【全程復(fù)習方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時作業(yè)：第八章-第五節(jié)圓錐曲線的綜合問題

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(四十二)一、選擇題1.(2021·濟南模擬)過拋物線y=2x2的焦點的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=()(A)-2 (B)-QUOTE (C)-4 (D)-QUOTE2.設(shè)拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是()(A)[-QUOTE,QUOTE] (B)[-2,2](C)[-1,1] (D)[-4,4]3.若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸的最小值為()(A)1 (B)QUOTE (C)2 (D)2QUOTE4.若點O和點F分別為橢圓QUOTE+QUOTE=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則QUOTE·QUOTE的最大值為()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(力氣挑戰(zhàn)題)已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為()(A)QUOTE+2 (B)QUOTE+1 (C)QUOTE-2 (D)QUOTE-16.(2021·河池模擬)已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為F1,F2,且兩條曲線在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1·e2的取值范圍是()(A)(0,+∞) (B)(QUOTE,+∞)(C)(QUOTE,+∞) (D)(QUOTE,+∞)二、填空題7.(2021·南寧模擬)過橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B,且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F,若QUOTE<k<QUOTE,則橢圓離心率的取值范圍為.8.設(shè)連接雙曲線QUOTE-QUOTE=1與QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的4個頂點的四邊形面積為S1,連接其4個焦點的四邊形面積為S2,則QUOTE的最大值為.9.過拋物線y2=2px(p>0)上確定點P(x0,y0)(y0>0)作兩直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,則QUOTE的值為.三、解答題10.(2021·廣州模擬)如圖,已知橢圓C:QUOTE+y2=1(a>1)的上頂點為A,離心率為QUOTE,若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且QUOTE·QUOTE=0.(1)求橢圓C的方程.(2)求證:直線l過定點,并求出該定點N的坐標.11.(力氣挑戰(zhàn)題)已知橢圓E:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率e=QUOTE,a2與b2的等差中項為QUOTE.(1)求橢圓E的方程.(2)A,B是橢圓E上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(t,0),求實數(shù)t的取值范圍.12.已知橢圓C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦點F2與拋物線C2:y2=4x的焦點重合,橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點為P,|PF2|=QUOTE.圓C3的圓心T是拋物線C2上的動點,圓C3與y軸交于M,N兩點,且|MN|=4.(1)求橢圓C1的方程.(2)證明:無論點T運動到何處,圓C3恒經(jīng)過橢圓C1上確定點.13.(2021·成都模擬)給定橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),稱圓心在坐標原點O,半徑為QUOTE的圓是橢圓C的“伴隨圓”,若橢圓C的一個焦點為F2(QUOTE,0),其短軸上的一個端點到F2的距離為QUOTE.(1)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程.(2)若過點P(0,m)(m<0)的直線與橢圓C只有一個公共點,且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2QUOTE,求m的值.(3)過橢圓C“伴隨圓”上一動點Q作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個公共點,試推斷直線l1,l2的斜率之積是否為定值,并說明理由.答案解析1.【解析】選D.由y=2x2得x2=QUOTEy,其焦點坐標為F(0,QUOTE),取直線y=QUOTE,則其與y=2x2交于A(-QUOTE,QUOTE),B(QUOTE,QUOTE),∴x1x2=(-QUOTE)·(QUOTE)=-QUOTE.【方法技巧】與動直線相關(guān)值的求解技巧解決動直線與圓錐曲線相交的有關(guān)值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】選C.設(shè)直線方程為y=k(x+2),與拋物線聯(lián)立方程組,整理得ky2-8y+16k=0.當k=0時,直線與拋物線有一個交點.當k≠0時,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.綜上-1≤k≤1.3.【解析】選D.設(shè)橢圓長半軸長為a,短半軸長為b,a2-b2=c2,由題意,QUOTE·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥QUOTE.∴長軸的最小值為2QUOTE.4.【解析】選C.設(shè)P(x0,y0),則QUOTE+QUOTE=1即QUOTE=3-QUOTE,又∵F(-1,0),∴QUOTE·QUOTE=x0·(x0+1)+QUOTE=QUOTE+x0+3=QUOTE(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(QUOTE·QUOTE)∈[2,6],所以(QUOTE·QUOTE)max=6.5.【思路點撥】畫出圖象,通過圖象可知點P到y(tǒng)軸的距離等于點P到焦點F的距離減1,過焦點F作直線l的垂線,此時d1+d2最小,依據(jù)拋物線方程求得F的坐標,進而利用點到直線的距離公式求得d1+d2的最小值.【解析】選D.如圖所示,由拋物線的定義知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明顯當直線PF垂直于直線x-y+4=0時,d1+d2最小,此時d2+|PF|為F到直線x-y+4=0的距離.由題意知F點的坐標為(1,0),所以(d2+|PF|)min=QUOTE=QUOTE.∴(d1+d2)min=QUOTE-1.6.【解析】選B.由題意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE;e1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.∵三角形兩邊之和大于第三邊,2c+2c>10,即c>QUOTE,∴e1·e2=QUOTE=QUOTE>QUOTE,因此選B.7.【解析】由題意知:B(c,QUOTE),∴k=QUOTE=QUOTE=1-e.又QUOTE<k<QUOTE,∴QUOTE<1-e<QUOTE,解得QUOTE<e<QUOTE.答案:(QUOTE,QUOTE)8.【思路點撥】將QUOTE用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=QUOTE·2a·2b=2ab,S2=QUOTE·2QUOTE·2QUOTE=2(a2+b2),QUOTE=QUOTE(a>0,b>0),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE(當且僅當a=b時取等號).答案:QUOTE9.【解析】設(shè)直線PA的斜率為kPA,PB的斜率為kPB,由QUOTE=2px1,QUOTE=2px0,得kPA=QUOTE=QUOTE,同理kPB=QUOTE,由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,因此QUOTE=-QUOTE,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么QUOTE=-2.答案:-210.【解析】(1)依題意有QUOTE?QUOTE故橢圓C的方程為:QUOTE+y2=1.(2)由QUOTE·QUOTE=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標軸不垂直,由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-QUOTEx+1(k≠0).將y=kx+1代入橢圓C的方程QUOTE+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-QUOTE,因此P的坐標為(-QUOTE,-QUOTE+1),即(-QUOTE,QUOTE),將上式中的k換成-QUOTE,得Q(QUOTE,QUOTE).直線l的方程為y=QUOTE(x-QUOTE)+QUOTE,化簡得直線l的方程為y=QUOTEx-QUOTE,因此直線l過定點N(0,-QUOTE).11.【解析】(1)由題意得QUOTE解得:QUOTE.即橢圓E的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1≠x2.又交點為P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+QUOTE=(x2-t)2+QUOTE,∴t=QUOTE+QUOTE①∵A,B在橢圓上,∴QUOTE=4-QUOTE,QUOTE=4-QUOTE.將上式代入①,得t=QUOTE.又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,∴-6<x1+x2<6,則-QUOTE<t<QUOTE,即實數(shù)t的取值范圍是(-QUOTE,QUOTE).【一題多解】(1)同原題.(2)設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1≠x2.(ⅰ)若y1=y2,則線段AB的垂直平分線方程為x=0,即t=0.(ⅱ)若y1≠y2,則線段AB的垂直平分線方程為y-QUOTE=-QUOTE(x-QUOTE).∵P(t,0)在直線上,∴t=QUOTE+QUOTE①∵A,B在橢圓上,∴QUOTE=4-QUOTE,QUOTE=4-QUOTE.將上式代入①,得t=QUOTE.又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,∴-6<x1+x2<6,則-QUOTE<t<QUOTE.綜合(ⅰ)(ⅱ)得實數(shù)t的取值范圍是(-QUOTE,QUOTE).12.【思路點撥】(1)依據(jù)拋物線的方程,求出其焦點坐標,然后求出橢圓的焦點坐標,通過定義建立方程,化簡即可得到橢圓C1的方程.(2)設(shè)出點T的坐標,將拋物線方程代入圓的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解.【解析】(1)∵拋物線C2:y2=4x的焦點坐標為(1,0),∴點F2的坐標為(1,0).∴橢圓C1的左焦點F1的坐標為F1(-1,0),拋物線C2的準線方程為x=-1.設(shè)點P的坐標為(x1,y1),由拋物線的定義可知|PF2|=x1+1,∵|PF2|=QUOTE,∴x1+1=QUOTE,解得x1=QUOTE.由QUOTE=4x1=QUOTE,且y1>0,得y1=QUOTE.∴點P的坐標為(QUOTE,QUOTE).在橢圓C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)中,c=1.2a=|PF1|+|PF2|=QUOTE+QUOTE=4,∴a=2,b=QUOTE=QUOTE,∴橢圓C1的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)設(shè)點T的坐標為(x0,y0),圓C3的半徑為r,∵圓C3與y軸交于M,N兩點,且|MN|=4,∴|MN|=2QUOTE=4,∴r=QUOTE,∴圓C3的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=4+QUOTE(*),∵點T是拋物線C2:y2=4x上的動點,∴QUOTE=4x0(x0≥0),∴x0=QUOTE.把x0=QUOTE代入(*)消去x0整理得:(1-QUOTE)QUOTE-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)方程(**)對任意實數(shù)y0恒成立,∴QUOTE解得QUOTE∵點(2,0)在橢圓C1:QUOTE+QUOTE=1上,∴無論點T運動到何處,圓C3恒經(jīng)過橢圓C1上確定點(2,0).13.【解析】(1)由題意得:a=QUOTE,半焦距c=QUOTE,則b=1,橢圓C方程為QUOTE+y2=1,“伴隨圓”方程為x2+y2=4.(2)設(shè)過點P且與橢圓有一個交點的直線為:y=kx+m.則QUOTE整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①.又由于直線截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2QUOTE,則有2QUOTE=2QUOTE,化簡得m2=2(k2+1)②.聯(lián)立①②解得:k2=1,m2=4,所以k=±1,m=-2(∵m<0).(3)當l1,l2都有斜率時,設(shè)點Q(x0,y0),其中QUOTE+QUOTE=4,設(shè)經(jīng)過點Q(x0,y0)與橢圓只有一個公共點的直線為y=k(x-x0)+y0由QUOTE消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0,即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,Δ=[6k(y0-kx0)]2-4·(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,經(jīng)過化簡得到:(3-QUOTE)k2+2x0y0k+1-QUOTE=0,由于QUOTE+QUOTE=4,所以有(3-QUOTE)k2+2x0y0k+(QUOTE-3)=0,設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,由于l1,l2與橢圓都只有一個公共點,所以k1,k2滿足方程(3-QUOTE)k2+2x0y0k+(QUOTE-3)=0,因而k1k2=-1,即直線l1,l2的斜率之積為定值-1.【變式備選】在平面直角坐標系xOy中,橢圓G的中心為坐標原