【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學試題分類解析匯編(12月第一期)：B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值【數(shù)學理卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（202211）】14.若且，則的最小值為.【學問點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】∵x，y為非負數(shù)且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤．

∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上單調(diào)遞減，∴當y=，x=0時，函數(shù)f（y）取得最小值，f()=．故答案為．【思路點撥】x，y為非負數(shù)且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤．可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【數(shù)學理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】14、設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x2，若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【學問點】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應用.B3B4【答案】【解析】解析：由于當x≥0時，f（x）=，所以f(x)是的增函數(shù)，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)是R上的增函數(shù)，所以若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即對任意x∈[a，a+2]，由于函數(shù)2x+1是[a，a+2]上的增函數(shù)，所以2x+1有最大值2a+5,所以.【思路點撥】先依據(jù)已知判定函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，然后把命題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[a，a+2],a2x+1恒成立問題求解.【數(shù)學理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】5.已知函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若,則（）A.B.C.D.【學問點】函數(shù)單調(diào)性的應用；數(shù)值大小的比較.B3E1【答案】【解析】B解析：∵，∴<0,又，∴，∵函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)是上的增函數(shù)，∴.故選B【思路點撥】先推斷的大小關系，再利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定結(jié)論.【數(shù)學理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學期第三次月考（202211）】19.（本小題滿分13分）已知（1）求的最小值和的最大值；（2）若，問是否存在滿足下列條件的正數(shù)t，使得對于任意的正數(shù)都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【學問點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．B1B3【答案】【解析】（1）,（2）存在滿足題設條件.解析：（1）…………（2分）由于，∴，當x=1時等號成立.……………（4分）故即x=1時，f(x)的最小值.…………………………（6分）又.故時，g(x)的最大值..…………………（8分）（2）∵，∴若能構成三角形，只需對恒成立.…………………（10分）由（1）知……………（11分）…………………（12分）綜上，存在滿足題設條件.……（13分）【思路點撥】（1）先考慮，再說明函數(shù)與在（-∞，1]上均為減函數(shù)，在[1，+∞）上均為增函數(shù)，從而求出函數(shù)的最小值．（2）利用構成三角形的條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問題利用（1）的結(jié)論可確定．【數(shù)學理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學期第三次月考（202211）】10.已知函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D. 【學問點】函數(shù)的單調(diào)性.B3【答案】【解析】A解析：由題意可得對恒成立由于所以當時函數(shù)在R上是減函數(shù),函數(shù)的值域為故(1)當時函數(shù)在R上是增函數(shù),函數(shù)的值域為故(2)由(1)(2)知,故選A.【思路點撥】先把原函數(shù)分別常數(shù)，結(jié)合對恒成立，然后對m分類爭辯即可?！緮?shù)學理卷·2021屆浙江省慈溪市慈溪中學高三上學期期中考試（202211）(1)】21．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，為常數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在上的最小值和最大值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【學問點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】（1）當時，最大值為，最小值為1。（2）（1）當時，所以當時，當時，所以在上的最大值為，最小值為1。（2）由于而在上單調(diào)遞增所以當時，必單調(diào)遞增，得即當時，亦必單調(diào)遞增，得即且恒成立故所求實數(shù)的取值范圍為。【思路點撥】先爭辯去確定值依據(jù)單調(diào)性求出最值，依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出a值?！緮?shù)學理卷·2021屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（202211）】9、函數(shù)，在上的最大值為2，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【學問點】函數(shù)的最值.B3【答案】【解析】D解析：由題意，當x≤0時，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函數(shù)在[-1，0]上導數(shù)為負，在[-∞，-1]上導數(shù)為正，故函數(shù)在[-2，0]上的最大值為f（-1）=2；要使函數(shù)在[-2，2]上的最大值為2，則當x=2時，e2a的值必需小于等于2，即e2a≤2，解得．故答案為：．【思路點撥】當x∈[-2，0]上的最大值為2；

欲使得函數(shù)在[-2，2]上的最大值為2，則當x=2時，e2a的值必需小于等于2，從而解得a的范圍【數(shù)學理卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】20.(本小題滿分13分)設二次函數(shù)集合.(1)若求函數(shù)的解析式；(2)若且且在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【學問點】集合運算，函數(shù)的單調(diào)性A1B3【答案】【解析】(1)(2)或解析：(1)(2)且，1-a+b=0,b=a-11.當Δ≤0，即－eq\f(2\r(5),5)≤a≤eq\f(2\r(5),5)時，則必需?－eq\f(2\r(5),5)≤a≤0.2.當Δ>0，即a<－eq\f(2\r(5),5)或a>eq\f(2\r(5),5)時，設方程F(x)＝0的根為x1，x2(x1<x2)．若≥1，則x1≤0，即?；若≤0，則x2≤0，即?－1≤a<－eq\f(2\r(5),5)；綜上所述：或.【思路點撥】是的解，代入即可求；是一個含有參數(shù)的二次函數(shù)，一般分和兩種狀況進行爭辯。【數(shù)學理卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【學問點】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性B3B4【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）令,.∴,∴.(2)在[-1，1]上遞增，∴,∴,.【思路點撥】由函數(shù)為奇函數(shù)，可求時的解析式，即可求出；再利用函數(shù)在上遞增，可得，即可求出.【數(shù)學理卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】10.設函數(shù)的定義域為，且，且對任意若是直角三角形的三邊長，且也能成為三角形的三邊長，則的最小值為()A.B.C.D.【學問點】三角形的外形推斷，函數(shù)的值C8B3【答案】【解析】A解析：不妨設為斜邊，則，由題意可得即即所以選A.【思路點撥】不妨設為斜邊，則，可得結(jié)合題意可得，結(jié)合可求的范圍，進而可求的范圍，即可求解.【數(shù)學理卷·2021屆四川省成都外國語學校高三11月月考（202211）(1)】10.已知R上的連續(xù)函數(shù)g(x)滿足：①當時，恒成立(為函數(shù)的導函數(shù))；②對任意的都有，又函數(shù)滿足：對任意的，都有成立。當時，。若關于的不等式對恒成立,則的取值范圍是（）A、B、C、D、或【學問點】函數(shù)的單調(diào)性；奇偶性；周期性；不等式恒成立問題.B3B4E8【答案】【解析】D解析：由①②得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，的增函數(shù)；是周期為，且當時，的函數(shù).所以命題為關于的不等式：，對恒成立.而在上最大值為，所以或.故選D.【思路點撥】依據(jù)已知條件確定函數(shù)g(x)的奇偶性單調(diào)性，及函數(shù)f(x)的周期性，由此把命題關于的不等式對恒成立，轉(zhuǎn)化為，對恒成立.所以只需求在上最大值，利用導數(shù)求得此最大值為2，所以或.【數(shù)學理卷·2021屆吉林省長春外國語學校高三上學期期中考試（202211）】10.函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.【學問點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】B令2x=t（t＞0），則函數(shù)y=4x+2x+1+1可化為：y=t2+2t+1=（t+1）2，

∵函數(shù)y在t＞0上遞增，∴y＞1，即函數(shù)的值域為（1，+∞），故答案為：B.【思路點撥】令2x=t（t＞0），將原不等式轉(zhuǎn)化為y=t2+2t+1求出函數(shù)y在t＞0時的值域即可．

【數(shù)學理卷·2021屆吉林省長春外國語學校高三上學期期中考試（202211）】4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是上的增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【學問點】函數(shù)的奇偶性函數(shù)的單調(diào)性B3B4【答案解析】DA選項是偶函數(shù)，B選項為奇函數(shù)但是為減函數(shù)，C選項既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選D?！舅悸伏c撥】依據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)的定義確定，再用增減性求出結(jié)果。【數(shù)學文卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（202211）】14.若且，則的最小值為.【學問點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】∵x，y為非負數(shù)且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤．

∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上單調(diào)遞減，∴當y=，x=0時，函數(shù)f（y）取得最小值，f()=．故答案為．【思路點撥】x，y為非負數(shù)且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤．可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【數(shù)學文卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】21.（本小題滿分14分）.已知函數(shù)，（a為實數(shù)）．(Ⅰ)當a=5時，求函數(shù)在處的切線方程；(Ⅱ)求在區(qū)間[t，t+2]（t>0）上的最小值；(Ⅲ)若存在兩不等實根，使方程成立，求實數(shù)a的取值范圍．【學問點】導數(shù)；導數(shù)與函數(shù)的最值；導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.B3,B11【答案】【解析】(I)(II)當時(III)解析：(Ⅰ)當時,.………1分，故切線的斜率為.………2分所以切線方程為:,即.………4分(Ⅱ),………6分①當時,在區(qū)間上為增函數(shù),所以………7分②當時,在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),所以………8分(Ⅲ)由，可得：，………9分,令,.………10分,,..實數(shù)的取值范圍為.………14分【思路點撥】依據(jù)導數(shù)求出切線斜率，再列出切線方程，再依據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，爭辯t的取值范圍求出函數(shù)的最小值，第三問利用導數(shù)與已知條件可解出a的取值范圍.【數(shù)學文卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】3、定義在R上的函數(shù)滿足，且時，，則A．1B．C．D．【學問點】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性B3,B4【答案】【解析】C解析：由，由于，所以，，所以.故選【思路點撥】把所求的值利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性導入已知的區(qū)間，再求出結(jié)果.【數(shù)學文卷·2021屆浙江省慈溪市（慈溪中學）、余姚市（余姚中學）高三上學期期中聯(lián)考（202211）】22．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，為常數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在上的最小值和最大值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【學問點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】（1）當時，最大值為，最小值為1。（2）（1）當時，所以當時，當時，所以在上的最大值為，最小值為1。（2）由于 而在上單調(diào)遞增所以當時，必單調(diào)遞增，得即當時，亦必單調(diào)遞增，得即且恒成立故所求實數(shù)的取值范圍為?！舅悸伏c撥】先爭辯去確定值依據(jù)單調(diào)性求出最值，依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出a值。【數(shù)學文卷·2021屆江西省師大附中高三上學期期中考試（202211）】16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對都有成立，當且時，有。給出下列命題(1)(2)在[-2，2]上有5個零點(3)點(2022，0)是函數(shù)的一個對稱中心(4)直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸．則正確的是【學問點】奇函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的其圖像B3B4B10【答案】【解析】(1)(2)(3)解析：由奇函數(shù)的性質(zhì)知所以(1)正確；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函數(shù)的周期為2，又當且時，有，所以函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，可作函數(shù)模型如圖：由函數(shù)模型知(2)(3)也正確，所以正確的序號為(1)(2)(3).【思路點撥】抓住函數(shù)的性質(zhì)特征，利用函數(shù)模型結(jié)合其圖像特征解題即可..【數(shù)學文卷·2021屆四川省成都外國語學校高三11月月考（202211）】10.已知R上的連續(xù)函數(shù)g(x)滿足：①當時，恒成立(為函數(shù)的導函數(shù))；②對任意的都有，又函數(shù)滿足：對任意的，都有成立。當時，。若關于的不等式對恒成立,則的