福建省南平市第六中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

/福建省南平市第六中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，則的虛部是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先化簡，再由復(fù)數(shù)的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋云涮摬繛?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、以及復(fù)數(shù)的概念，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)概念即可，屬于?？碱}型.2.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有（）A．f（x）＞g（x） B．f（x）＜g（x） C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）參考答案：C【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】比較大小常用方法就是作差，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在給定的區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，F(xiàn)（x）在給定的區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)從而F（x）＞F（a），整理后得到答案．【解答】解：設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)．∴當(dāng)x＞a時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（a），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）故選C．3.已知拋物線與直線相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)

是(1，2)。如果拋物線的焦點(diǎn)為F，那么等于（

）A．5

B．6

C． D．7

參考答案：D略4.已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且長軸長為12，離心率為，則橢圓的方程為（

）．A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)長軸長以及離心率，可求出，，再由，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意知，，，所以，，∴，又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，∴橢圓方程：．故選D．5.如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正確的是 ()．參考答案：A略6.已知是等比數(shù)列，，，則（

）A． B．C． D．參考答案：D略7.直線mx+y－m+2=0恒經(jīng)過定點(diǎn)（

）A.(1,－1)

B.(1,2)

C.(1,－2)

D.(1,1)參考答案：C8.將兩個(gè)數(shù)交換,使,下面語句正確一組是（

）

A

B

C

D

a=bb=a

c=bb=aa=c

b=aa=b

a=cc=bb=a

參考答案：B略9.若直線過圓的圓心，則的值為（）．A．

B．

C．

D．參考答案：B10.圓心坐標(biāo)為，半徑長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.參考答案：C分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫.【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，等價(jià)為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根.當(dāng)時(shí)，方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，即.設(shè)，，令，解得，當(dāng)，解得，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，解得，在上單調(diào)遞減；又，，存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，.故答案為：.

12.(2x－4)dx＝________.參考答案：略13.觀察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為．參考答案：【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】等式的左邊是正整數(shù)的平方和或差，根據(jù)這一規(guī)律得第n個(gè)等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，結(jié)合分組求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：觀察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論：第n個(gè)等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分組求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)等式左邊=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．綜上，第n個(gè)等式為．故答案為：．14.則常數(shù)T的值為

．參考答案：3

15.在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的面積為

。參考答案：由可得且四邊形ABCD是平行四邊形，再由可知D在的角平分線上，且以及上單位邊長為邊的平行四邊形的一條對角線長（如圖）是，因此，所以。該題由考查向量相等的概念和求摸以及幾何意義，由考查向量的加法的幾何意義，該題還考查正弦定理面積公式以及轉(zhuǎn)化能力，是難題。

16.已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】轉(zhuǎn)化方程為函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解m的范圍即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，即函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，與y=﹣m在內(nèi)有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，f′（x）=﹣2x，令﹣2x=0可得x=±1，當(dāng)x∈[，1）時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為：f（1）=﹣1，f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2．函數(shù)的最小值為：2﹣e2．方程f（x）+m=0在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，只需：﹣2﹣，解得m∈．故答案為：．17.“”是“”的

條件.參考答案：充分不必要略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.因發(fā)生交通事故，一輛貨車上的某種液體潰漏到一池塘中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在池塘中投放一種與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑，已知每投放個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中．若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．（1）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)模型及其應(yīng)用試題解析：（1）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)．綜合得，，即，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知，對于恒成立．因?yàn)?，而，所以，故?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，令，解得，所以的最小值為．又，所以的最小值約為1.6.19.動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離（1）求M點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F且斜率為k的直線交曲線C于兩點(diǎn)A，B，且，求的方程.參考答案：（1）依題意到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則

曲線的方程為

（2）設(shè)的方程為代入拋物線得由題意知，且，設(shè)，，∴，，由拋物線的定義知，∴，∴，即直線方程為，即，

20.（文科做）已知函數(shù)f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中實(shí)數(shù)a≥0．（1）若a=0，求函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，x1（1，2）2（2，3）3f'（x）

﹣0+

f（x）1↘2﹣2ln2↗3﹣2ln3從上表可知，∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值是1，最小值為2﹣2ln2；（2），①當(dāng)a＞2時(shí)，x∈（0，2）∪（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；②當(dāng)a=2時(shí)，∵，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈（0，a）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）；綜上，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）．21.（本小題12分）設(shè)函數(shù)

（I）若；

（II）如果的取值范圍。參考答案：（I）當(dāng)由得

，

（i）時(shí)，不等式化為不等式組的解集為

（ii）當(dāng)時(shí)，不等式化為，不可能成立。不等式組的解集為22.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直線l1過定點(diǎn)A（1，0），且與圓C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x+y﹣2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程．【專題】計(jì)算題．【分析】（I）由直線l1過定點(diǎn)A（1，0），故可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，然后根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k值即可，但要注意先討論斜率不存在的情況，以免漏解．（II）圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x+y﹣2=0上，且與圓C外切，則設(shè)圓心D（a，2﹣a），進(jìn)而根據(jù)兩圓外切，則圓心距等于半徑和，構(gòu)造出關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）①若直線l1的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意．（1分）②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1為y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即（4分）解之得．所求直線方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．（5分）（Ⅱ）依題意設(shè)D（