b∥c；②若ba，b∥c，則c∥a；③若c∥，⊥lp，則c⊥;④若c∥a，c⊥，則a⊥．其中正確的命題是．（寫出全部正確命題的序號(hào)）【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】直線與平面的位置關(guān)系G4G5【答案】④【解析】解析：①選項(xiàng)不正確，由于線面平行，面中的線與此線的關(guān)系是平行或者異面；②選項(xiàng)不正確，由于與面中一線平行的直線與此面的關(guān)系可能是在面內(nèi)或者與面平行；③選項(xiàng)不正確，由于兩面垂直，與其中一面平行的直線與另一面的關(guān)系可能是平行，在面內(nèi)也可能垂直；④選項(xiàng)正確，由于線與面平行，線垂直于另一面，可證得兩面垂直．其中正確的命題是④．故答案為：④..【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)條件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一推斷即可，①選項(xiàng)用線線平行的條件進(jìn)行推斷；②選項(xiàng)用線面平行的條件推斷；③選項(xiàng)用線面垂直的條件進(jìn)行推斷；④選項(xiàng)用面面垂直的條件進(jìn)行推斷.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】19．（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，且∥，矩形所在的平面和圓所在的平面相互垂直，且,（1）求證：平面⊥平面．（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面，并說(shuō)明理由．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】面面垂直線面平行G5G4【答案】【解析】(1)略（2）CF中點(diǎn)M解析:(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF?面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（6分）（2）取CF中點(diǎn)記作M，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AN，MN則MN，又AO，則MNAO，所以MNAO為平行四邊形，（10分）∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF．（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）要證面面垂直，只需線面垂直（2）要證線面平行，可通過(guò)線線平行，也可通過(guò)面面平行去證.【數(shù)學(xué)卷·2021屆江蘇省鹽城中學(xué)高三1月月考（202101）】15.（本小題14分）已知菱形所在平面，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：∥平面．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5【答案】【解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析.解析：（Ⅰ）平面，平面，，又是菱形，，又平面，，平面，又平面，．（Ⅱ）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，則∥，且，又∥，且，∥，，四邊形是平行四邊形，∥，又平面，平面，∥平面．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由平面，可得，又由是菱形，可得，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到⊥平面，進(jìn)而；（Ⅱ）取線段PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，由中位線定理可得∥，且，又由∥，且，進(jìn)而四邊形BEGF是平行四邊形，進(jìn)而∥EG，再由線面平行的判定定理得到∥平面。G5空間中的垂直關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．第18第18題圖【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系二面角G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）解析：方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)．是正方形，∴是的中點(diǎn)．是的中點(diǎn)，∴是△的中位線．∴．………2分又平面，平面，∴平面．………4分（Ⅱ）證明：由條件有∴平面，且平面∴又∵是的中點(diǎn)，∴∴平面平面∴……………6分由已知∴平面又平面∴平面平面……8分（Ⅲ）取中點(diǎn)，則．作于，連結(jié)．∵底面，∴底面．∴為在平面內(nèi)的射影．∵,∴．∴為二面角的平面角．………10分設(shè)，在中，，∴．∴二面角的余弦的大小為．………12分方法二：（=1\*ROMANI=1\*ROMANI）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由,可設(shè)，則．，，,即有…6分又且．平面．又平面∴平面⊥平面．………8分（Ⅲ）底面，∴是平面的一個(gè)法向量，．設(shè)平面的法向量為,,則即,∴令,則．……10分,由作圖可知二面角為銳二面角∴二面角的余弦值為．………12分【思路點(diǎn)撥】證明線面平行于面面垂直通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求二面角時(shí)可通過(guò)尋求二面角的平面角解答也可以建立空間直角坐標(biāo)系用空間向量解答.【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】19．（本小題滿分12分）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.ABABCDEFA1B1C1D1（Ⅰ）求證：A1F⊥C1E；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的正切值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線線垂直二面角G5G10【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）.【解析】解析：設(shè).以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：，，，，,，,,,.CACABDEFA1B1C1D1xyz（Ⅰ）由于，，所以.所以.………（4分）（Ⅱ）由于，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值.由于，所以當(dāng)時(shí)，即E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，此時(shí)坐標(biāo)分別為,.設(shè)平面的法向量為，則得取，得.明顯底面的法向量為.設(shè)二面角的平面角為，由題意知為銳角.由于，所以，于是.所以，即二面角的正切值為.…………（12分）【思路點(diǎn)撥】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得兩向量的數(shù)量積為零，所以證得垂直；由于三棱錐的高為是定值，所以其面積取決于，而，故當(dāng)時(shí)，面積最大，求得坐標(biāo)，利用二面角公式求得夾角的余弦值，再利用同角基本關(guān)系是求得正切值.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）】20.（12分）如圖平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC=CE，點(diǎn)F為CE中點(diǎn).證明：AE∥平面BDF；（2）點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間點(diǎn)，線，面位置關(guān)系；線面平行及線面垂直的證明.G4G5【答案】【解析】（1）證明：見(jiàn)解析；（2）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，證明：見(jiàn)解析.解析：(1)連接AC交BD于O，連接OF.在△ACE中，∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC中點(diǎn)，又F為EC中點(diǎn)，∴OF∥AE，又平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.（2）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，以下賜予證明.取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，∵P為AE中點(diǎn)，H為BE中點(diǎn)，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P、H、C、D四點(diǎn)共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD平面BCE=BC，CD⊥BC∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H為BE中點(diǎn)，∴CH⊥BE∵CHCD=C，∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，∴BH⊥PM，即PM⊥BE.【思路點(diǎn)撥】(1)取BD中點(diǎn)O,證明OF∥AE即可；（2）要使PM⊥BE，只需BE⊥平面DCP，取BE中點(diǎn)H，連接CH，由于BC=CE，所以BE⊥CH，有BE⊥平面BCH，則平面BCH于線段AE的交點(diǎn)為點(diǎn)P，易得P為線段AE中點(diǎn).【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】20．（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證：直線平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的余弦值．第20第20題圖【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系直線與平面所成角G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）解析：方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)．是正方形，∴是的中點(diǎn)．是的中點(diǎn)，∴是△的中位線．∴．………2分又∵平面，平面，∴平面．………4分（Ⅱ）證明：由條件有∴平面，∴……6分又∵是的中點(diǎn)，∴∴平面∴由已知，∴平面…8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，則直線在面內(nèi)的射影為，∴為所求的直線與面所成的角．…10分又，∴在中∴又由可得∴．∴…12分∴直線與平面所成角的余弦值為．…………13分【思路點(diǎn)撥】證明線面平行于面面垂直通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求直線與平面所成角時(shí)可找出其對(duì)應(yīng)的平面角再進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省荊門市高三元月調(diào)研考試（202101）】3．若，是兩條不重合的空間直線，是平面，則下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系G4G5【答案】【解析】C解析：A選項(xiàng)，直線m還可能在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，直線m還可能在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤；C選項(xiàng)由線面垂直的性質(zhì)可知正確，所以應(yīng)選C.【思路點(diǎn)撥】推斷垂直關(guān)系與平行關(guān)系時(shí)，能直接利用定理推斷的可用定理推斷，不能直接利用定理推斷的可用反例法排解.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng).AA1B1C1D1ABCDE（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若三棱錐的體積為時(shí)，求異面直線，所成的角.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線線垂直異面直線夾角G5G11【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）.【解析】解析：（Ⅰ）連接BD.是正方形，.四棱柱是直棱柱，平面ABCD.平面ABCD，.平面.平面，.…………………（6分）A1A1B1C1D1ABCDE（Ⅱ），平面，.，..，為異面直線，所成的角.在中，求得.平面，.在中，求得，.所以，異面直線，所成的角為.……………（13分）【思路點(diǎn)撥】只需證明平面，由平面，即可證得；三棱錐的體積為，可得，，為異面直線，所成的角，在中，求得，即可得到異面直線，所成的角的大小.【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考（202101）】19．(12分)如右圖,已知三棱柱ABC—A1B1C1。(Ⅰ)若M、N分別是AB,A1C的中點(diǎn),求證:MN∥平面BCC1B1(Ⅱ)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,∠B1BA=∠B160°,P為線段B1B上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA++PC最小時(shí),求證:B1B⊥平面APC?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系垂直關(guān)系G4G5【答案】（1）略(Ⅱ)略【解析】（1）證明：連接,則AN=NC,由于AM=MB,所以MN平行,所以MN∥平面BCC1B1。(Ⅱ)將平面ABA1開(kāi)放到與平面BCC1共面，A到的位置，此時(shí)為菱形，可知PA+PC=P+PC,C即為PA+PC的最小值，此時(shí),所以,,,所以【思路點(diǎn)撥】利用線線垂直證明線面垂直，再依據(jù)最小值證明結(jié)果。【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】17.（本小題滿分12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線交于點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若，上一點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的正弦值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間線面位置關(guān)系；空間坐標(biāo)系；空間向量的應(yīng)用.G4G5G10G11【答案】【解析】(1)證明：見(jiàn)解析；（2）.解析：(1)∵DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴DE⊥AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又DEBD=D，∴AC⊥平面BDE,∵BE平面BDE，∴AC⊥BE（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)OA,OB,OF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)平面BCE的法向量為，則取，則設(shè)直線AF和平面BCE所成的角為，則sin=.【思路點(diǎn)撥】（1）證AC⊥平面BDE即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】6、（）.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì).G4G5【答案】【解析】A解析：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)過(guò)直線m的平面交平面于n，由于,所以m∥n,又，所以，所以，故選A.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)得選項(xiàng)A正確.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】17.（本小題滿分12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線交于點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若，上一點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的正弦值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間線面位置關(guān)系；空間坐標(biāo)系；空間向量的應(yīng)用.G4G5G10G11【答案】【解析】(1)證明：見(jiàn)解析；（2）.解析：(1)∵DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴DE⊥AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又DEBD=D，∴AC⊥平面BDE,∵BE平面BDE，∴AC⊥BE（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)OA,OB,OF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)平面BCE的法向量為，則取，則設(shè)直線AF和平面BCE所成的角為，則sin=.【思路點(diǎn)撥】（1）證AC⊥平面BDE即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆福建省廈門市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（202101）word版(自動(dòng)保存的)】6、（）.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì).G4G5【答案】【解析】A解析：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)過(guò)直線m的平面交平面于n，由于,所以m∥n,又，所以，所以，故選A.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)得選項(xiàng)A正確.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】19．（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD,AB=PA=1,AD=，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)． （1）求證：AF⊥平面PBC； （2）當(dāng)BE為何值時(shí)，二面角C－PE－D為45o．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線面垂直二面角G5G11【答案】（1）略；（2）.【解析】解析：（1）證明：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，

，

（2）設(shè)設(shè)平面的法向量則取，得平面PCE的法向量為∵二面角為45°，

∴，解得∴當(dāng)時(shí)，二面角為45°，．【思路點(diǎn)撥】（1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF⊥平面PBC．（2）設(shè)求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出當(dāng)時(shí)，二面角為45°．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】19．（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD,AB=PA=1,AD=，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)． （1）求證：AF⊥平面PBC； （2）當(dāng)BE為何值時(shí)，二面角C－PE－D為45o．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線面垂直二面角G5G11【答案】（1）略；（2）.【解析】解析：（1）證明：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，

，

（2）設(shè)設(shè)平面的法向量則取，得平面PCE的法向量為∵二面角為45°，

∴，解得∴當(dāng)時(shí)，二面角為45°，．【思路點(diǎn)撥】（1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF⊥平面PBC．（2）設(shè)求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出當(dāng)時(shí)，二面角為45°．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】19、（本小題滿分12分）已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】面面垂直的判定二面角的應(yīng)用G5G11【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC，從而平面PBD⊥平面PAC．（Ⅱ）如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,，從而，由于BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為，設(shè)平面PMD的法向量為,由得取，即，設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等從而，得從而，即．【思路點(diǎn)撥】證明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明，已知二面角可通過(guò)兩面的法向量的夾角建立等量關(guān)系進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】19、（本小題滿分12分）已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】面面垂直的判定二面角的應(yīng)用G5G11【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC，從而平面PBD⊥平面PAC．（Ⅱ）如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,，從而，由于BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為，設(shè)平面PMD的法向量為,由得取，即，設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等從而，得從而，即．【思路點(diǎn)撥】證明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明，已知二面角可通過(guò)兩面的法向量的夾角建立等量關(guān)系進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】19．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，已知，，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)()，且平面與所成的銳二面角的大小為，試求的值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定G12G5【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）1解析：（Ⅰ）由于側(cè)面,側(cè)面，故,在中,由余弦定理得：，所以，故,所以,而，平面（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則.所以,所以,則，.設(shè)平面的法向量為，則,，令，則，是平面的一個(gè)法向量.平面,是平面的一個(gè)法向量，.兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以或（舍去）【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能證明C1B⊥平面ABC．

（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出λ的值【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】18．（本小題滿分12分）平面圖形ABB1AlC1C如圖l所示，其中BBlC1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=可，現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BBlC1C，垂直，再分別連接A1A，A1B，（1）證明：AA1⊥BC；（2）求AA1的長(zhǎng)；（3）求二面角A—BC—A1的余弦值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線線垂直二面角G5G11【答案】（Ⅰ）略；（2）5；（3）.【解析】解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)為點(diǎn)連接∵平面平面，平面平面

∴AO⊥平面

同理平面，共面

∵，∴平面

∵平面

（Ⅱ）解：延長(zhǎng)A1O1到D，使，則

∵平面平面，平面平面，

∴，

∵

∴，

∵

∴（Ⅲ）解：∵是二面角的平面角

在直角中，在中，

∴二面角A-BC-A1的余弦值為.【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）證明只需證明平面，取取的中點(diǎn)為點(diǎn)連接即可證得；

（Ⅱ）延長(zhǎng)A1O1到D，使，則可得可證，從而，即可求AA1的長(zhǎng)；

（Ⅲ）證明∠AOA1是二面角的平面角，在中，利用余弦定理，可求二面角的余弦值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考（202101）word版】13．設(shè)b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題：①若ba，c∥a，則b∥c；②若ba，b∥c，則c∥a；③若c∥，⊥lp，則c⊥;④若c∥a，c⊥，則a⊥．其中正確的命題是．（寫出全部正確命題的序號(hào)）【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】直線與平面的位置關(guān)系G4G5【答案】④【解析】解析：①選項(xiàng)不正確，由于線面平行，面中的線與此線的關(guān)系是平行或者異面；②選項(xiàng)不正確，由于與面中一線平行的直線與此面的關(guān)系可能是在面內(nèi)或者與面平行；③選項(xiàng)不正確，由于兩面垂直，與其中一面平行的直線與另一面的關(guān)系可能是平行，在面內(nèi)也可能垂直；④選項(xiàng)正確，由于線與面平行，線垂直于另一面，可證得兩面垂直．其中正確的命題是④．故答案為：④..【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)條件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一推斷即可，①選項(xiàng)用線線平行的條件進(jìn)行推斷；②選項(xiàng)用線面平行的條件推斷；③選項(xiàng)用線面垂直的條件進(jìn)行推斷；④選項(xiàng)用面面垂直的條件進(jìn)行推斷.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.PAPABCDE【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系,空間角與距離的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn),∴OE為△PBD的中位線，則OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距離為AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=設(shè)P到平面AEC的距離為，則，可得=∴P到平面AEC的距離為【思路點(diǎn)撥】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出體積?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.PAPABCDE【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系,空間角與距離的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn),∴OE為△PBD的中位線，則OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距離為AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=設(shè)P到平面AEC的距離為，則，可得=∴P到平面AEC的距離為【思路點(diǎn)撥】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出體積?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.PAPABCDE【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系,空間角與距離的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn),∴OE為△PBD的中位線，則OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距離為AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=設(shè)P到平面AEC的距離為，則，可得=∴P到平面AEC的距離為【思路點(diǎn)撥】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出體積?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.PAPABCDE【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系,空間角與距離的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn),∴OE為△PBD的中位線，則OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距離為AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=設(shè)P到平面AEC的距離為，則，可得=∴P到平面AEC的距離為【思路點(diǎn)撥】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出體積。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.PAPABCDE【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系,空間角與距離的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn),∴OE為△PBD的中位線，則OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距離為AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=設(shè)P到平面AEC的距離為，則，可得=∴P到平面AEC的距離為【思路點(diǎn)撥】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出體積。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.PAPABCDE【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系,空間角與距離的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn),∴OE為△PBD的中位線，則OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距離為AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=設(shè)P到平面AEC的距離為，則，可得=∴P到平面AEC的距離為【思路點(diǎn)撥】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出體積。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】19．（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，且∥，矩形所在的平面和圓所在的平面相互垂直，且,（1）求證：平面⊥平面．（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面，并說(shuō)明理由．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】面面垂直線面平行G5G4【答案】【解析】(1)略（2）CF中點(diǎn)M解析:(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF?面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（6分）（2）取CF中點(diǎn)記作M，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AN，MN則MN，又AO，則MNAO，所以MNAO為平行四邊形，（10分）∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF．（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）要證面面垂直，只需線面垂直（2）要證線面平行，可通過(guò)線線平行，也可通過(guò)面面平行去證.【數(shù)學(xué)卷·2021屆江蘇省鹽城中學(xué)高三1月月考（202101）】15.（本小題14分）已知菱形所在平面，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：∥平面．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5【答案】【解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析.解析：（Ⅰ）平面，平面，，又是菱形，，又平面，，平面，又平面，．（Ⅱ）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，則∥，且，又∥，且，∥，，四邊形是平行四邊形，∥，又平面，平面，∥平面．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由平面，可得，又由是菱形，可得，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到⊥平面，進(jìn)而；（Ⅱ）取線段PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，由中位線定理可得∥，且，又由∥，且，進(jìn)而四邊形BEGF是平行四邊形，進(jìn)而∥EG，再由線面平行的判定定理得到∥平面。G6三垂線定理G7棱柱與棱錐【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】如圖，取一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體與一個(gè)半徑為R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面（圖中陰影部分）.設(shè)截面面積分別為和，那么A．B．=C．D．不確定【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積G7【答案】【解析】B解析：依據(jù)題意：∵①半球的截面圓：②∵取一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，

∴，依據(jù)①②得出：.所以選B.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)圖形得出，即可推斷．【數(shù)學(xué)（文）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】如圖，取一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體與一個(gè)半徑為R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面（圖中陰影部分）.設(shè)截面面積分別為和，那么A．B．=C．D．不確定【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積G7【答案】【解析】B解析：依據(jù)題意：∵①半球的截面圓：②∵取一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，

∴，依據(jù)①②得出：.所以選B.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)圖形得出，即可推斷．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】16．表面積為的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面平面,則棱錐體積的最大值為.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】棱錐的體積G7【答案】【解析】27解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖：由于球的表面積為，，所以球半徑為，由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，

當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．

由于則，則△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，

則的面積為：.在直角梯形SDO′O中，作于點(diǎn)E，,,,即有三棱錐S-ABC體積,故答案為27.【思路點(diǎn)撥】由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，D為AB中點(diǎn)時(shí)，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱錐的體積公式即可得到最大值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（202101）】16．表面積為的球面上有四點(diǎn)且是等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面,則棱錐體積的最大值為.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】棱錐的體積G7【答案】【解析】27解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖：由于球的表面積為，，所以球半徑為，由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，

當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．

由于則，則△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，

則的面積為：.在直角梯形SDO′O中，作于點(diǎn)E，,,,即有三棱錐S-ABC體積,故答案為27.【思路點(diǎn)撥】由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，D為AB中點(diǎn)時(shí)，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱錐的體積公式即可得到最大值．G8多面體與球【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】16、已知三棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面開(kāi)放成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積為?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】三棱錐球G8【答案】【解析】3π解析：由開(kāi)放圖可知平面圖形的外接圓半徑為OP,設(shè)三棱錐的棱長(zhǎng)為a，則有，得，則三棱錐的高為，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為r，則，得，，所以三棱錐內(nèi)切球表面積為..【思路點(diǎn)撥】先結(jié)合三棱錐的特征求其棱長(zhǎng)，再利用等體積法求內(nèi)切球半徑，最終利用公式求球的表面積.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202101）】16、已知三棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面開(kāi)放成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積為?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】三棱錐球G8【答案】【解析】3π解析：由開(kāi)放圖可知平面圖形的外接圓半徑為OP,設(shè)三棱錐的棱長(zhǎng)為a，則有，得，則三棱錐的高為，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為r，則，得，，所以三棱錐內(nèi)切球表面積為..【思路點(diǎn)撥】先結(jié)合三棱錐的特征求其棱長(zhǎng)，再利用等體積法求內(nèi)切球半徑，最終利用公式求球的表面積.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】15.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】多面體與球G8【答案】6π．【解析】如圖：∵AD=2，AB=1，，滿足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，

∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱錐的外接球的直徑，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱錐的外接球的表面積為4π（）2=6π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)勾股定理可推斷AD⊥AB，AB⊥BC，從而可得三棱錐的各個(gè)面都為直角三角形，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】15.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】多面體與球G8【答案】6π．【解析】如圖：∵AD=2，AB=1，，滿足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，

∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱錐的外接球的直徑，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱錐的外接球的表面積為4π（）2=6π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)勾股定理可推斷AD⊥AB，AB⊥BC，從而可得三棱錐的各個(gè)面都為直角三角形，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】15.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】多面體與球G8【答案】6π．【解析】如圖：∵AD=2，AB=1，，滿足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，

∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱錐的外接球的直徑，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱錐的外接球的表面積為4π（）2=6π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)勾股定理可推斷AD⊥AB，AB⊥BC，從而可得三棱錐的各個(gè)面都為直角三角形，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】15.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】多面體與球G8【答案】6π．【解析】如圖：∵AD=2，AB=1，，滿足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，

∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱錐的外接球的直徑，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱錐的外接球的表面積為4π（）2=6π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)勾股定理可推斷AD⊥AB，AB⊥BC，從而可得三棱錐的各個(gè)面都為直角三角形，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】15.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】多面體與球G8【答案】6π．【解析】如圖：∵AD=2，AB=1，，滿足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，

∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱錐的外接球的直徑，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱錐的外接球的表面積為4π（）2=6π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)勾股定理可推斷AD⊥AB，AB⊥BC，從而可得三棱錐的各個(gè)面都為直角三角形，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省康杰中學(xué)等四校高三其次次聯(lián)考（202101）】15.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】多面體與球G8【答案】6π．【解析】如圖：∵AD=2，AB=1，，滿足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，

∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱錐的外接球的直徑，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱錐的外接球的表面積為4π（）2=6π．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)勾股定理可推斷AD⊥AB，AB⊥BC，從而可得三棱錐的各個(gè)面都為直角三角形，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．G9空間向量及運(yùn)算G10空間向量解決線面位置關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（202101）】19．（本小題滿分12分）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.ABABCDEFA1B1C1D1（Ⅰ）求證：A1F⊥C1E；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的正切值.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】線線垂直二面角G5G10【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）.【解析】解析：設(shè).以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：，，，，,，,,,.CACABDEFA1B1C1D1xyz（Ⅰ）由于，，所以.所以.……