2020高考真題數(shù)學(xué)（文理）

新高考全國卷I

本試卷共150分.考試時長120分鐘.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.設(shè)集合4={x|lWx<3},/?={x|2<t<4},則AU5=（）

A.{M24W3}B.{M2&W3}

C.{x|Kx<4）D.{X|1<￥<4）

解析選CAUB={x|l?3}U{M2a<4}={x|lWx<4}.故選C.

2—i

2由二（）

A.1B.-1

C.iD.-i

解析選Dl+2i=（1+2i）（1-2i）=~=~L

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名,

乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

解析選C.先從6名同學(xué)中選1名安排到甲場館，有C1種選法，用從剩余的5名同學(xué)中

選2名安排到乙場館，有Cg種選法，最后將剩下的3名同學(xué)安排到丙場館，有C孑種選法，

由分步乘法計數(shù)原理知，共有a-Cg-D=60（種）不同的安排方法.

4.日展是中國古代用來測定時間的儀器，利用與辱面垂直的唇針投

射到整面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一

點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點4處的水平面是指過

點4且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日辱，若辱面與赤道所在平

面平行，點A處的緯度為北緯40。，則唇針與點4處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

解析選B.如圖所示，。。為赤道平面，為A點處的日容的%c

懸■面所在的平面，由點A處的緯度為北緯40?？芍狽OAOi=40。，又々^^4

點A處的水平面與OA垂直，■針AC與。5所在的面垂直，則界針C?京豆［面

AC與水平面所成角為40。.故選B.1—i

5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜

歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析選C.用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生

所占的比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生Q鵠殳8愿)

占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x,Jill(60%-x)+(82%-x)+x=

96%,解得x=46%.故選C.

6.基本再生數(shù)Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感

染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階

段，可以用指數(shù)模型：/”)=e"描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間”單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)

增長率「與島，T近似滿足R)=l+〃.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出&=3.28,7=6.據(jù)此，在

新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2-0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

解析選B.由Ro=l+〃，Ro=3.28,7=6,

Ro—I3.28-1

得，=

6=0.38.

由題意，累計感染病例數(shù)增加1倍，則/出)=2/(八)，即eO.38f2=2eO.38A,所以eO.38”2

—ri）=2,即0.38（及一fi）=ln2,?"一"=號.故選B.

7.已知尸是邊長為2的正六邊形A8CDE尸內(nèi)的一點，則成?通的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

解析選A.如圖，取4為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直斗

角坐標(biāo)系，則40,0),5(2,0),C(3,#),F(-l,4).設(shè)尸(-y),則亦FATPSC

=a,y),Q=(2,0),且一1<XV3.所以福?油=(X,處(2,0)=入￡(一2,6).故-A\Bi

選A.

8.若定義在R的奇函數(shù)/W在(-8,0)單調(diào)遞減，且<2)=0,則滿足班工一1)20的x

的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]U[l,4-oo)D.[-1,O]U[1,3J

解析選D.因為函數(shù)?r)為定義在R上的奇函數(shù)，則40)=0.又?x)在(一8,0)單調(diào)遞減，

且直2)=0,畫出函數(shù)人x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)凡￥—1)的大致圖象如圖(2)所示.

當(dāng)xWO時，要滿足歡x—1)20,則以一1)WO,

得一1WxWO.

當(dāng)GO時，要滿足狀x—l)20,則“r—1)20,

得W.

故滿足歡式一1)20的x的取值范圍是[-1,O]U[1,3].故選D.

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)

9.已知曲線C：渥+町，2=1.()

A.若機(jī)>〃>0,則C是橢圓，其焦點在1y軸上

B.若切=〃>0,則。是圓，其半徑為g

C.若〃皿<0,則。是雙曲線，其漸近線方程為y=±

D.若機(jī)=0,心0,則C是兩條直線

\小yr

解析選ACD.對于A,當(dāng)心〃>0時，有了帚>0，方程化為丁+:=1,表示焦點在y軸

上的橢圓,故A正確.對于B,當(dāng)小=〃>0時，方程化為/+)2=[,表示半徑為的圓,

故B錯誤.對于C,當(dāng)"?>0,時，方程化為〒一上j"=l,表示焦點在;r軸上的雙曲線,

mn

漸近線方程為y=±x；當(dāng)〃?<o,?>0時，方程化為

專=1,表示焦點在y軸上的雙曲線，其中

漸近線方程為y=±

—

m

x,故C正確.對于D,當(dāng)機(jī)=0,心0時，方程化為丫=表示兩條平行于x軸的直線,

故D正確.綜上可知，正確的選項為ACD.

10.右圖是函數(shù)y=sin((yx+0)的部分圖象，則sin@x+9)=()

A.sing+守)

B.sin（?

C.cos（2x+/

D.

解析選BC.由圖象知于=￥一點=看得T=兀，所以/=筆=2.又圖象過點僅0）,由“五

23021\O/

點法”，結(jié)合圖象可得°+三=兀，即8若，

所以sin（（wx+0）=sin（2x+^）,故A錯誤；

sin（2x+期=sin［?！小?r）］=sin?！?%）知B正確；由sin（2x+號）=

由sin2x+螃

COS（2A+知C正確；由siII（2A+—COS（2A十英）—

co［兀+（2x—引］=-cos管一2%）知D錯誤.

11.已知。>0,b>0,且a+b=l,則（）

A.標(biāo)+/*B.2“-嗎

C.Iog2〃+log2b2—2D.小+yfiWy（2

解析選ABD.因為a>0,b>0,a+b=\,所以a+b22\而,當(dāng)且僅當(dāng)。=力=￡時，等

號成立，即有

對于A,/+/?2=3+份2—2力=1-2而21—2X^=5，故A正確；對于B,2a~b=22a1

=：X2〃，因為a>0,所以22a>1,即2"一電，故B正確；對于C,log2a+log28=log2a〃Wlog2；

=—2,故C錯誤；對于D,由（也+或）2=?+方+25^=1+2*7^W2,得或+巾W巾,故

D正確.綜上可知，正確的選項為ABD.

12.信息嫡是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…，

且尸（X=i）=piX）（j=l,2,…，〃），%=1,定義X的信息燧”（X）=-f/Hog2M）

i=i尸1

A.若〃=1,則〃（%）=0

B.若〃=2,則"（X）隨著口的增大而增大

C.若口=落=1,2,…，〃），則”（X）隨著〃的增大而增大

D.若n=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,…，m,且尸(￥=/)=〃/+〃*+廣川=

1,2,-,加)，則H(X)WH(y)

解析選AC.對于A,當(dāng)〃=1時，pi=l,//(%)=-1Xlog2l=0,故A正確.對于B,

當(dāng)n=2時，有pi+〃2=l,此時，若pi=l或，都有H(X)=—4log24),故B錯誤.對

1”1111

Io

于C,當(dāng)Pi=3i=l,2,…，〃)時，H(X)=—X^S2-=—wX-log2-=log2n,顯然”(X)隨〃的

J=1

增大而增大，故C正確.對于D,方法1：當(dāng)〃=2m時，

H(X)=一3log2Pl+。210g平H2-----hp2m-110g2P2jW-l+p2mlOg2P2,H)

=-[(p1log2PI+P2wlog2P2/W)+(P210g2〃2+"2m—1?log2P2，”—1)H-----F(pjog*”?+0”+Ilog2〃m+

D]，

H(K)=-[(pi+/72/n)10g2(Pi+P2m)+(/?2+〃2，，LI)?10g2g+〃2nL1)+…+(P，n+0/n+I)10g2(A”+

Pm\l)]?由于〃[l0g2Pl+p2〃』0g2P2/”=10g2(Pl〃l?〃P2〃2M〈10g2Kpi+'2”加?加1+〃癡)〃2浦

=10g2(pi+P2/?)P1+P2，”=Si+p2m)log2(/?|+。2巾)，

同理可證〃210g2P2+/?2m-|l0g2QLl<(P2+p2/?Ll>l0g2S2+p2m-l),…，

PmlOg2Pm+/W110g孫”<(Pm+%+1)10g2(P，”+1),

所以“(x)>”(y),故D錯誤.

方法2(特值法)：令機(jī)=1,則〃=2,pi=：,P2=/

p(y=i)=i,w(r)=-iog2i=o,

H(X)=-@og2；+}og2g>0,

：.H(X)>H(Y)f故D錯誤.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.斜率為小的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則隰切=

解析由題意得，拋物線焦點為網(wǎng)1,0),設(shè)直線A8的方程為丁=小。

fy=V§(x—1),

由＜,得3f—10x+3=0.

y=4x,

設(shè)43,yi),8(x2,”),

則xi+x2=y,

所以|48|=xi+x2+2=g~.

答案y

14.將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛4〃｝,則｛為｝的前〃項和

為.

解析方法1(觀察歸納法)：數(shù)列｛2〃-1｝的各項為1,3,5,7,9,11,13,…；數(shù)列［3〃-2｝的

各項為1,4,7,10,13,….觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13,…，是首項為1,公差為

6的等差數(shù)列，則m=1+6(〃-1)=6〃-5.

〃（41+知）〃（1+6〃-5）

故前〃項和為S—=3〃2—2”.

n22

方法2(引入?yún)⒆兞糠?：令b”=2〃-1,Cm=3"?—2,bn=cm,則2%—1=3〃?-2,即3m=

2n+l,必為奇數(shù).令zn=21—1,則〃=3z—2(/=1,2,3,?,,)?

"=。3/-2=6-1=61-5,即a“=6〃-5.

以下同方法1.

答案3m2—2〃

15.某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖，A

所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線

4G的切點，8是圓弧A8與直線BC的切點，四邊形OEFG為矩形，....\c

3FF

BCA.DG,垂足C,tanZODC=BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

__________cm2.

解析如圖所示，連接OA,過4作分別交上戶，DG,

O”于點P,Q,R.

由題意知AP=EP=7,

又。七=2,EF=12,

所以AQ=QG=5,所以NAHO=N4GQ=；.

因為OA-LAH,所以NAO//=?,ZAOB=^r.

設(shè)AR=x,則。R=x,RQ=5~x.

35—x3

因為tanNOOC=~所以tan/0。。=:;—=彳,

〉l-x〉

解得x=2,則OA=2，1

所以S=S*形AOB+SMOH—S小”

竽X（2吸）2+^X4X2—5XI2

=（j+4）cm2.

答案（J+4）

16.已知直四棱柱ABC。-ABIGDI的棱長均為2,/84。=60。.以。為球心，小為半

徑的球面與側(cè)面BCGS的交線長為.

解析如圖所示，設(shè)3G的中點為以球面與棱8S,CG的交點分別為P,Q.連接08,

I,D）P,DyE,EP,EQ,由NBAD=60。，AB=AD,知△AB。為等邊三角形，：.D\B\=

DB=2,/.ADi^Ci為等邊三角形，則OiE=小且QE_L平面BCGBi,：,E為球面截側(cè)面

8CG31所得截面圓的圓心，設(shè)截面圓的半徑為r,則「=啊二萬屈=小=5=啦.

又由題可得EP=EQ=，5,??.球面與側(cè)面BCGB］的交線為以E為圓心的圓弧PQ.

又。P=小，:,BIP=N4產(chǎn)一DIBM=1,同理GQ=1,，尸，。分別為BS,CG的中

點，Z.PEQ=^,

答案專

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在①℃=小，②csinA=3,③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問

題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=^sinB,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解析方案一：選條件①.

由和余弦定理得史蕓三=坐.

由sin4=Wsin8及正弦定理得°=小%.

〒=3"+萬一/小

于是2小戶.2，

由此可得。=c.

由①ac=小，解得。=小，b=c=l.

因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時c=l.

方案二：選條件②.

由C=,和余弦定理得、堞W=坐.

由sinA=y[3s\nB及正弦定理得a=y[3b.

-3一+/?2—〈二審

于無2小乂=2，

由此可得b=c,B=C=|,4=冬

由②csinA=3,所以c=b=2，§,a=6.

因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時。=2小.

方案三：選條件③.

由。蘭和余弦定理得四新=坐

由sinA=，5sin8及正弦定理得

丁目3戶+從一c2小,“一后,

于-2.——=2'由此可得

由③c=小力，與力=c矛盾.

因此，選條件③時問題中的三角形不存在.

18.（12分）己知公比大于1的等比數(shù)列｛斯｝滿足02+44=20,03=8.

（1）求｛為｝的通項公式；

（2）記尻為｛“〃｝在區(qū)間（0,M（〃盧N）中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛狐｝的前100項和Soo.

解析（1）解：設(shè)｛?。墓葹間.

由題設(shè)得4同+。4=20,〃爐=8.

解得4一：（舍去），q—2.

由題設(shè)得0=2.

n

所以｛斯｝的通項公式為an=2.

（2）解：由題設(shè)及（1）知"=0,且當(dāng)2"Wm<2〃力時，瓦“=〃.所以51?）=6+（岳+。3）+（兒+

為+6+加）+…+（如+如+…+b63）+Sa+力6s+…+bioo）=O+1X2+2X22+3X23+4X24

+5X25+6X（100-63）=480.

19.（12分）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，

隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位："g/m3）,得下表：

SO2

[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75J6812

(75,115]3710

⑴估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S02濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表：

SO

2[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2

濃度有關(guān)?

2_____n(ad—bc￥____

附:K(a+b)(c+d)(a+c)(b+4

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析(1)解：根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度

不超過150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且

64

SO2濃度不超過150的概率的估計值為礪=0.64.

(2)解：根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2X2列聯(lián)表：

so2

[0,150](150,475]

PM2,5\.

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)解：根據(jù)(2)的列聯(lián)表得

2100X(64X10-16X10)2

K=80X20X74X267,484

由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SCh濃度有關(guān).

20.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PO_L底面ABCD.

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為/.

(1)證明：/_L平面POC；

(2)已知PO=AO=1,Q為/上的點，求尸8與平面QC。所成角的

正弦值的最大值.

解析(1)證明：因為PO_L底面448,所以

又底面ABC。為正方形，所以AD_LOC,

所以AD_L平面PDC.

因為AO〃BC,4庾平面P8C,

所以AQ〃平面PBC.

由已知得/〃AO,因此/JL平面尸0c.

(2)解：以。為坐標(biāo)原點，函的方向為x軸正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系O/z

則。(0,0,0),C(0,l,0),8(1,1,0),P(0,0,l),

DC=(0J,0),-1).

由(1)可設(shè)Q(?0」)，

則加=3,0,1).

設(shè)〃=(%,y,z)是平面QCO的法向量,

〃OQ=0,ar+z=0,

則V即

=0.

irDC=0,

可取〃=(—1,0,辦

所以cos(n,崩〉=〃,巴=；：2?

設(shè)PB與平面QCD所成角為凡

則sin憶用指卜坐\小+券

因為由小售iw坐當(dāng)且僅當(dāng)。=1時等號成立，所以PB與平面QCO所成角的

正弦值的最大值為乎.

21.(12分)已知函數(shù)?￥)="6**-1一InAHIna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=；U)在點(1,<1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若兀v)21,求。的取值范圍.

解析段)的定義域為(0,+°°),f(jf)=aet-1—

(1)解：當(dāng)。=0時，應(yīng)力=^-111x+1,/(l)=e-l,曲線在點(1,人1))處的切線

方程為j-(e+l)=(e-l)(x-l),即y=(e-l)x+2.

直線y=(e—l)x+2在x軸，),軸上的截距分別為二告，2-

V1

2

因此所求三角形的面積為上不

e—1

(2)解：當(dāng)Ovavl時，y(l)=a4-lna<\.

當(dāng)a=\時，y(x)=er-,—Inx,f(^)=^-1—

當(dāng)xe(0,1)時,/(x)<0;

當(dāng)x￡(l,+8)時，f(x)>0.

所以當(dāng)％=I時，“r)取得最小值，最小值為八1)=1,從而

當(dāng)a>l時，fl.x)=aQx~1—Inx-FIna1—In1.

綜上，。的取值范圍是[1,+~).

22.(12分)已知橢圓C：5+冬=15泌>0)的離心率為堂，且過點A(2,l).

(1)求C的方程；

(2)點M,N在C上，且AM_LAMAD±MN,。為垂足.證明：存在定點Q,使得|DQ|

為定值.

4Ia2一護(hù)I

解析⑴解：由題設(shè)得點+*=1,—^~=^

解得。2=6,52=3.

所以C的方程為\+1=1.

(2)證明：設(shè)M(xi,yi),N(X2,yi)-

若直線MN與x軸不垂直，

設(shè)直線MN的方程為y=H+加，代入,+1=1,

得(1+2F)f+4hnx+2m2—6=0.

4km27M2—6

于是①

Xl+X2=1+2P即M=]+2如.

由AMLAN,得病?病=0,

故(M2)32)I(yil)(j21)=0,

整理得(F+l)%iX2+(h"—A—2)(xi+M)+(〃?-1>+4=0.

將①代入上式，可得(必+1)1標(biāo)一(km—k—2)[1/+4=0,

1I乙pII乙《

整理得(2A+3〃?+l)(2A+m-1)=0.

因為4(2,1)不在直線MN上，

所以2左+6一1二0,所以22+3m+1=0,AW1.

所以直線MN的方程為產(chǎn)比一|)一|(21).

所以直線MN過點夠，一；)

若直線MN與x軸垂直，可得Ng，-yi).

由京?俞=0,

得3—2)5—2)+8—1)(一3，1-1)=0.

姆+￥=1,

所以3x?—8即+4=0.

2

解得即=2（舍去），X[=y

此時直線MN過點K|,一；）

令。為AP的中點，即。傳，1）.

若。與P不重合，則由題設(shè)知AP是RI&W尸的斜邊，故|。。|=協(xié)丹=乎.

當(dāng)Z）與尸重合，則|DQ|

綜上，存在點Q（*；）,使得|DQ|為定值.

新高考全國卷n

【注：本試題、答案及解析僅供參考】

本試卷共150分.考試時長120分鐘.

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.設(shè)集合A={2,3,5,7},8=口23,5,8},則AAB=()

A.{1,8}B.{2,5}

C.[2,3,5}D.{1,235,8)

解析選C.AnB=[2,357}P{1,2,3,5,8}={2,3,5),故選C.

2.(l+2i)(2+i)=()

A.-5iB.5i

C.-5D.5

解析選B.(l+2i)(2+i)=2+i+4i—2=5i.故選B.

3.若。為△ABC的邊AB的中點，則無=()

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2C4+CD

解析選A.如圖所示，?.?。為△ABC的邊AB的中點，.二之十無二

2CD,?,.荏=2%-之.故選A.

4.日展是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇針

投射到輯面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球

上一點A的緯度是指OA與地球赤道所成平面所成角，點A處的水平面是

指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日展，若暮面與赤道所

在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，則唇針與點A處的水平面所成角

為()

A.20°B.40°

C.50°D.90°

解析選B.如圖所示，0。所在平面為地球赤道所在平面，。01

為點4處的日署的界面所在的平面，由點A處的緯度為北緯40?？芍?/p>

Z0401=40°,又點A處的水平面與Q4垂直，犀針AC與。Oi所在

的平面垂直，則NCAB=N040i=40。，故唇針AC與點A處的水平

面所成角為40。.故選B.

5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜

歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析選C.如圖，用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳

C足球乙、游泳、

的學(xué)生所占的比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳<^60%-x82%-x^>

的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x,貝iJ(60%—x)+(82%—x)+x=96%,解得％=46%.故選

C.

6.3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個村，每個村至少

1人，則不同的分配方案共有()

A.4種B.5種

C.6種D.8種

解析選C.先將3名大學(xué)生分成2組有CkG種分法，再分配到2個村有A*種分法，則

不同的分配方案共有€：，?◎?A?=6種.故選C.

7.已知函數(shù)人x)=lg(W—4x-5)在(a,+8)單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.(一8,-I]B.(一8,2]

C.[2,+8)D.[5,+8)

解析選D.由x2—4%—5>0,得x<—1或x>5.

令4x—5,則函數(shù)-4x—5在(-8,一。單調(diào)遞減，在(5,+8)單調(diào)遞增，

函數(shù)y=lgr為增函數(shù)，故要使函數(shù)｛v)=lga2—44一5)在(a,+8)單調(diào)遞增，則有(°,+°0)

C(5,+8),即.故選D.

8.若定義在R的奇函數(shù)￡r)在(-8,0)單調(diào)遞減，且火2)=0,則滿足劃“—1)20的x

的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

C.l-l,0]U[l,4-co)D.[-l,0]U[l,3J

解析選D.因為函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，所以<0)=0.又I/(x)在(一8,0)單調(diào)遞

減，且大2)=0,畫出函數(shù)段)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)人￥—1)的大致圖象如圖(2)所示.

(1)(2)

當(dāng)xWO時，要滿足歡x-l)20,則應(yīng)r-l)WO,

得一1WxWO.

當(dāng)GO時，要滿足的一1)20,則?X—1)2O,

得KW3.

故滿足求工一1)20的x的取值范圍是故選D.

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得3分)

9.我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天

復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是()

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第II天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均增大都超過80%

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

解析選CD.

10.已知曲線C：加/+江=1.()

A.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若則。是圓，其半徑為g

C.若〃"KO,則。是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m=0,心0,則C是兩條直線

11r2J

解析選ACD.對于A,當(dāng)機(jī)>?0時，有/方箱，方程化為1+1=1,表示焦點在y軸

mn

上的橢圓，故A正確.

對于B,當(dāng)m=〃>0時，方程化為F+y2=5表示半徑為喘的回，故B錯誤.

對于C,當(dāng)加>0,〃<0時，方程化為十一七=1,表示焦點在x軸上的雙曲線，其中〃=

示焦點在y軸上的雙曲線.其中,漸近線方程為），=±居故C

正確.

對于D,當(dāng)〃?=0,〃>0時，方程化為y=±,表示兩條平行于x軸的直線，故D正

確.

綜上可知，正確的選項為ACD.

11.右圖是函數(shù).丫=$皿5：+少）的部分圖象，貝心吊（3+3）=（）

A.sinLr+2J

解析選BC.由圖象知,=爭一看=看得丁=冗,

所以力號=2.又圖象過點備0）,由“五點法”，結(jié)合圖象可得什尹兀，即伊=與，

所以sin（①x+9）=sin（2r+gl）,故A錯誤；

++

由sinB正確；由sin^2t

=cos（2x+知C正確；

由sin（2r+等=cos（2x+§=cos|jr+（2x—引］=-cos管一句知D錯誤.綜上可知，

正確的選項為BC.

12.已知aX）,。>0,且。+。=1,則（）

A.標(biāo)+及日B.2"-嗎

C.Iog2〃+log2b2—2D.班+的W

解析選ABD.因為a>0,b>0,a+b=\,所以a+b22\履,當(dāng)且僅當(dāng)。=方=￡時，等

號成立，即有時尋

對于A,層+從=3+初2—24心=1-2"21—2義（==故A正確；對于B,2tt-Z,=22a~,

=JX2\因為

。>0,所以2%>1,即2。一'岐，故B正確；對于C,Iog2?4-log2^=log2^^log2j=-2,

故C錯誤；對于D,由(血+血)2=。+。+2，^=1+2，^W2,得/+亞故D正確.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.棱長為2的正方形A8CO-AIiGOi中，M,N分別為棱48的中點，則三棱

錐Ai-DiMN的體積為.

解析如圖所示，由正方體棱長為2,得SAA]MN=2X2-2X^.心

3

X2X1-2X1X1=》又易知。山為三棱錐。1-AMN的高，且。A=

2,：.VA\-DsMN=VDi-AiMN

NB

113

=^-5AAiA<fMDiAi=^X2X2=1.

答案1

14.斜率為由的直線過拋物線C：丁=敘的焦點，且與。交于A,B兩點，則|A8|二

解析由題意得，拋物線焦點為尸(1,0),設(shè)直線48的方程為斗

Q>

得3F—10X+3=0.

設(shè)A(%i,yi),8(x2,>12)?

則41+及=±",所以八用=汨+及+2=曰".

15.將數(shù)列(2〃-1｝與(3〃-2)的公共項從小到大排列得到數(shù)列優(yōu)”｝,則｛%｝的前〃項和為

解析方法1(觀察歸納法)：數(shù)列｛2〃-1｝的各項為1,3,5,7,9,11,13,…;數(shù)列[3〃-2｝的

各項為1,4,7,10,13,….觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13,…，是首項為1,公差為

6的等差數(shù)列，則m=1+6(〃-1)二6〃-5.

〃（。1+知）〃（1+6〃-5）

=

故前〃項和為Sn=3m2—2/1.

方法2（引入?yún)⒆兞糠ǎ毫頱n=2〃一1,cm=3m—2,bn=cmt則2H—1=3〃L2,即3〃?=

2刀+1,m必為奇數(shù).令m=2f—1,則〃=3，-2（1=1,2,3,…）.

所以0=b3L2=c〃-i=67—5,即a”=6〃一5.

以下同方法1.

答案3"-2〃

16.某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖

所示.0為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線

AG的切點，5是圓弧A8與直線5c的切點，四邊形OE尸G為矩形，

3

BCLDG,垂足C,ianNOOC=g,BH//DG,EF=12cm,Z）E=2cm,

A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

_________cm2.

解析如圖所示，連接。4,過A作AP_LE凡分別交EF,DG,

0H于點P,Q,R.

由題意知4P=EP=7,

又。E=2,EF=12,

所以4Q=QG=5,所以NAH0=N4GQ=；.

因為OAJLA"，所以NAO”=；,所以NAOB=竽.

設(shè)AR=x,貝IOR=x,RQ=5~x.

35—x3

因為tanZODC=T,所以tan/OOC=:;----=7,

57—x5

解得x=2,則0A=2，l

所以S=S?ftJAOB+S^\OH~S小平的

=1x^X(2-\/2)2+^X4X2—pXI2

=修+4)而.

答案（?+4）

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在①以c=，5,②csinA=3,③。=小力這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問

題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=4§sinB,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解析方案一：選條件①.

由c=+和余弦定理得“藍(lán);巳=乎.

由sinA=[5sinB及正弦定理得5b.

3〃+〃一/小

于是2小從=2，

由此可得b=c.

由①ac=巾，解得。=巾，b=c=\.

因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時。=1.

方案二：選條件②.

由。=專和余弦定理得話產(chǎn)=坐

由sin4=，5sinB及正弦定理得a=y[3b.

工3出+護(hù)一。2小

于是2#從—2，

由此可得力=c,8=C=去人=冬

由②csinA=3,解得。=力=2b，4=6.

因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時c=2小.

方案三：選條件③.

由。弋和余弦定理彳佇器=坐

由sin4=*\/5sinB及正弦定理得。=小6.

于是邛,由此可得…

243bz2

由③。=小6,與b=c矛盾.

因此，選條件③時問題中的三角形不存在.

18.(12分)已知公比大于1的等比數(shù)列｛"〃｝滿足42+。4=20,43=8.

(1)求｛斯｝的通項公式;

(2)求06—3H---F(-1)”-匕同"+|.

解析⑴解:設(shè)｛小｝的公比為式4>1).

1

。聞+。4=20,9=2,

由題設(shè)得解得或“（舍去）.

,ai/=8,4/1=2

4I=32

所以｛斯｝的通項公式為必=2"

(2)解：由于(一1廣％，加1=(一1)”一小202"+|=(-1)122"+1,故為。2一。2a3+…+(-1)”

00〃+|

=23-25+27-29+-+(-l)n-,-22w+,

2斗1一(—2?)〃]學(xué)竺

1-(-22)5-(-1)5,

19.(12分)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門