【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：B4函數(shù)的奇偶性與周期性

B4函數(shù)的奇偶性與周期性【數(shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（202211）】11．若曲線f(x，y)＝0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f(x，y)＝0的“自公切線”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝eq\r(4－y2)對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有()A．①②B．②③C．①④D．③④【學(xué)問點】雙曲線及其幾何性質(zhì)周期性B4H6【答案解析】B①x2-y2=1

是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；②y=x2-|x|=，在

x=和

x=-

處的切線都是y=-，故②有自公切線．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④由于|x|+1=，即

x2+2|x|+y2-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．故答案為B．【思路點撥】①x2-y2=1

是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；②在

x=

和

x=-處的切線都是y=-，故②有自公切線．③此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】14、設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=x2，若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【學(xué)問點】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.B3B4【答案】【解析】解析：由于當(dāng)x≥0時，f（x）=，所以f(x)是的增函數(shù)，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)是R上的增函數(shù)，所以若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即對任意x∈[a，a+2]，由于函數(shù)2x+1是[a，a+2]上的增函數(shù)，所以2x+1有最大值2a+5,所以.【思路點撥】先依據(jù)已知判定函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，然后把命題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[a，a+2],a2x+1恒成立問題求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是() A. B. C. D.【學(xué)問點】利用導(dǎo)數(shù)爭辯函數(shù)的極值；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B12B4【答案】【解析】D解析：由題可知，B、C選項不是奇函數(shù)，A選項單調(diào)遞增（無極值），而D選項既為奇函數(shù)又存在極值．故選D.【思路點撥】依據(jù)奇函數(shù)、存在極值的條件，即可得出結(jié)論．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】12.若函數(shù)且,若是偶函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù)，則整數(shù)的值是__________．【學(xué)問點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).B4【答案】【解析】1或3解析：由分段函數(shù)f（x）可得，b=f（f（f（0）））=f（f（﹣2））=f（1）=1，由于是偶函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù)，則a2﹣4a﹣1＜0，解得2﹣＜a＜2+，由于a為整數(shù)，則a=0，1，2，3，4檢驗：只有a=1，3時，函數(shù)y=x﹣4為偶函數(shù)，故答案為：1或3．【思路點撥】運用分段函數(shù)表達(dá)式，求得b=1，再由冪函數(shù)的單調(diào)性得到a2﹣4a﹣1＜0，解得a，再求整數(shù)a，檢驗函數(shù)的奇偶性，即可得到a．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（202211）WORD版】17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性B3B4【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）令,.∴,∴.(2)在[-1，1]上遞增，∴,∴,.【思路點撥】由函數(shù)為奇函數(shù)，可求時的解析式，即可求出；再利用函數(shù)在上遞增，可得，即可求出.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】4.已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則實數(shù)的值可以是()A.B.C.D.【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性B4【答案】【解析】B解析：的圖像由向左平移1個單位得到，所以的定義域為，又為偶函數(shù)，故，即，故選B.【思路點撥】圖像平移左加右減，函數(shù)的圖像左移1個單位得到，由為偶函數(shù)可以得定義域關(guān)于原點對稱，所以兩端點之和為0.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】3.函數(shù)的大致圖像是（）【學(xué)問點】函數(shù)圖像，奇偶性B8B4【答案】【解析】B解析：由函數(shù)解析式可得為偶函數(shù)，即，圖像取軸上方部分；當(dāng)時，，其圖像在第一象限單調(diào)遞減，所以選B.【思路點撥】對于分段函數(shù)的圖像，分別依據(jù)不同的定義域畫出各段的圖像，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得到圖像.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）(1)】10.已知R上的連續(xù)函數(shù)g(x)滿足：①當(dāng)時，恒成立(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))；②對任意的都有，又函數(shù)滿足：對任意的，都有成立。當(dāng)時，。若關(guān)于的不等式對恒成立,則的取值范圍是（）A、B、C、D、或【學(xué)問點】函數(shù)的單調(diào)性；奇偶性；周期性；不等式恒成立問題.B3B4E8【答案】【解析】D解析：由①②得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，的增函數(shù)；是周期為，且當(dāng)時，的函數(shù).所以命題為關(guān)于的不等式：，對恒成立.而在上最大值為，所以或.故選D.【思路點撥】依據(jù)已知條件確定函數(shù)g(x)的奇偶性單調(diào)性，及函數(shù)f(x)的周期性，由此把命題關(guān)于的不等式對恒成立，轉(zhuǎn)化為，對恒成立.所以只需求在上最大值，利用導(dǎo)數(shù)求得此最大值為2，所以或.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期期中考試（202211）】11.若為定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A.B.C.D.【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性與周期性B4【答案解析】C,則x-4[-1,1],又由于為偶函數(shù)，[-1,0]和[0,1]對稱，所以f（x）=,故選C?！舅悸伏c撥】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出解析式?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期期中考試（202211）】4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是上的增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性函數(shù)的單調(diào)性B3B4【答案解析】DA選項是偶函數(shù)，B選項為奇函數(shù)但是為減函數(shù)，C選項既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選D?！舅悸伏c撥】依據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)的定義確定，再用增減性求出結(jié)果。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（202211）】11．若曲線f(x，y)＝0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f(x，y)＝0的“自公切線”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝eq\r(4－y2)對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有()A．①②B．②③C．①④D．③④【學(xué)問點】雙曲線及其幾何性質(zhì)周期性B4H6【答案解析】B①x2-y2=1

是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；②y=x2-|x|=，在

x=和

x=-

處的切線都是y=-，故②有自公切線．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④由于|x|+1=，即

x2+2|x|+y2-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．故答案為B．【思路點撥】①x2-y2=1

是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；②在

x=

和

x=-處的切線都是y=-，故②有自公切線．③此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】3、定義在R上的函數(shù)滿足，且時，，則A．1B．C．D．【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性B3,B4【答案】【解析】C解析：由，由于，所以，，所以.故選【思路點撥】把所求的值利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性導(dǎo)入已知的區(qū)間，再求出結(jié)果.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省慈溪市（慈溪中學(xué)）、余姚市（余姚中學(xué)）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】6．函數(shù)的圖象A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于原點對稱C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于軸對稱【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性B4【答案解析】B由于定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱，又f（-x）==-=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故選B．【思路點撥】先看函數(shù)的定義域，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系，推斷出此函數(shù)是個奇函數(shù)，所以，圖象關(guān)于原點對稱．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】9.（）A.1B.C.D.【學(xué)問點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4【答案】【解析】D解析：∵關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴∵是偶函數(shù)，∴對任意的都成立，∴，∴，∴對一切恒成立，∴，∴，故選：D【思路點撥】由題意可得對任意的都成立，代入整理可求；由題意可得對任意的都成立，代入整理可求?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對都有成立，當(dāng)且時，有。給出下列命題(1)(2)在[-2，2]上有5個零點(3)點(2022，0)是函數(shù)的一個對稱中心(4)直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸．則正確的是【學(xué)問點】奇函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的其圖像B3B4B10【答案】【解析】(1)(2)(3)解析：由奇函數(shù)的性質(zhì)知所以(1)正確；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函數(shù)的周期為2，又當(dāng)且時，有，所以函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，可作函數(shù)模型如圖：由函數(shù)模型知(2)(3)也正確，所以正確的序號為(1)(2)(3).【思路點撥】抓住函數(shù)的性質(zhì)特征，利用函數(shù)模型結(jié)合其圖像特征解題即可..【數(shù)學(xué)文卷·2021屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（202211）WORD版】19.（本題滿分12分）已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)證明：是上的奇函數(shù)；(2)若函數(shù),求在區(qū)間上的最大值.【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B4B12【答案】【解析】(1)略；(2)2.解析：(1)證明:函數(shù)的定義域為,且,所以是上的奇函數(shù).5分(2)解:,8分不妨令,則,由可知在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上亦為單調(diào)遞增函數(shù),從而,10分所以的最大值在處取得,即.12分另解：令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]∴原函數(shù)可化為：∴而==又t∈[1,e]時，，∴∴,故在t∈[1,e]上遞減∴，即.【思路點撥】依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行推斷，依據(jù)可得，令，可得，由于由可知在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上亦為單調(diào)遞增函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的同增異減求得.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（202211）WORD版】19.（本題滿分12分）已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)證明：是上的奇函數(shù)；(2)若函數(shù),求在區(qū)間上的最大值.【學(xué)問點】函數(shù)的奇偶性單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B4B12【答案】【解析】(1)略；(2)2.解析：(1)證明:函數(shù)的定義域為,且,所以是上的奇函數(shù).5分(2)解:,8分不妨令,則,由可知在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上亦為單調(diào)遞增函數(shù),從而,10分所以的最大值在處取得,即.12分另解：令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]∴原函數(shù)可化為：∴而==又t∈[1,e]時，，∴∴,故在t∈[1,e]上遞減∴，即.【思路點撥】依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行推斷，依據(jù)可得，令，可得，由于由可知在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上亦為單調(diào)遞增函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的同增異減求得.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）】10.已知R上的連續(xù)函數(shù)g(x)滿足：①當(dāng)時，恒成立(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))；②對任意的都有，又函數(shù)滿足：對任意的，都有成立。當(dāng)時，。若關(guān)于的不等式對恒成立,則的取值范圍是（）A.B.C.D.或【學(xué)問點】函數(shù)的單調(diào)性；奇偶性；周期性；不等式恒成立問題.B3B4E8【答案】【解析】D解析：由①②得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，的增函數(shù)；是周期為，且當(dāng)時，的函數(shù).所以命題為關(guān)于的不等式：，對恒成立.而在上最大值為，所以或.故選D.【思路點撥】依據(jù)已知條件確定函數(shù)g(x)的奇偶性單調(diào)性，及函數(shù)f(x)的周期性，由此把命題關(guān)于的不等式對恒成立，轉(zhuǎn)化為，對恒成立.所以只需求在上最大值，利用導(dǎo)數(shù)求得此最大值為2，所以或.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期期中考試（202211）】11.若為定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A.B.C.