安徽省高三文科數(shù)學(xué)試卷

安徽省高三文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在y軸的同側(cè)，則下列判斷正確的是（）

A.$a>0$，$b^2-4ac>0$

B.$a>0$，$b^2-4ac<0$

C.$a<0$，$b^2-4ac>0$

D.$a<0$，$b^2-4ac<0$

2.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，若$f(x)=k$的解集為$\{x|x\in[0,2\pi]\}$，則實(shí)數(shù)$k$的取值范圍是（）

A.$[0,1]$

B.$[1,\sqrt{2}]$

C.$[1,2]$

D.$[0,2\sqrt{2}]$

3.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$S_3=12$，$S_6=48$，則$S_9$的值為（）

A.36

B.48

C.54

D.60

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$（$x\neq0$），若$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=A$，則$A$的值為（）

A.0

B.$\infty$

C.$-\infty$

D.不存在

5.設(shè)向量$\mathbf{a}=(1,2)$，$\mathbf=(2,3)$，則$\mathbf{a}\cdot\mathbf$的值為（）

A.7

B.5

C.3

D.1

6.若平面$\alpha$與平面$\beta$的法向量分別為$\mathbf{n}_1=(1,2,3)$，$\mathbf{n}_2=(2,3,4)$，則下列判斷正確的是（）

A.平面$\alpha$與平面$\beta$垂直

B.平面$\alpha$與平面$\beta$平行

C.平面$\alpha$與平面$\beta$相交

D.無(wú)法確定

7.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{n}{n+1}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的值為（）

A.$\frac{n(n+1)}{n+2}$

B.$\frac{n(n+1)}{2(n+2)}$

C.$\frac{n(n+1)}{2}$

D.$\frac{n(n+1)}{n+2}-1$

8.設(shè)函數(shù)$f(x)=\lnx$，若$f'(x)=k$，則$k$的值為（）

A.$\frac{1}{x}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$\frac{1}{\lnx}$

D.$x$

9.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，若$f(x)=y$的解集為$\{x|x\in[0,2\pi]\}$，則實(shí)數(shù)$y$的取值范圍是（）

A.$[1,\sqrt{2}]$

B.$[1,2]$

C.$[0,2\sqrt{2}]$

D.$[1,2\sqrt{2}]$

10.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_{10}$的值為（）

A.19

B.21

C.23

D.25

二、判斷題

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則$b^2-4ac=0$。（）

2.已知函數(shù)$f(x)=\sinx$，若$\lim_{x\rightarrow\pi}f(x)=0$，則$\pi$是函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)。（）

3.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$S_3=12$，$S_6=48$，則公差$d=4$。（）

4.向量$\mathbf{a}=(1,2)$與向量$\mathbf=(2,3)$垂直，則$\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$。（）

5.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其反函數(shù)$f^{-1}(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減。（）

三、填空題

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象的對(duì)稱軸為直線$x=\frac{2a}$，則$b^2-4ac$的值為_(kāi)_____。

2.函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值為_(kāi)_____。

3.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_{10}$的值為_(kāi)_____。

4.向量$\mathbf{a}=(1,2)$與向量$\mathbf=(2,3)$的數(shù)量積為_(kāi)_____。

5.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，若$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$，則$A$的值為_(kāi)_____。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)各區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由。

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n-1$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，并求其公差。

3.給定向量$\mathbf{a}=(3,4)$和$\mathbf=(2,5)$，求向量$\mathbf{a}$與$\mathbf$的夾角。

4.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求證：若這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為$x_1$和$x_2$，則$x_1+x_2=-\frac{a}$。

5.解下列不等式組：$\begin{cases}x^2-4x+3>0\\x-2<0\end{cases}$，并寫(xiě)出解集。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=3n^2+2n$，求$a_1$和公差$d$。

3.已知向量$\mathbf{a}=(2,-3)$和$\mathbf=(4,6)$，求向量$\mathbf{a}$與$\mathbf$的長(zhǎng)度。

4.解方程組$\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-4\end{cases}$，并寫(xiě)出解的坐標(biāo)。

5.計(jì)算定積分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x-1)dx$的值。

六、案例分析題

1.案例背景：某市為提高市民健康水平，決定在全市范圍內(nèi)推廣一項(xiàng)健身活動(dòng)。根據(jù)調(diào)查，健身活動(dòng)參與人數(shù)與市民對(duì)健身活動(dòng)的興趣程度呈正相關(guān)。現(xiàn)隨機(jī)抽取100位市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

|市民對(duì)健身活動(dòng)的興趣程度|參與健身活動(dòng)的人數(shù)|

|--------------------------|---------------------|

|很感興趣|30|

|感興趣|50|

|一般|15|

|不感興趣|5|

|很不感興趣|0|

請(qǐng)分析上述數(shù)據(jù)，并回答以下問(wèn)題：

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，判斷市民對(duì)健身活動(dòng)的興趣程度與參與健身活動(dòng)的人數(shù)之間的關(guān)系。

（2）結(jié)合實(shí)際情況，提出建議，以提高市民對(duì)健身活動(dòng)的參與度。

2.案例背景：某學(xué)校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，實(shí)施了一項(xiàng)教學(xué)創(chuàng)新項(xiàng)目。項(xiàng)目實(shí)施前后，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，以下為測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)：

|項(xiàng)目實(shí)施前|項(xiàng)目實(shí)施后|

|------------|------------|

|成績(jī)低于60分|15|

|成績(jī)60-70分|30|

|成績(jī)70-80分|40|

|成績(jī)80-90分|10|

|成績(jī)90-100分|5|

|成績(jī)低于60分|5|

|成績(jī)60-70分|20|

|成績(jī)70-80分|50|

|成績(jī)80-90分|20|

|成績(jī)90-100分|5|

請(qǐng)分析上述數(shù)據(jù)，并回答以下問(wèn)題：

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，分析項(xiàng)目實(shí)施前后學(xué)生的成績(jī)分布情況。

（2）結(jié)合數(shù)據(jù)分析，評(píng)估該項(xiàng)目對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的效果。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是前一天的1.2倍。如果工廠計(jì)劃在10天內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，且最后一天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是1000件，求工廠每天平均每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。

2.應(yīng)用題：某商店出售一批商品，定價(jià)為每件200元。為了促銷，商店決定對(duì)商品進(jìn)行打折銷售，打八折后，每件商品的利潤(rùn)是原定價(jià)的40%。求商店打折后的售價(jià)。

3.應(yīng)用題：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z（x、y、z均為正數(shù)），體積V=xyz。如果長(zhǎng)方體的表面積S=2(xy+yz+xz)是定值，求當(dāng)V最大時(shí)，x、y、z的取值。

4.應(yīng)用題：某市計(jì)劃從A地到B地修建一條高速公路，兩地相距100公里。為了評(píng)估高速公路的經(jīng)濟(jì)效益，需要對(duì)這條高速公路的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行優(yōu)化。已知高速公路的修建成本與道路的長(zhǎng)度成正比，每公里成本為500萬(wàn)元。同時(shí)，高速公路的運(yùn)營(yíng)成本包括維護(hù)費(fèi)用和通行費(fèi)用，維護(hù)費(fèi)用每年為道路長(zhǎng)度的2%，通行費(fèi)用與車輛通行量成正比，每輛車每次通行費(fèi)用為10元。假設(shè)高速公路的設(shè)計(jì)壽命為20年，預(yù)測(cè)未來(lái)20年內(nèi)每年車輛通行量將增長(zhǎng)5%。求設(shè)計(jì)這條高速公路的最小成本。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.C

2.B

3.D

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A

9.D

10.B

二、判斷題

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.$0$

2.$\sqrt{2}$

3.21

4.14

5.$\infty$

四、簡(jiǎn)答題

1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)各區(qū)間上的單調(diào)性如下：

-當(dāng)$x>0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞減；

-當(dāng)$x<0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增；

-當(dāng)$x=0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$無(wú)定義。

理由：對(duì)于任意$x_1,x_2\in\text{定義域}$，且$x_1<x_2$，有$f(x_1)=\frac{1}{x_1}$，$f(x_2)=\frac{1}{x_2}$。若$x_1>0$，則$x_1<x_2$，則$f(x_1)>f(x_2)$；若$x_1<0$，則$x_1<x_2$，則$f(x_1)<f(x_2)$。因此，函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)各區(qū)間上具有單調(diào)性。

2.數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，公差$d=2$，因?yàn)?a_n=a_1+(n-1)d$。根據(jù)等差數(shù)列的求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=3$，$d=2$，得$S_n=\frac{n(3+a_n)}{2}$。由$S_3=12$，得$3a_1+3d=12$，解得$a_1=3$。所以$a_{10}=a_1+9d=3+9\times2=21$。

3.向量$\mathbf{a}=(2,-3)$與$\mathbf=(4,6)$的夾角$\theta$滿足$\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf}{|\mathbf{a}||\mathbf|}$。計(jì)算得$\cos\theta=\frac{2\times4+(-3)\times6}{\sqrt{2^2+(-3)^2}\sqrt{4^2+6^2}}=\frac{-6}{\sqrt{13}\sqrt{52}}=-\frac{3}{\sqrt{13}\times2\sqrt{13}}=-\frac{3}{26}$。因此，$\theta=\cos^{-1}\left(-\frac{3}{26}\right)$。

4.解方程組$\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-4\end{cases}$，將第一個(gè)方程乘以3得$6x+3y=15$，與第二個(gè)方程相加得$7x=11$，解得$x=\frac{11}{7}$。將$x$的值代入第一個(gè)方程得$2\left(\frac{11}{7}\right)+y=5$，解得$y=\frac{17}{7}$。所以解的坐標(biāo)為$\left(\frac{11}{7},\frac{17}{7}\right)$。

5.計(jì)算定積分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x-1)dx$，首先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行積分，得$\left[\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+2x^2-x\right]_0^1=\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2-x\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+2-1=0.5$。

六、案例分析題

1.（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，市民對(duì)健身活動(dòng)的興趣程度與參與健身活動(dòng)的人數(shù)呈正相關(guān)，即