2021年中考復習數(shù)學考點專題訓練-專題三：一次函數(shù)

如果別人思考數(shù)學的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發(fā)現(xiàn)?！咚?/p>

備戰(zhàn)2021中考數(shù)學考點專題訓練一專題三：一次函數(shù)

1.在學習一元一次不等式與一次函數(shù)中，小明在同一個坐標系中分別作出了一次函數(shù)y=

kix+也和y=kx+b的圖象，分別與x軸交于點A、B,兩直線交于點C.已知點A(-l,0),

B(2,0),觀察圖象并回答下列問題：

(1)關(guān)于x的方程k1x+bi=0的解是；關(guān)于x的不等式kx+bVO的解集是；

kx+b>0

(2)直接寫出關(guān)于x的不等式組，,的解集；

(3)若點C(l,3),求關(guān)于x的不等式kix+b】>kx+b的解集和△ABC的面積.

2.為讓更多的學生學會游泳，少年宮新建一個游泳池，其容積為480m3,該游泳池有甲、

乙兩個進水口，注水時每個進水口各自的注水速度保持不變.同時打開甲、乙兩個進水口

注水，游泳池的蓄水量y(m3)與注水時間t<h)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

(1)根據(jù)圖象求游泳池的蓄水量y(m3)與注水時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出同

時打開甲、乙兩個進水口的注水速度；

(2)現(xiàn)將游泳池的水全部排空，對池內(nèi)消毒后再重新注水.巳知單獨打開甲進水口注滿游

泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的告倍.求單獨打開甲進水口注滿

游泳池需多少小時？

3.規(guī)定：若直線1與圖形M有公共點，則稱直線1是圖形M的關(guān)聯(lián)宜線.已知：矩形ABCD

的其中三個頂點的坐標為A(t,0),B(t+2,0),C(t+2,3)

(1)當t=l時，如圖以下三個一次函數(shù)y1=x+4,y?=-x+2,y3=x+2中，是矩形

ABCD的關(guān)聯(lián)直線；

(2)已知直線Ly=x+2,若直線1是矩形ABCD的關(guān)聯(lián)直線，求t的取值范圍；

(3)如果直線m：y=tx+2(t>0)是矩形ABCD的關(guān)聯(lián)直線，請直接寫出t的取值范圍.

2,

1)

-?-----------?----?-------?

-1OA2Bx

-1,

4.如圖，直線y=-與x軸相交于點A,與直線用交于點B.

(1)求點A,點B的坐標；

(2)動點C從原點0出發(fā)，以每秒1個單位的速度在線段0A上向點A做勻速運動，連接

BC,設(shè)運動時間為t秒，4BCA的面積為S,求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若點P是坐標平面內(nèi)任意一點，以0,A,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直

5.巳知：在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線AB與x軸的正半軸交于點A,與y

軸的負半軸交于點B,0A=0B,過點A作x軸的垂線與過點0的直線相交于點C,直線0C

的解析式為y=?,過點C作CMJLy軸，垂足為M,0M=9.

(1)如圖1,求直線AB的解析式；

(2)如圖2,點N在線段MC上，連接ON,點P在線段ON上，過點P作PD_Lx軸，垂足為

D,交0C于點E,若NC=OM,求常的值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點F為線段AB上一點，連接0F,過點F作OF的垂線交

線段AC于點Q,連接BQ,過點F作x軸的平行線交BQ于點G,連接PF交x軸于點H,<

接EH,若NDHE=NDPH,GQ-FG=JM，求點P的坐標.

6.如圖：在平面直角坐標系xOy中，過點A(-2,0)的直線L和直線b：y=2x相交于

點B(2,m).

(1)求直線L的表達式；

(2)過動點P(n,0)(n<0)且垂直于x軸的直線與L、k的交點分別為C,D.橫、縱

坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

①當n=-l時，直接寫出aBCD內(nèi)部(不含邊上)的整點個數(shù)；

②若△BCD的內(nèi)部(不含邊上)恰有3個整點，直接寫出n的取值范圍.

7.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線1分別交x軸、y軸于A.B兩點,

OA<OB,且0A、0B的長分別是一元二次方程x?-14x+48=0的兩根.

(1)求直線AB的解析式；

(2)點C從點A出發(fā)沿射線AB方向運動，運動的速度為每秒2個單位，設(shè)△OBC的面積為

S,點C運動的時間為t,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

(3)點P是y軸上的點，點Q是笫一象限內(nèi)的點，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱

形請求出點Q的坐標.

8.團結(jié)奮戰(zhàn)，眾志成城，齊齊哈爾市組織援助醫(yī)療隊，分別乘甲、乙兩車同時出發(fā)，沿同

一路線趕往綏芬河.齊齊哈爾距綏芬河的路程為800km,在行駛過程中乙車速度始終保持

80km/h,甲車先以一定速度行駛了500km,用時5h,然后再以乙車的速度行駛，直至到達

綏芬河(加油、休息時間忽略不計).甲、乙兩車離齊齊哈爾的路程y(km)與所用時間x

(h)的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：

<1)甲車改變速度前的速度是km/h,乙車行駛h到達綏芬河；

(2)求甲車改變速度后離齊齊哈爾的路程y(km)與所用時間x(h)之間的函數(shù)解析式，

不用寫出自變量x的取值范圍；

(3)甲車到達綏芬河時，乙車距綏芬河的路程還有km；出發(fā)h時,甲、乙

兩車第一次相距40km.

9.如圖，巳知直線y=kx+b與直線y=平行，且y=kx+b還過點(2,3),與y

軸交于A點.

(1)求A點坐標；

(2)若點P是該直線上的一個動點，過點P分別作PM垂直x軸于點M,PN垂直y軸于點N,

在四邊形PMON上分別截?。篜C=%P,MB=g)M,OE=^ON,ND=^NP,試證：四邊形BCDE

是平行四邊形；

(3)在(2)的條件下，在直線y=kx+b上是否存在這樣的點P,使四邊形BCDE為正方形？

若存在，直接寫出所有符合的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

10.小硝向某校食堂王經(jīng)理建議食堂就餐情況，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)就餐時，有520人排隊吃飯就

餐，就餐開始后仍有學生繼續(xù)前來排隊進食堂.設(shè)學生按固定的速度增加，食堂打飯窗口

打飯菜的速度也是固定的,若每分鐘該食堂新增排隊學生數(shù)12人，每個打飯窗口1每分鐘

打飯菜10人.已知食堂的前a分鐘只開放了兩個打飯窗口；某一天食堂排隊等候的學生數(shù)

y(人)與打飯菜時間x(分鐘)的關(guān)系如圖所示.

(1)求a的值；

(2)求排隊到第16分鐘時，食堂排隊等候打飯菜的學生人數(shù)；

(3)若要在開始打飯菜后8分鐘內(nèi)讓所有排隊的學生都能進食堂后來到食堂窗口的學生隨

到隨吃，那么小硝應該建議食堂王經(jīng)理一開始就需要至少同時開放幾個打飯窗口？

11.如圖，在平面直角坐標系中，直線yi=kx+b與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B

(0,3)，點C是直線丫2=-爭+5上的一個動點，連接BC,過點C作CD_LAB于點D.

(1)求直線y1=kx+b的函數(shù)表達式；

(2)當BC〃x軸時，求BD的長；

(3)點E在線段0A上，0E="|<)A,當點D在笫一象限，且△BCD中有一個角等于N0EB時，

請直接寫出點C的橫坐標.

12.在平面直角坐標系xOy中，京A(t-1,1)與點B關(guān)于過點(t,0)且垂直于x軸的

直線對稱.

(1)以AB為底邊作等腰三角形ABC,

①當t=2時，點B的坐標為;

②當t=0.5且直線AC經(jīng)過原點。時，點C與x軸的距離為;

③若AABC上所有點到y(tǒng)軸的距離都不小于1,則t的取值范圍是.

(2)以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD,直線m過點(0,b)且與x軸平行，若直線m上

存在點P,AABD上存在點K,滿足PK=L直接寫出b的取值范圍.

13.笛卡爾是法國數(shù)學家、科學家和哲學家，他的哲學與數(shù)學思想對歷史的影響是深遠

的.1637年，笛卡爾發(fā)表了《幾何學》，創(chuàng)立了直角坐標系.其中笛卡爾的思想核心是：

把幾何學的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)的方法進行計算、證明，從而達到最終解

決幾何問題的目的.

某學習小組利用平面直角坐標系在研究直線上點的坐標規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線丫=1?+6(kWO)

Yi-y9Yi-yq

上的任意三點A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,ya)(X1WX1WX3),滿足-------=-------

xi-x2x「X3

y9-yq

=—―-=k,經(jīng)學習小組查閱資料得知，以上發(fā)現(xiàn)是成立的，即直線y=kx+b(kWO)上

x2-x3

yi-y?

任意兩點的坐標M(x.,yi)N(x5,y2)(x】Xx2),都有二一々的值為k,其中k叫直線

xrx2

2-4

y=kx+b的斜率.如，P(1,3),Q(2,4)為直線y=x+2上兩點，則=1,即

直線y=x+2的斜率為1.

(1)請你直接寫出過E(2,3)、F(4,-2)兩點的直線的斜率夠=.

(2)學習小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到如下正確結(jié)論：不與坐標軸平行的

任意兩條直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積是定值.

如圖1,直線GH_LGI于點G,G(1,3),H(-2,1),I(-1,6).請求出直線GH與

直線GI的斜率之積.

(3)如圖2,已知正方形OKRS的頂點S的坐標為(6,8),點K,R在第二象限，OR為正

方形的對角線.過頂點R作RTJ_0R于點R.求直線RT的解析式.

14.定義：在平面直角坐標系中，0為坐標原點，對于任意兩點P(m,y)、Q(x,y0),m

y-l(x>in)

為任意實數(shù)，若yn=^1則稱點Q是點P的變換點，例如：若點P(m,y)

0-^-y+l(x<m)

'xT(x〉m)

在直線y=x上，則點P的變換點Q在函數(shù)1,、的圖象上，設(shè)點P(m,y)

乙

在函數(shù)y=x?-2x的圖象上，點P的變換點Q所在的圖象記為G.

(1)直接寫出圖象G對應的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當m=3,且-2WxW3時，求圖象G的最高點與最低點的坐標.

(3)設(shè)點A、B的坐標分別為(小-1,-2)、(2m+2,-2),連結(jié)AB,若圖象G與線段

AB有交點，直接寫出m的取值范圍.

(4)若圖象G上的點Q的縱坐標yo的取值范圍是yo》k或yoWn,其中k>n,令$=1;-11,

求s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍.

15.如圖，把矩形OABC放入平面直角坐標系xOy中，使OA、0C分別落在x、y軸的正半軸

上，對角線AC所在直線解析式為y=-*+15,將矩形OABC沿著BE折疊，使點A落在邊

0C上的點D處.

(1)求點E的坐標；

(2)在y軸上是否存在點P,使APBE為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；

若不存在，請說明理由.

16.如圖，直線yngx+3與x、y軸交于點A、B,過點B作x軸的平行線交直線y=x+b于

點D,直線y=x+b交x、y軸于點E、K,且DK=

(1)如圖1,求直線DE的解析式；

(2)如圖2,點P為AB延長線上一點，把線段BP繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF,

若點F剛好落在直線DE上，求點P的坐標；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點M為ED延長線上一點，連接PM和AM,AM交線段BD

于點N,若PM+MN=AN,求線段PM的長.

yt

B/

圖1圖2圖3

17.在平面上，對于給定的線段AB和點C,若平面上的點P(可以與點C重合)滿足，N

APB=ZACB.則稱點P為點C關(guān)三直線AB的聯(lián)絡點.

在平面直角坐標系xOy中，巳知點A(2,0),B(0,2),C(-2,0).

(1)在R(2,2),P(1,0),R(1+V2?1)三個點中，是點0關(guān)于線段AB的聯(lián)絡點

的是.

(2)若點P既是點0關(guān)于線段AB的聯(lián)絡點,同時又是點B關(guān)于線段0A的聯(lián)絡點，求點P

的橫坐標m的取值范圍；

(3)直線y=x+b(b>0)與x軸，y軸分交于點M,N,若在線段BC上存在點N關(guān)于線段

0M的聯(lián)絡點，直接寫出b的取值范圍.

18.已知直線y=x+b與x軸交于點A,與y軸交于點B,

(1)如圖1,求NBA0的度數(shù)；

(2)如圖2,點D在第三象限，連接BD,將線段BD以B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

BE且點E在笫四象限，連接DE、0E,若DE=20E,求證：Sm=2S△碗；

(3)如圖3,點C為點A關(guān)于y軸的對稱點，點D在第二象限，連接BD,將線段BD以B

為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BE,點E在第四象限，連接0E且OE〃BC,過點A作AP_L

BE交BC于點P,點Q在AB上，BQ=BP,過點Q作QG_LAP交x軸于點G.若0F=￡,CG=

7,求SAAOE.

19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與y=kx+4分別交x軸于點A、B,兩直

A

線交于y軸上同一點C,點D的坐標為(-￡,0),點E是AC的中點，連接0E交CD于點

(1)求點F的坐標；

(2)若N0CB=NACD,求k的值；

(3)在(2)的條件下，過點F作x軸的垂線1,點M是直線BC上的動點，點N是x軸上

的動點，點P是直線1上的動點，使得以B,P,M、N為頂點的四邊形是菱形，求點P的坐

標.

20.在平面直角坐標系中，0為坐標原點，直線y=*+4分別交y軸和x軸于點A、B兩點,

備用圖1備用圖2

(1)如圖1,求直線AC的解析式；

(2)如圖2,點P在線段AB上，點Q在BC的延長線上，滿足：AP=CQ,連接PQ交AC于

點D,過點P作PEJ_AC于點E,設(shè)點P的橫坐標為t,的面積為S,求S與t的函數(shù)

關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，PQ交y軸于點M,過點A作AN_LAC交QP的延長線于點N,

過點Q作QF〃AC交PE的延長線于點F,若MN-DQ,求點F的坐標.

備戰(zhàn)2021中考數(shù)學考點專題訓練一專題三：一次函數(shù)參考答案

1.在學習一元一次不等式與一次函數(shù)中，小明在同一個坐標系中分別作出了一次函數(shù)y=

卜工+5和y=kx+b的圖象，分別與x軸交于點A、B,兩直線交于點C.已知點A(-l,0),

B(2,0),觀察圖象并回答下列問題：

(1)關(guān)于x的方程klX+b.=0的解是;關(guān)于x的不等式kx+b<0的解集是;

‘kx+b>0

(2)直接寫出關(guān)于x的不等式組，,的解集；

k[X+b[>0

(3)若點C(l,3),求關(guān)于x的不等式kix+，>kx+b的解集和aABC的面積.

【答案】解：(1)?；一次函數(shù)y=k1x+b】和y=kx+b的圖象，分別與x軸交于點A(-1,0)、

B(2,0),

，關(guān)于x的方程k1x+bi=0的解是x=-l,關(guān)于x的不等式kx+bVO的解集，為x>2,

故答案為x=-1,x>2;

kx+b〉O

(2)根據(jù)圖象可以得到關(guān)于x的不等式組'、的解集-1VXV2；

k[X+b]>0

(3)VAB=3,

119=_

?'?SAABC=—AB*yc=-X3X3z-?

乙乙乙

2.為讓更多的學生學會游泳，少年宮新建一個游泳池，其容積為480m3,該游泳池有甲、

乙兩個進水口，注水時每個進水口各自的注水速度保持不變.同時打開甲、乙兩個進水口

注水，游泳池的蓄水量y(m3)與注水時間t<h)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

(1)根據(jù)圖象求游泳池的蓄水量y(m3)與注水時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出同

時打開甲、乙兩個進水口的注水速度；

(2)現(xiàn)將游泳池的水全部排空，對池內(nèi)消毒后再重新注水.巳知單獨打開甲進水口注滿游

泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的告倍.求單獨打開甲進水口注滿

游泳池需多少小時？

【答案】解：(D設(shè)y與t的函數(shù)解析式為丫=履+1),

fb=100

12k+b=380，

k=140

解得,

b=100,

即y與t的函數(shù)關(guān)系式是y=140t+100,

同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度是：(380-100)4-2=140(m3/h)；

<2)???單獨打開甲進水口注滿游泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的

券

???甲進水口進水的速度是乙進水口進水速度的三，

???同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度是140m3加，

?,?甲進水口的進水速度為：1404-<-|d-l)X-1=60(m3/h),

4804-60=8(h),

即單獨打開甲進水口注滿游泳池需8h.

3.規(guī)定：若直線1與圖形M有公共點，則稱直線1是圖形M的關(guān)聯(lián)直線.巳知：矩形ABCD

的其中三個頂點的坐標為A(t,0),B(t+2,0),C(t+2,3)

(1)當t=l時，如圖以下三個一次函數(shù)yi=x+4,y2=-x+2,y3=x+2中，是矩形

ABCD的關(guān)聯(lián)直線；

(2)已知直線1；y-x+2,若直設(shè)1是矩形ABCD的關(guān)聯(lián)直線，求t的取值范圍；

(3)如果直線m：y=tx+2(t>0)是矩形ABCD的關(guān)聯(lián)直線，請直接寫出t的取值范圍.

21

1)

-1OA2Bx

-1-

【答案】解：(1)當t=l時，A(1,0),B(3,0),C(3,3),D(1,3),

則三個一次函數(shù)yi=x+4,y2=-x+2,y3=x+2中，y2=-x+2,y3=x+2是矩形ABCD的關(guān)聯(lián)

直線；

故答案為：y2=-x+2,y3=x+2；

(2)由矩形的性質(zhì)得D(t,3),

當y=3時，t+2=3,解得t=l;

當y=0時t+2+2=0,解得t=-4.

故t的取值范圍為-4WtWl；

(3)由矩形的性質(zhì)得D(t,3),

當y=3時，t2+2=3,解得t=±l(負值舍去).

故t的取值范圍為OVtWl.

4.如圖，直線y=-與x軸相交于點A,與直線y=J正用交于點B.

(1)求點A,點B的坐標；

(2)動點C從原點0出發(fā)，以每秒1個單位的速度在線段0A上向點A做勻速運動，連接

BC,設(shè)運動時間為t秒，4BCA的面積為S,求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若點P是坐標平面內(nèi)任意一點，以0,A,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直

解得x=4;

則A(4,0)；

y=_V3x+4>/3

聯(lián)立兩直線的解析式得

y=V3?

x=2

解得

則B(2,2V3)；

(2)VA(4,0),

A0A=4,

AS=^-(OA-t)X2V3=4(4-t)X273=473-7^(0WtV4)；

(3)如圖，當OA為平行四邊形的邊時，

V0A=4,

APi(6,2V3)，P2(-2,V3)：

當OA為對角線時，

P3(2,-2V3).

綜上所示，點P的坐標為：Pi(6,2“)，P2(-2,2V3)，P3(-2,2V3).

5.巳知：在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線AB與x軸的正半軸交于點A,與y

軸的負半軸交于點B,OA=OB,過點A作x軸的垂線與過點0的直線相交于點C,直線0C

的解析式為y=?x,過點C作CM_Ly軸，垂足為M,0M=9.

4

(1)如圖1,求直線AB的解析式；

(2)如圖2,點N在線段MC上，連接ON,點P在線段ON上，過點P作PD_Lx軸，垂足為

D,交0C于點E,若NC=OM,求器的值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點F為線段AB上一點，連接OF,過點F作OF的垂線交

線段AC于點Q,連接BQ,過點F作x軸的平行線交BQ于點G,連接PF交x軸于點H,連

接EH,若NDHE=NDPH,GQ-FG=J^F,求點P的坐標.

【答案】解：(1)???CM_Ly軸，0M=9,

???y=9時，9=?,解得x=12,

AC(12,9),

?.?AC_Lx軸，

AA(12,0),

V0A=0B,

AB(0,-12),

fb=-12

設(shè)直線的解析式為則有

ABy=kx+b,112k+b=0,

(k=l

解得

lb=-12

???直線AB的解析式為y=x-12.

VZCMO=ZMOA=Z0AC=90°,

???四邊形OACM是矩形，

/?AO=CM=12,

VNC=0M=9,

AMN=CM-NC=12-9=3,

AN(3,9),

???直線ON的解析式為y=3x,設(shè)點E的橫坐標為4a,D(4a,0),

/.0D=4a,

把x=4a,代入y=?中，得到y(tǒng)=3a,

AE(4a,3a),

DE=3a,

把x=4a代入，y=3x中，得到y(tǒng)=12a,

AP(4a,12a),

/.PD=12a,

???PE=PD-DE=12a-3a=9a,

.PE_2

**OD-T

(3)如圖3中，設(shè)直線FG交CA的延長線于R,交y軸于S,過點F作FTJLOA于T.

???GF〃x軸，

.*.Z0SR=ZM0A=90o,NCA0=NR=90°,ZB0A=ZBSG=90°,ZOAB=ZAFR,

/.ZOFR=ZR=ZAOS=ZBSG=90°,

???四邊形OSRA是矩形，

?\OS=AR,

AR=OA=12,

V0A=0B,

.*.Z0BA=Z0AB=45°,

???NFAR=90°-45°=45°,

AZFAR=ZAFR,

AFR=AR=OS,

VOF±FQ,

???N0SR=NR=N0FQ=90°,

???NOFS+NQFR=90°,

VZQFR+ZFQR=90°,

???NOFS=NFQR,

/.△OFS^AFQR(AAS),

ASF=QR,

VZSFB=ZAFR=45°,

.*.ZSBF=ZSFB=45O,

ASF=SB=QR,

VZSGB=ZQGR,ZBSG=ZR,

AABSG^AQRG(AAS),

/?SG=GR=6,

設(shè)FR=m,則AR=m,AF=J^n,QR=SF=12-m,

???GQ-FG=/^F,

，GQ=-m=m+6,

VGQ2=GR2+QR2,

:.(m+6)2=62+(12-m)2,

解得m=4,

/.FS=8,AR=4,

VZOAB=ZFAR,FTXOA,FR±AR,

/.FT=FR=AR=4,ZOTF=90ft,

???四邊形OSFT是矩形，

A0T=SF=8,

VZDHE=ZDPH,

；?tanZDHE=tanZDPH,

.DE=DH

??麗―而

由（2）可知DE=3a,PD=12a,

.3a_PH

??麗一石’

.\DH=6a,

.\tanZPHD=-^-=^^=2,

DH6a

VZPHD=ZFHT,

TF

.?.tanZFHT=-^r=2,

HT

AHT=2,

VOT=OD+DH+HT,

:.4a+6a+2=8,

._3

??a=—,

b

AOD=W，PD=12X-|=^

DDD

1236、

：.P可T）.

6.如圖：在平面直角坐標系xOy中，過點A(-2,0)的直線L和直線k:y=2x相交于

點B(2,m).

(1)求直線L的表達式；

<2)過動點P(n,0)(n<0)且垂直于x軸的直線與L、L的交點分別為C,D.橫、縱

坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

①當n=-l時，直接寫出內(nèi)部(不含邊上)的整點個數(shù)；

②若△BCD的內(nèi)部(不含邊上)恰有3個整點，直接寫出n的取值范圍.

VA

【答案】解：⑴將點B的坐標代入y=2x得，m=2X2=4,故點B(2,4),

設(shè)直線L的表達式為y=kx+b,將點A、B的坐標代入上式并解得：(4=2k+b,解得

lO=-2k+bIb=2

故直線L的表達式為：y=x+2；

從圖中可以看出，整點個數(shù)為1,即點(0,1);

②如上圖，當n=-2時，△BCD的內(nèi)部(不含邊上)恰有3個整點，

故-2WnV-1.

7.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線1分別交x軸、y軸于A.B兩點，

0A<0B,且0A、0B的長分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩根.

(1)求直線AB的解析式；

(2)點C從點A出發(fā)沿射線AB方向運動，運動的速度為每秒2個單位，設(shè)△0BC的面積為

S,點C運動的時間為t,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

(3)點P是y軸上的點，點Q是第一象限內(nèi)的點，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱

形請求出點Q的坐標.

【答案】解：(1)X2-14X+48=0,則x=6或8,故點A、B的坐標分別為(6,0)、(0,

8),則AB=10；

4

6k+b=0

設(shè)直線AB的表達式為：y=kx+b,則

b=8

故直線AB的表達式為：y=

o

CM=-^-|10-2t|,

5

iioio

S=AXB0XCM=-^X8X^-|10-2t|=^-|10-2t|,

2255

OA

-V-t+24(0<t<6)

D

故S=,

整t-24(t>6)

5

(3)點A、B的坐標分別為(6,0)、(0,8),

設(shè)點P、Q的坐標分別為(0,s)、(m,n),

①當AB是菱形的邊時，

點A向上平移8個單位向左平移6個單位得到點B,同樣點Q向上平移8個單位向左平移6

個單位得到點p,

即0-8=m,s+6=n且BP=BA=10,

解得：m=-8,n=24,

故點Q的坐標為(-8,24);

②當AB是菱形的對角線時，

由中點公式得：6+0=m+0,8+0=s+n且BP=BQ,即(s-8)2=m2+(n-8)2,

解得：m=6,

故點Q的坐標為(6,;

綜上，點Q的坐標為(-8,24)或(6,爭.

8.團結(jié)奮戰(zhàn)，眾志成城，齊齊哈爾市組織援助醫(yī)療隊，分別乘甲、乙兩車同時出發(fā)，沿同

一路線趕往綏芬河.齊齊哈爾距緩芬河的路程為800km,在行駛過程中乙車速度始終保持

80km/h,甲車先以一定速度行駛了500km,用時5h,然后再以乙車的速度行駛，直至到達

綏芬河(加油、休息時間忽略不計).甲、乙兩車離齊齊哈爾的路程y(km)與所用時間x

<h)的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：

(1)甲車改變速度前的速度是km/h,乙車行駛h到達綏芬河；

(2)求甲車改變速度后離齊齊哈爾的路程y(km)與所用時間x(h)之間的函數(shù)解析式，

不用寫出自變量x的取值范圍；

(3)甲車到達綏芬河時，乙車距綏芬河的路程還有km；出發(fā)h時，甲、乙

兩車第一次相距40km.

【答案】解:(D甲車改變速度前的速度為：500出5=100(km/h),乙車達綏芬河是時

間為：8004-80=10(h),

故答案為：100;10;

(2)???乙車速度為80km/h,

???甲車到達綏芬河的時間為：5華吁°°=斗(h)，

804

甲車改變速度后，到達綏芬河前，設(shè)所求函數(shù)解析式為：y=kx+b(kHO),

―5k+b=500

將(5,500)和(斗

??,800)代入得：35，

4lTk+b=800

k=80

解得

b=100,

/.y=80x+100,

答：甲車改變速度后離齊齊哈爾的路程y(km)與所用時間x(h)之間的函數(shù)解析式為y

=80x+100(5<x4-?

(3)甲車到達綏芬河時，乙車距緩芬河的路程為：800-80X^-=100(km),

4

404-(100-80)=2(h),

即出發(fā)2h時，甲、乙兩車第一次相距40km.

故答案為：100；2.

9.如圖，已知直線丫=丘+1)與直線y=-,x-9平行，且丫=丘+1)還過點(2,3),與y

軸交于A點.

(1)求A點坐標；

(2)若點P是該直線上的一個動點，過點P分別作PM垂直x軸于點M,PN垂直y軸于點N,

在四邊形PMON上分別截?。篜C=[MP,OE=-|ON,ND=-1W,試證：四邊形BCDE

是平行四邊形；

(3)在(2)的條件下，在直線y=kx+b上是否存在這樣的點P,使四邊形BCDE為正方形？

若存在，直接寫出所有符合的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

且過點A(2,3),

，一次函數(shù)解析式為y=-點+4,

當x=0時，y=4,

，A點坐標是（0,4）;

(2)證明：???PM_Lx軸，PN_Ly軸，

???NM=NN=N0=90°,

???四邊形PM0N是矩形，

APM=0N,0M=PN,ZM=Z0=ZN=ZP=90o.

VPC=-|MP,MB=-|OM,OE=-|ON,ND=-1NP,

APC=0E,CM=NE,ND=BM,PD=0B,

在aOBE和APDC中，OB=PD,Z0=ZCPD,OE=PC,

AAOBE^APDC(SAS),

/.DC=BE,

同理可證△MBCgZiNDE(SAS),

/.DE=BC.

???四邊形BCDE是平行四邊形；

（3）存在這樣的點P,理由:

設(shè)點P（m,--1in+4）,

當四邊形BCDE為正方形時，則NDCB=90。,DC=BC,

而NCBM+NMCB=90°,ZMCB+ZDCP=90°,

.,.ZCBM=ZDCP,

而NDPC=NCMB=90°,

/.△DPC^ACMB(AAS),

???CM=PD,

6666

故P點坐標是（條日）或（-8,8）.

10.小韜向某校食堂王經(jīng)理建議食堂就餐情況，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)就餐時，有520人排隊吃飯就

餐，就餐開始后仍有學生繼續(xù)前來排隊進食堂.設(shè)學生按固定的速度增加，食堂打飯窗口

打飯菜的速度也是固定的.若每分鐘該食堂新增排隊學生數(shù)12人，每個打飯窗口1每分鐘

打飯菜10人,已知食堂的前a分鐘只開放了兩個打飯窗口；某一天食堂排隊等候的學生數(shù)

y（人）與打飯菜時間x（分鐘）內(nèi)關(guān)系如圖所示.

（1）求a的值；

（2）求排隊到第16分鐘時，食堂排隊等候打飯菜的學生人數(shù)；

（3）若要在開始打飯菜后8分鐘內(nèi)讓所有排隊的學生都能進食堂后來到食堂窗口的學生隨

到隨吃，那么小陪應該建議食堂王經(jīng)理一開始就需要至少同時開放幾個打飯窗口？

【答案】解：(1)由圖象知，520+12a-2X10a=424,

Aa=12；

(2)設(shè)當12WxW20時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

12k+b=424

由題意，得，

20k+b=0'

fk=-53

解得:ib=1060‘

.*.y=-53x+1060,

當x=16時，y=212,

即排隊到第16分鐘時，食堂排隊等候打飯菜的學生有212人.

(3)設(shè)需同時開放n個打飯窗口，

由題意知10nX82520+12X8

解得：n>7.7,

???n為整數(shù)，

??n款小8?

答：至少需要同時開放8個打飯窗口.

11.如圖，在平面直角坐標系中，直線yi=kx+b與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B

(0,3)，點C是直線y2=->|x+5上的一個動點，連接BC,過點C作CD_LAB于點D.

(1)求直線y1=kx+b的函數(shù)表達式；

(2)當BC〃x軸時，求BD的長；

(3)點E在線段0A上，0E=*)A,當點D在笫一象限，且△取》中有一個角等于N0EB時，

請直接寫出點C的橫坐標.

【答案】解：(1)把A(4,0),B(0,3)代入y1=kx+b,

解得：片口,

b=3

?*.yi=--1x+3.

(2),.?BC〃x軸，

???點C的縱坐標為3,

當y=3時，3=-

解得x=《，

b

???C(1,3),

VCD1AB,

???直線CD的解析式為y=

3128

y=/x+3x=125

由,,解得

_279’

y

『25

-(醬鬻)，

；?BD可黑巴(3-黑"H

(3)如圖，當NBCD=NBE0時，過點A作AMJLBC交BC的延長線于M,點M作MN_Lx軸于

N.

VCD1AB,AM±AB,

/.CD/7AM,

JZAMB=ZBCD=ZBEO,

AR

???tanNAMB=f^=2,

AM

VAB=7OB2OA2=732+42=5，

AAM=2AB=2，

VZAOB=ZANM=ZBAM=90°,

.\ZBA0+ZAB0=90o,ZBA0+ZMAN=90°,

???ZMAN=ZABO,

AAABO^AMAN,

.AB_QB_QA

??而一而一而

3

AAN=AMN=2,

乙

.'.M2),

，直線BM的解析式為y=-3x+3,

???點C的橫坐標為搟

當NCBD=NBEO時，同法可得點C的橫坐標為登■.

47

12.在平面直角坐標系xOy中，A(t-1,1)與點B關(guān)于過點(t,0)且垂直于x軸的

直線對稱.

(1)以AB為底邊作等腰三角形ABC,

①當t=2時，點B的坐標為;

②當t=0.5且直線AC經(jīng)過原點。時，點C與x軸的距離為;

③若AABC上所有點到y(tǒng)軸的距離都不小于1,則t的取值范圍是.

(2)以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD,直線m過點(0,b)且與x軸平行，若直線m上

存在點P,aABD上存在點K,滿足PK=1,直接寫出b的取值范圍.

【答案】解：(1)①如圖1中，

圖1

由題意A(1,1),A,B關(guān)于直線x=2對稱,

AB(3,1).

故答案為(3,1).

②如圖2中,

由題意A(-0.5,1),直線1：x=0.5,

???直線AC的解析式為y=-2x,

AC(0.5,-1),

???點C到x軸的距離為1,

故答案為1.

③由題意A(t-1,0),B(t+1,0),

VAABC上所有點到y(tǒng)軸的距離都不小于1,

At-1^1或t+lW-1,

解得t，2或tW-2.

故答案為t22或tW-2.

(2)如圖3中,

圖3

VA(t-1,0),B(t+1,0),

/.AB=t+l-(t-1)=2,

VAABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，

???點D到AB的距離為1,

,???當點D在AB上方時，若直線m上存在點P,AABD上存在點K,滿足PK=1,則OWb

W3.

當點D在AB下方時，若直線m上存在點P,AABD上存在點K,滿足PK=1,則-l〈bW2.

13.笛卡爾是法國數(shù)學家、科學家和哲學家，他的哲學與數(shù)學思想對歷史的影響是深遠

的.1637年，笛卡爾發(fā)表了《幾何學》，創(chuàng)立了直角坐標系.其中管卡爾的思想核心是：

把幾何學的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)的方法進行計算、證明，從而達到最終解

決幾何問題的目的.

某學習小組利用平面直角坐標系在研究直線上點的坐標規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線丫=1?+6(k#0)

yi-y?Yi-yq

上的任意三點A(xi,yi),B(xz,yz),C(x3,y?)(xirxi#x3),滿足-------=-------

xl-x2xl~x3

yo-y3

=——-=k,經(jīng)學習小組查閱費料得知，以上發(fā)現(xiàn)是成立的，即直線y=kx+b(kWO)上

x2-x3

yi-y?

任意兩點的坐標M(X1,yi)N(xz,y2)(x】Wx2),都有‘一的值為k,其中k叫直線

xl-x2

Q-4

y=kx+b的斜率.如，P(1,3),Q(2,4)為直線y=x+2上兩點，則即

直線y=x+2的斜率為1.

(1)請你直接寫出過E(2,3)、F(4,-2)兩點的直線的斜率媼=.

(2)學習小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到如下正確結(jié)論：不與坐標軸平行的

任意兩條直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積是定值.

如圖1,直線GH_LGI于點G,G(1,3),H(-2,1),I(-1,6).請求出直線GH與

直線GI的斜率之積.

(3)如圖2,已知正方形OKRS的頂點S的坐標為(6,8),點K,R在笫二象限，OR為正

方形的對角線.過頂點R作RT_L0R于點R.求直線RT的解析式.

故答案為-,?

(2)VG(1,3),H(-2,1),I(-1,6),

?lb_2k-3-63

.,施一1-(-2)3'1-(-1)2

kd=-1.

過點S作SN_Lx軸于N,連接KS交OR于J.

/.0N=6,SN=8,

???四邊形OKRS是正方形，

/.OK=OS,ZKPS=ZKM0=ZSN0=90°,KJ=JS,JR=JO,

AZK0M+ZS0N=90°,ZS0N+Z0SN=90o,

JZK0M=Z0SN,

AAOMK^ASNO(AAS),

AKM=0N=6,0M=SN=8,

AK(-8,6),

VKJ=JS,

AJ(-1,7),

VJR=OJ,

AR(-2,14),

-7,

一2

VRT10R,

/.kin=7T=~~,

-77

設(shè)直線RT的解析式為y=

把(-2,14)代入可得14=-*b,

???直線RT的解析式為y=^￥

14.定義：在平面直角坐標系中，0為坐標原點，對于任意兩點P(m,y)>Q(x,y0),m

y-l(x>in)

為任意實數(shù)，若yn=11則稱點Q是點P的變換點，例如：若點P(m,y)

u—y+Hx<irU

乙

'xT(x〉m)

在直線x上，則點P的變換點Q在函數(shù)y=1/、的圖象上，設(shè)點P(m,y)

乙

在函數(shù)y=x?-2x的圖象上，點P的變換點Q所在的圖象記為G.

(1)直接寫出圖象G