2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考Ⅰ卷總答案

1.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?新高考I卷

）|專家評卷

穩(wěn)中有變初心不改，優(yōu)化創(chuàng)新立德樹人

由教育部命題考試中心統(tǒng)一命制的2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試卷,遵循《普通高中數(shù)

學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的基本要求,著重考查基礎(chǔ)知識、基本思想方法、基

本技能和基本活動經(jīng)驗，體現(xiàn)“低起點、多層次、高落差”的命題特點.全面對標(biāo)《中國高

考評價體系》，很好地落實了“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能,堅持高考的核

心價值,突出學(xué)科特色,重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，既發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能,又對深化中學(xué)數(shù)

學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.

與2020年相比,2021年新高考I卷數(shù)學(xué)試卷在繼承了2020年的命題風(fēng)格的基礎(chǔ)上做了

一叱創(chuàng)新,試題命制出現(xiàn)了新動向,考點題型出現(xiàn)了新變化,素養(yǎng)能力考查出現(xiàn)了新亮點.

■高考命題新動向

1.注重基礎(chǔ),緊扣教材.單項選擇題的第「6題較為簡單,側(cè)重考查了教材中的概念、性質(zhì)、

公式等,第8題對相互獨立事件定義的考查正擊中同學(xué)們愛習(xí)中的盲點,較好地體現(xiàn)了高考

試題“題在書外，根在書內(nèi)”，源于教材又高于教材的特點.

2.在數(shù)學(xué)文化類試題中，沒有出現(xiàn)篇幅長、文字晦澀難懂的情形,契合了命題中心早先提出的

優(yōu)化情境題的情境設(shè)計的命題要求.

3.以能力立意,考查同學(xué)們的綜合素質(zhì)，如第22題是以多元變量和不等關(guān)系的證明為教體，

側(cè)重考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊中的兩大熱點問題，同構(gòu)問題與極值點偏移問題,考查化歸與轉(zhuǎn)

化能力、邏輯思維能力、運算求解能力.

■考點題型新變化

1.分值調(diào)整部分:多項選擇題由原來的“部分選對的得3分”調(diào)整為“部分選對的得2分”.

2.知識塊分值占比發(fā)生變化:數(shù)列知識模塊的占比有所減少，不等式部分的考查力度明顯降

低,沒有出現(xiàn)單獨的不等式試題,凸現(xiàn)了作為教材中的預(yù)備知識的不等式的工具作用,排列組

合的簡單運用進一步弱化，也符合新課標(biāo)調(diào)整的新要求.

3.題型的變化:填空題中增加了雙空題,一個主題下分解出2個答題點,一方面增加了考查內(nèi)

容,擴大了知識覆蓋面；另一方面,對于難度較大的試題,分空得分,在送出一部分分?jǐn)?shù)的基

礎(chǔ)上,增加了試題的考查深度,豐富了命題形式,提高了試卷的區(qū)分度.

4.考點考查方式的調(diào)整:解析幾何在高考中大多考查橢圓和拋物線,而2021年主要考查了雙

曲線和定值類問題，題目難度不算大,但對運算能力有較高要求;在多項選擇題中圓的方程的

身影出現(xiàn)在2021年的第11題中，從2020年“隱身”之后實現(xiàn)“回歸”；將對隨機變量的分

布列、數(shù)學(xué)期望的考查調(diào)整到了解答題第18題的位置,難度較2020年有所下降,解三角形后

移至19題的位置，難度上升,考點考查方式的調(diào)整，體現(xiàn)了試題命制“穩(wěn)中有變”的特點.

■素養(yǎng)試題新亮點

1.整卷將數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)一到理性思維的主線上,考查推理論證能力以及發(fā)現(xiàn)問

題、解決問題的能力.

第7題以曲線的切線為背景考查邏輯思維能力、運算求解能力,事實上本題可以數(shù)形結(jié)合得

到正確答案,從而避開復(fù)雜的代數(shù)運算,實現(xiàn)了對學(xué)生思維靈活性的考查.

第16題以民間剪紙藝術(shù)為載體,對數(shù)列知識進行了考查,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化學(xué)科素養(yǎng),貫徹了

立德樹人的要求.

第22題以對數(shù)函數(shù)為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明，第(2)問中的不等式

證明，需要考生具有一定的分析探究能力和推理能力,對思維進行了深層次的考查,真正體現(xiàn)

了“高落差”的命題特點，區(qū)分度較好.

2.與2020年新高考I卷數(shù)學(xué)試題相比,課程學(xué)習(xí)情境試題比例明顯加大,探索創(chuàng)新情境試題

和生活實踐情境試題比例相對減小,如第16題和第18題既是生活實踐情境試題又是探索創(chuàng)

新情境試題;而第12題以正三棱柱為載體的多項選擇題從探索創(chuàng)新方面做了有益的嘗試,題

干條件以向量的形式呈現(xiàn),四個選項從四個不同角度、不同的設(shè)問方式明線考查了立體幾何

中的主干知識，暗線考查了空間軌跡問題,設(shè)計精妙.

3.第16題是最具特色的創(chuàng)新型試題,試題全面考查了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中的埋性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、

數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)探索，考查了邏輯思維能力、運算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力,首先，

本題以中國傳統(tǒng)文化民間剪紙藝術(shù)為背景，其次，本題考查了數(shù)列型問題的“歸納、猜想、證

明”策略的靈活運用，考查學(xué)生“大膽猜想、小心求證”的思維品質(zhì)，同時對耐心讀題、細(xì)心

審題有較高要求.

■2022屆備考建議

1.在立足教材的基礎(chǔ)上滲透數(shù)學(xué)思想方法的考查

在復(fù)習(xí)備考時要回歸教材,充分認(rèn)識知識的生成、發(fā)展和應(yīng)用的過程,充分領(lǐng)悟教材所滲透的

數(shù)學(xué)思想和方法，重視通性通法以及知識間的融會貫通，切實把握好“思、”與“算”的辯證

關(guān)系,提升運算求解能力.

2.吃透新課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上盤活教材

在平時的復(fù)習(xí)中，立足教材，同時也要活用教材，不拘泥于教材,注重知識點之間的關(guān)聯(lián),搭建

完整的知識體系.

3.把握趨勢,拒絕套路,適當(dāng)拓展提升能力

在復(fù)習(xí)時，不要“機械刷題”，而要在吃透《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，深刻領(lǐng)會《中國高考評價體系》

總體要求的基礎(chǔ)上,提高分析問題和解決問題的能力.

國師解題福建省高級教師湯小梅河北省高級教師李金泉

A本卷答案僅供參考

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5

BCBACCDBCDACACDBD11

240（3-等）

l.B【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查集合的交運算.關(guān)鍵能力:運算求解能力.學(xué)科

素養(yǎng):理性思維.

【解析】因為A={x\-2<x<4),慶⑵3,4,5},所以加屆{2,3},故選B.

2.C【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查復(fù)數(shù)的運算、共扼復(fù)數(shù)的概念.關(guān)鍵能力:運算

求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維.

【解析】因為z=2~i,所以z(z+i)=(2-i)(2必i)W*2i,故選C.

【方法總結(jié)】求解此類題需過好“雙關(guān)”：一是“運算關(guān)”，即熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算；

二是“概念關(guān)”，本題明晰共挽復(fù)數(shù)的概念，即可順利求解.

3.B【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖.關(guān)鍵能力:通過對圓錐母線

長的探求，考查邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)

用.

【解析】設(shè)圓錐的母線長為J,因為該圓錐的底面半徑為企,所以2nX^2=n],(解題關(guān)鍵:

利用圓錐的底面周長等于其側(cè)面展開圖的弧長建立等量關(guān)系)

解得7-2V2,故選B.

【解后反思】破解本題需明晰一個概念,即圓錐的概念;找到一個相等，即圓錐的底面周長

與其側(cè)面展開圖的弧長相等.

4.A【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).關(guān)鍵能力:邏輯思維能

力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維.

【解析】解法一（常規(guī)求法）令一⑵U得

奉2E《后42行,kQZ.取上0,則后拳因為（0,學(xué)氧斗學(xué),所以區(qū)間（0《）是函

數(shù)人力的單調(diào)遞增區(qū)間.故選A.

解法二（判斷單調(diào)性法）當(dāng)0dg時，彳㈠彳多所以f（x）在（0,學(xué)上單調(diào)遞增,故A正確；當(dāng)

的（/時,KT%所以?。┰诙?）上不單調(diào)，故B不正確;當(dāng)冗Q號時，段號，所

以/W在（丸，1）上單調(diào)遞減，故C不正確；當(dāng)?4<2n時,號:所以,（*）在（斗，2八）

22366N

上不單調(diào)，故D不正確.故選A.

解法三（特殊值法）因為與考§3,但/?（守守sin/,f§）7si喏<7,所以區(qū)間成“）

不是函數(shù)〃*）的單調(diào)遞增區(qū)間，排除B;因為n中號召但f（r）=7sinn不〃爭=7sin

詈3<0,所以區(qū)間（丸，妥不是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，排除C;因為萼翠號<2丸，但

f（詈）=7sin瑞=-7sin涉-7,Ay）=7siny=-7,所以區(qū)間號,2n）不是函數(shù)f（x）的單調(diào)

遞增區(qū)間，排除D.故選A.

5.C【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查橢圓的定義及最值問題.關(guān)鍵能力:邏輯思維能

力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維.

【解析】由橢圓號?，得|J0|+|柩|二2*34,則I物?“網(wǎng)W（M0:MF2）92項

94N

當(dāng)且僅當(dāng)I姐I=I姐1=3時等號成立.故選C.

6.C【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識.

關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維.

【解析】通解（求值代入法）因為tan夕=-2,所以角。的終邊在第二、四象限，（提示：

根據(jù)正切值的正負(fù)，確定角0可能所在的象限）

所以1sm‘一痣或卜皿一產(chǎn)所以當(dāng)誓粵明等學(xué)二汨e8杷os

（cos。=-京（COS0=京sin6+cosesm8+cos6

O）=sin20-^sinGeos?故選C.

優(yōu)解一(弦化切法)因為tan。=-2,所以筆坦啥紅哼警件rin〃(sin^os

sinS+cos。sin0+cos0

0、_giMe+sin8cos夕jaMe+tang_42J痂*「

)sin2"cos26l+tan20i+ZT改儂L，

優(yōu)解二(正弦化余弦法)因為tan〃=-2,所以sin0=-2cos〃.則

sin0(l+sin20)sin0(sin0+cos0)2.,°、siM6+sin6cos64cos20-2cos204-22心、公

-r-:...------------=sin8a(sin夕a何os------------77----—=.故口

sinO+cos。sm0+cos0sin20+cos2?4oos20+cos201+45

C.

【得分秘籍】破解此類問題的關(guān)鍵:一是化簡,利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

等,化簡已知三角式;二是求值,利用弦化切或切化弦,求出三角函數(shù)值.

7.D【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點斜式方程、利用導(dǎo)

數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探

索.

【解題思路】設(shè)切點(照,㈤，必也利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用切點在切線

上且在已知函數(shù)的圖象上,可得關(guān)于施的方程,且該方程有兩個不同的解,最后通過構(gòu)造函數(shù),

轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性,從而作出新函數(shù)

的大致圖象，即可得出正確的結(jié)論.

【解析】通解(數(shù)形結(jié)合法)設(shè)切點(風(fēng)㈤，足0,則切線方程為尸加^。(彳-血，由

\y0~b1眇°(%。一心得鏟。(1-照七)=b,則由題意知關(guān)于此的方程鏟。(1楨七)多有兩個不同的

(y0-鏟。

解.設(shè)f{x}m'(1-x+ci),則F'(才)*(1-x+a)="e'(xa),由f'(A)X)得x=a,所以當(dāng)x<a時，F(xiàn)

'(X)3,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>a時,f'(x)。f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)na=f(a)*'(1-a+a)**,

當(dāng)xQ時,a-D,所以f(x)A),當(dāng)l-8時,f(x)f0,當(dāng)l+8時,〃彳)--8,(提示:判斷函

數(shù)極值點左右兩側(cè)的圖象特征很重要,需掌握用極限思想判斷函數(shù)圖象的趨勢,從而能準(zhǔn)確

作出草圖，以達(dá)到草圖不草的目的)

函數(shù)f(x)和％1-*七)的大致圖象如圖所示，

因為Ax)的圖象與直線y=b有兩個交點,所以0%④故選D.

光速解（用圖估算法）過點（&8）可以作曲線的兩條切線，則點（8。）在曲線ym*的下方

且在A?軸的上方,得04G".故選D.

【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，曲線Hx）在點

（旅,F（加）處的切線的方程為y-f（旅）=（入-照）f’（加），其中f'（胸）表示曲線F（x）在點

（照,F（施））處的切線的斜率.有關(guān)曲線的切線方程,若沒有見到切點,應(yīng)當(dāng)先設(shè)出切點,再根據(jù)

切點的“一拖三”（切點與切線斜率相關(guān)、切點在切線上、切點在曲線上）來求切線方程.

8.B【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查相互獨立事件、互斥事件的判斷.關(guān)鍵能力：

邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【教你審題】需注意題眼“有放回地隨機取兩次”“每次取1個球”，還需注意題眼“第

一次……”"第二次……”，強調(diào)的是順序.盯選項,需判斷兩個事件是否相互獨立,利用相

互獨立事件的概念進行解題,若事件A,3滿足P（腸=〃力）尸09,則事件46相互獨立.

【解析】事件甲發(fā)生的概率網(wǎng)甲）事件乙發(fā)生的概率尸（乙）3事件丙發(fā)生的概率

66

尸（丙）4亮，事件丁發(fā)生的概率P（?。┦录着c事件丙同時發(fā)生的概率為0,〃甲

6X63ooXoo

丙）WP（甲）一（丙），故A錯誤;事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為2（甲?。┒祝〢T）,

QXQ36

故B正確;事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為名殘，尸（乙丙）W尸（乙）尸（丙），故C錯誤;事件

丙與事件丁是互斥事件,不是相互獨立事件，故D錯誤.選B.

9.CD【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義.關(guān)鍵

能力:邏輯思維能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的檢…,力，的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為％，見。，玄依題

意得，新樣本數(shù)據(jù)九人…,外的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為加3。，￡,因為

eWO,所以C,D正確，故選CD.

10.AC【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積.關(guān)鍵能

力:邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

［解析］由題可知，I函I=Vcos2a+sin2a=l,0^I=7cos2p4-（-sinp）2=l,所以

碉|二|6g|,故A正確；

取a三,則巴（李爭，取B哼則P2（W則碉工|同，故B錯誤；

IS^jOA?O^=cos（a+^）,0^*?0^=cosacosP-sinasinB=cos（a+B）,所以

OA?限碉?甌故C正確;

因為鼐?5^=cosa,OP??OP；=cosBcos(a+B)-sin3sin(a+f.)=cos(a+2P),取

aP《，(提示：用取特殊值法進行排除)

44

貝lj瓦彳?西亭,函?OP^=cos^-=~所以m?西X西?西,故D錯誤.故選AC.

11.ACD【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，最值問題，點到直線

的距離公式等.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解析】設(shè)圓(XT)?*尸5)2=16的圓心為做5,5),由題易知直線18的方程為彳號二1,即

42

戶21或則圓心"到直線4?的距離d」5+2.4表乂,所以直線力夕與圓必相離,所以點尸到

v5VS

直線48的距離的最大值為43垸,4喘＜5+醫(yī)=1°，故A正確.

易知點尸到直線48的距離的最小值為八關(guān)，蔡皿清十1,故B不正確.

過點8作圓"的兩條切線,切點分別為N,。如圖所示,連接MB,MN,MQ,則當(dāng)/陶最小時，點P

與“重合，I閩二2T52+(5-2產(chǎn)-42今年,當(dāng)/曬最大時，點夕與0重

合，IPB\=3V2,故C,D都正確.綜上,選ACD.

【解題關(guān)鍵】破解此類題的關(guān)鍵:一是會轉(zhuǎn)化,即把動點到定直線的距離的范圍問題進行轉(zhuǎn)

化,利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，從而判斷出直線與圓的位置關(guān)系，即可

得出動點到定直線的距離的范圍;二是會利用圓的切線，輕松判斷何時角取得最值.

12.BD【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查空間幾何體的特征、空間線面位置關(guān)系的判

定、定值問題.關(guān)犍能力:邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、

數(shù)學(xué)探索.

【思維導(dǎo)圖】

4=1一點P的軌跡一△月臺夕周長的表達(dá)式一判斷選項A

〃=1-*點0的軌跡----二判斷選項B

4〃=0或〃刁-*點2的位置一判斷選項C

〃欲使線面垂直,需線線垂直一點戶的位置一判斷選項I)

【解析】而=人前+〃西(OWXW1,OW〃WD.

對于選項A,當(dāng)4=1時，點尸在棱CG上運動,如圖1所示,此時△陽U的周長為

AB\+AP+P&=42+，1+/+J1+(I-”^^2句1+『［2-2〃+*,不是定值,A錯誤；

，陽

紋

圖1

對于選項B,當(dāng)〃=1時，點。在棱上5運動，如圖2所示，

圖2

則%-A18C/1P8。3見收*色《S&械、XI卷，為定值，故B正確；

對于選項C,取a'的中點D,僅C\的中點隊,連接屹,4氏則當(dāng)AW時，點尸在線段D仄上運動，

假設(shè)4aL死則4尸物弘式即(爭2*1—〃/嗎)2〃?解得〃力或〃刁,所以點尸與點

〃或〃重合時,4尸_L"故C錯誤；

解法一由多選題特征,排除A,C,故選BD.

解法二對于選項D,易知四邊形4比4為正方形,所以AiBUR,設(shè)AA與48交于點K,連接

PK,要使48J_平面AB￡需4員L能所以點尸只能是棱S的中點，故選項D正確.綜上,選BD.

解法三對于選項D,分別取陽,笫的中點￡?連接/則當(dāng)〃胃時，點尸在線段站上運動，

以點G為原點建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyzt則

M0,1,1),^(0,1,0),4喙0),產(chǎn)(0,17,§,所以砧=(號,1),瓦?=(0,7,〉若

4由L平面ABR則AW工BF,所以解得A=1,所以只存在一個點月使得4反L平面ARP,

此時點尸與尸重合,故D正確.綜上,選BD.

13.1【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式.關(guān)鍵能力:邏

輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):通過利用定義法、特殊值法、轉(zhuǎn)化法解題，考查理性

思維學(xué)科素養(yǎng).

【解析】通解（定義法）因為〃力寸心-2'-2一）的定義域為R,且是偶函數(shù)，（提示:有關(guān)函

數(shù)的奇偶件問題,注意優(yōu)先求解定義域）

所以/?（-x）￥（x）對任意的x￡R恒成立，（方法技巧:利用偶函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為恒成立問題）

所以（-x”（a?2"29?2-2）對任意的x￡R恒成立,所以f（a-1）（2-2）4）對任意的

x￡R恒成立,所以a=L

優(yōu)解一（取特殊值檢驗法）因為Ax）=V（a-2匚2'）的定義域為R,且是偶函數(shù),所以

A-1）寸⑴，所以-弓-2）之吟解得經(jīng)檢驗，/U）寸（2，-2,為偶函數(shù),所以a=l.（易錯

警示:用特殊值法求得的參數(shù)值,需檢驗所求得的參數(shù)值是否符合題意,不符合的需舍去）

優(yōu)解二（轉(zhuǎn)化法）由題意知FJ）寸（a-2、-2。的定義域為R,且是偶函數(shù).設(shè)

g（x）-Zh（x）=a?2r-2r,因為4為奇函數(shù)，所以力⑺:a?2'-2'為奇函數(shù)，所以

力（0）?2°-2"4解得a=L經(jīng)檢驗，f（x）寸（2=2、）為偶函數(shù)，所以心.

14.x=^【考查目標(biāo)】必備知取:本題主要考查拋物線的方程、拋物線的幾何性質(zhì).關(guān)鍵

能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解析】通解（解直角三角形法）由題易得|0F|h|PF|=p,NOPF=NPQF,所以

tanZOPF=tanZPQF,所以黑=鑒,即其,解得P=3,所以C的準(zhǔn)線方程為x=-1.

VkIWQIP62

光速解（應(yīng)用射影定理法）由題易得|0F|與|PF|二p,|PF|2二|0F|?|FQ|,即p2=1X6,解得

p=3或p=0（舍去），所以C的準(zhǔn)線方程為x=-1.

15.1【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵能力:通過判

斷函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值,考查邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng)：理性思維、

數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【解題思路】先求函數(shù)Ax)的定義域,再對x進行分類討論,去掉絕對值符號,最后利用導(dǎo)

數(shù)法、基本初等函數(shù)的單調(diào)性,判斷函數(shù)F(x)的單調(diào)性，可得最值.

【解析】函數(shù)F(x)=|2xT|-21nx的定義域為(0,正⑹.

①當(dāng)x*時，(提示:對才進行分類討論)

f(x)=2x-l-21nx,所以F'(x)=2工,當(dāng)工<￥<1時"'(*)<0,當(dāng)x>\時，F(xiàn)'(x)X),所以

x？'x22

f(x)nln=F(l)=2-l-21n1=1;

②當(dāng)044時"(x)=12r-21nx在(0,0單調(diào)遞減，(提示:直接用基本初等函數(shù)的單調(diào)性進

行判斷)

所以F(x)nin=/>(3=-2】n：=21n2=ln4>lne=l.

綜上，F(xiàn)(X)nin=L

16.5240(3裝)【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查數(shù)列的實際應(yīng)用.關(guān)鍵能力:通

過構(gòu)建數(shù)列模型，歸納出數(shù)列的通項公式,并利用錯位相減法求出數(shù)列的前〃項和,考查邏輯

思維能力、運算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力.學(xué)科素養(yǎng):借助錯位相減法，考查理性

思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng).

【思維導(dǎo)圖】

列出對折3次、4次相應(yīng)的各種規(guī)格的圖形S的值歸納推理右偌位相減法A￡SK

k-l

【解析】錯位相減法依題意得，S=120X2N40;S-60X3=180;

當(dāng)n=Qt時,共可以得到5dmX6dm,-dmX12dm,10dmX3dm,20dmX-dm四種規(guī)格的圖形,

22

且5X6￥0,1X12-3O,10X340,20x1-30,所以￡考0X4=120;

當(dāng)〃為時，共可以得到5dmX3dm,|dmX6dm,：dmM2dm,10dmx|dm,20dmX^dm五

種規(guī)格的圖形,所以對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5,且

5X3-15,^X6<5,-X12<5,10^15,20短二15,所以S=15X5胃5;

2424

所以可歸納金嚶XGHD*竺熱.

所以善產(chǎn)力的（1玲玲i*2：I嚶）①,

所以衿舌產(chǎn)240像玲+i囁崇）②，

由①■②》,如魯產(chǎn)力40（1￡￡**?$端）90（1啟警費）之40G端），（提示：

用等比數(shù)列的前〃項和公式S蘭詈巴可避免計算數(shù)列項數(shù)時出錯）

l-q

所以E￡=240（3喟）dm2.

k=l2n

17.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的

前〃項和.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解題思路】⑴根據(jù)血=1,+l'n為奇學(xué)及"=如可得到瓦坊及人與6”的遞推

（冊+2,〃為偶數(shù)

關(guān)系,利用等差數(shù)列的知識確定數(shù)列也｝的通項公式；（2）根據(jù)a^4an+1，婚心?'確定數(shù)

bn+2,n為偶數(shù)

列｛a｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,再求其前20項和.

解:（1）因為be且國=1,即*1'n，建

1即+2,n為偶數(shù)，

所以匕=&=&+12

bi=a=a1+1=庚+2+1=5.

因為札=甌,所以b*加源=如2\=&”\+1=%也+1=出滔,

所以狐一4二的+3-&*3,

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列,4r2+3（〃T）=3〃T,〃￡N’.

（2）因為電平+1'咤梵

+2,一為偶數(shù)，

所以keN”時，Q2k=Qlk-\*1=Qlk-\/1,即Q2k=32k-l+1①，

②，

32kQ=32kZl=32k，l+1,即③,

所以①+②得斑k八二&kI+3,即32k八一及卜1^3,

所以數(shù)列｛&｝的奇數(shù)項是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列；

②+③得cfoA-2—cfeA-^3,即續(xù)戶2一續(xù)"考，

又出%所以數(shù)列｛a｝的偶數(shù)項是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列.

所以數(shù)列｛a｝的前20項和

￡o=(a］玲/―,/aig)+(金+&依夫=104詈X3+20金等X3W00.

【解后反思】本題是根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系,通過迭代法求解.例如：已知a尸,1a*ac+n,求

數(shù)列｛4｝的通項公式，此題我們都很熟悉，利用“累加法”很容易求得，但是此種解題方法程

式化，忽略了遞推關(guān)系的本質(zhì)和內(nèi)涵,此題也可以用迭代法遞

推,an=an-\Hn-l)二③2*(〃-2)+(〃T)=??二國*1,2+3石??+(〃T)

18.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望.關(guān)鍵能力:

邏輯思維能力、運算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【解題思路】(D首先確定才的所有可能取值,然后分別求出每個可能取值對應(yīng)的概率,最

后與出乃的分布列；(2)根據(jù)(1)的分布列求出先回答A類問題的累計得分方的數(shù)學(xué)期望，再求

出先回答B(yǎng)類問題的累計得分V的分布列和數(shù)學(xué)期望，比較兩個數(shù)學(xué)期望即可得出結(jié)論.

解：(1)由題意得,才的所有可能取值為0,20,100,

P(六0)=1-0.84).2,

P(J=20)=0.8X(l-0.6)=0.32,

0(1=100)=0.8X0.6=0.48,

所以/的分布列為

1020100

0.30.4

尸0.2

28

⑵當(dāng)小明先回答A類問題時，由(1)可得￡(?=0X0.2+20X0.32H00X0.48-54.4.

當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時,記V為小明的累計得分，

則？的所有可能取值為0,80,100.

P(r=0)=l-0.6=0.4,

P(J”0)R.6X(l-0.8)R.12,

AMOO)0.6X0.80.48,

所以y的分布列為

Y080100

0.10.4

P0.4

28

￡⑺=0X0.4對0X0.12*100X0.48=57.6.

因為57.6%4.4,即￡（丹）￡（心，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

19.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查利用正、余弦定理解三角形.關(guān)鍵能力:邏輯思維

能力、運算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解題思路】（1）對已知條件BDsin/ABC=asinC利用正弦定理得BD?b=ac,再結(jié)合S=ac,

即可得證；⑵過點〃作DE〃BC交AB于￡分別在48龍和△力式中利用余弦定理求得

cosNBED和cosN力陽利用cosZBED=~CQSZABCb'ac確定出&與c的關(guān)系，進而求出

cosNABC.

解：（1）因為BDsinZABC=a^inC,所以由正弦定理得,BD*b=ac,又S=ac,所以BD*b=R,

又處所以BD=b.

⑵如圖所示,過點〃作DE〃BC交仍于Et

因為仍2%所以裝嘿2箓與人

所以吟,必爭.

會受廿j；2+4a2-9b2/2+4@2-9好

在△〃比'中，3SNDED*+DE2_BB

2BE?DE2xgx笥4ac4ac

在△力宛中，COSN腕，2+叱"爐+。2廿―C2+Q2-ac

2AB?BC2ac2ac

c2+4a2-9ace2+a2-ac

因為/戚5-ZABC,所以cos/應(yīng)％P0SN/I8G所以，，化簡得

4ac2ac

3/用，Tiac=o,方程兩邊同時除以才,得3（￡）2-11（34=0,解得￡乏或￡應(yīng)

aaa3a

當(dāng)落,即c寺時,cosN胸容上史立就W；

a332ac-a212

2+a2-ac9a2+a2-3a:

當(dāng)￡=3,即c=3a時，cosNABCf少1（舍）.

a2acO

綜上,cos/AB嗎.

20.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理、二面角的定義、線線垂直

的證明及三棱錐體積的求解.關(guān)鍵能力：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力.學(xué)科

素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解題思路】(D由AB=AD,。為切中點得OA1BD,然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,可得OAX.

平面凡0進而得"LLQZ⑵先根據(jù)△QW是邊長為1的正三角形及。為物的中點得

OC=OD=OB=\,推出△靦是直角三角形，即三棱錐力-靦的底面積可求,然后作出二面角

￡-6小〃的平面角，根據(jù)平面角為45。，可以求出勿的長度，即三棱錐上閱9的高可求,最后根

據(jù)錐體的體積公式求出體積;或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.

解：⑴因為力廬力〃0為即的中點，所以O(shè)ALBD,

又平面力即_L平面BCD,且平面/I劭A平面BCD=BD,力化平面ABD,所以10_L平面BCD,

又如平面BCD,所以AOYCD.

(2)解法一因為△比。是邊長為1的正三角形，且。為劭的中點，所以心臨勿=1,

所以△靦是直角三角形,且/a加90°,BC忐,所以S.灌.

如圖,過點￡作EF//AO,交3于F,過點尸作FG1BC,垂足為G,連接EG.

因為力0_1_平面BCD,

所以既1平面鴕9,

又始z平面BCD,所以EFIBC,

又FG1BC,且EFCFG;F,EF,欣平面EFG,

所以比上平面分論

則N反加為二面角E-8C-D的平面角,

所以/￡6戶45°,則GF=EF.

因為DE=2EA,所以EF《OA,DF=20F、所以整N

因為FG1.BC,CD1BC,所以GF//CD,

則去與所以仍專

所以上尸二跖與所以O(shè)A=\y

所以及?4^~2"I^6

解法二如圖所示，以0為坐標(biāo)原點，如,如所在直線分別為乂Z軸,在平面BCD內(nèi),以過點0

且與初垂直的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因為△口力是邊長為1的正三角形,且。為物的中點,

所以O(shè)C=OB=OD=\,

所以8(1,0,0),〃(-1,0,0),Cg,￡0).

ZZ

設(shè)4(0,0,a),-0,因為DECEA,所以￡(號0,爭.

由題意可知平面的一個法向量為〃=(0,0,1).

設(shè)平面腔的法向量為止(x,必z),

因為前=(g當(dāng)0),尻=(go,y),

所以仆?史=0,即「尹士。，

lm?BE=0,，無+2z=0,

\33

令x=\,則尸百,z上,所以m=(1,遮與.

aa

因為二面角6比-0的大小為45"

所以cos45。=產(chǎn)％/丁=等：

mllnl2

得a-1,即0A=\.

因為8尾劭?您in60。3*2X1X李當(dāng)

所以VA-BCD^-S^BCD?0A-X-^-X\=^-.

3326

21.【考查目標(biāo)】必備知識：本題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、弦長公式及

直線與雙曲線的位置關(guān)系.關(guān)鍵能力：本題通過將題目中的幾何條件代數(shù)化考查運算求解能

力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

解：⑴因為IMFil-1MF2|=2<|FE|=2757,

所以點M的軌跡C是以艮,F2分別為左、右焦點的雙曲線的右支.

設(shè)雙曲線的方程為R=1(a>0,b>0),半焦距為c,則2a=2,c=g,得a=l,b2=c2-a2=16,

所以點M的軌跡C的方程為x2《=l(x21).(易錯警示:注意點M的軌您是雙曲線的一支,其

16

軌跡方程要標(biāo)上X的范圍)

(2)設(shè)t),由題意可知直線AllPQ的斜率均存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為

y-t=ki(x-1)(ki^O),直線PQ的方程為y-t=k2(x-1)(ka^O),

y-t=ki(x-7),..

22

2yz(16-k?)x-2k(t-y)x-(t-y)-16=0.

(x-L

設(shè)A(XA,y,0,B(XR,yB),

易知16-峪WO,

m.i?(吟產(chǎn)】62kl(吟

則X'X*YTI,XA+X產(chǎn)Fp

所以ITA=y/l+kfXA-^I=y/l+kj(XA-1),

TBl=V1+kJ|xn-|I力1+k：(XB-；)>

則

2：

|TA|?|TB|=(I+k?)(xA-1)(x.4)=(l+k?)[xAXB4(XA+xB)4]=(l+k2)[嗡、?笫):

NNN415-K[N1o*KI4

(l+k?)(t2+12)

-kfl6-,

同理得|TP?仙|=。+卜即2+12)

k$-16

因為|TA-|TB|=|TP?|TQI,所以生磊33鬻出,所以

ki-16+k?kl-16k?=k?-16+k5ki-16kl，即k>嶺,

又ki#kz,所以k]=-k2,即ki+k2=0.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

【方法總結(jié)】若A(xi,w),B(X2,丫2)是直線y=kx+b(kWU)上的兩點，則

AB|=71+1?Ix.-x2|=J1+專|yi-y2|,稱此公式為直線上兩點間的距離公式,若A,B是直線與

圓錐曲線的交點,則此公式即我們通常所說的弦長公式.注意此公式不僅求弦長時可以使用，

只要是求直線上兩點間的距離都可以用.

22.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及構(gòu)造函數(shù)證明不等

式等.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力和創(chuàng)新能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【思維導(dǎo)圖】

(DF(x)-*F'(x)=Tnx-f(x)的單調(diào)性

令上'="7'4=不

(2)blna-aln6=a-/r~?。?】<：-f(}二f(/不妨設(shè)工】〈工，0<￥1<1<>2<€—>■原問題轉(zhuǎn)化

為證2傘+x《e光證4+叫>2?轉(zhuǎn)化為證〃為)"(2』)一構(gòu)造函數(shù)F{x)=F(x)-f(2r)一對F{x}

求導(dǎo),確定其在S,1)上的單調(diào)性一當(dāng)0々<1時,Ax)-A2-x)<0再設(shè)』十孫'；令

fM=f(X2)tlmCl轉(zhuǎn)化為證F(照)，%全-構(gòu)造函數(shù)方(x)=f(x)以一對函數(shù)力(*)求導(dǎo),確

定其在(1,e)上的單調(diào)性f當(dāng)1ag時，力(x)<e―*得證

解：(1)因為f(x)Fy(l-lnx),所以f[x}的定義域為(0,+8),y，(X)=1-inx+x?(―)=Tnx.

當(dāng)才￡(0,1)時,F'(x)X;當(dāng)才￡(1,+3)時，f'COcO.

所以函數(shù)F(x)在(0,D上單調(diào)遞增，在(1,f8)上單調(diào)遞減.

(2)由題意,a"是兩個不相等的正數(shù)，且切na-aln6和力兩邊同時除以助，得小當(dāng)二二，

abba

即lna+1」n"l,即信=?)

abab

令A(yù)TiAA2A

ab

由(1)知/Xx)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,*8)上單調(diào)遞減，(一般地,解決此類問題,第⑵問

需利用第(1)問所得函數(shù)的性質(zhì)，本題中對"na-aln6飛-力的變形就是想方設(shè)法利用上(1)

中函數(shù)的性質(zhì))

且當(dāng)046時，f(x)/0,當(dāng)xX時,F(x)<0,

不妨設(shè)X1<￥2,則0<￥i<1<￥2<e.

要證即證2al+照

ab

先證x\+xi>2:

要證x\-f-x>>2,即證照>2-矛1,

因為OOMd赳所以照>2-乂>1,

又f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,所以即證/U)<X2-x.),

又f(M)=/Q2),所以印證f(x^)<f[2-x\),即證當(dāng)(0,1)時，f(x)~f(2-x)<0.

構(gòu)造函數(shù)Kx)=f(x)-f(2-x),

貝!1F'(x)=f'(x)(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

當(dāng)0a<1時,x(2-x)<1,貝！]Tn[x(2-x)]?,

即當(dāng)04<l時,尸'(力M,所以尸(力在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)04<1時，戶(*)0⑴=0,

所以當(dāng)oac時，/'(*)-A2-Y)<0成立,所以用*方)2成立.

再證X\+X1<Q\

由(1)知,fix)的極大值點為產(chǎn)1,f(x)的極大值為AD=1,

過點(0,0),(1,1)的直線方程為y=x,

設(shè)F(x])=f(x2)當(dāng)(0,1)時,f(x)=x(l-Inx)>x,

直線y=x與直線y=m的交點坐標(biāo)為(加,m),則x、<m.

欲證x\+xi<e,即證x\+xi〈m+xz<7*(均+照<e,

即證當(dāng)IOS時，/'(x)以S.

構(gòu)造函數(shù)方(x)"(x)色則力'(x)=l-lnx,

當(dāng)166時，力'(x)與，所以函數(shù)加力在(l,e)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)1<x<e吐力(x)<Z?(e)=/(e)卅氣，即f[x)+x<e成立,

所以X\+xKc成立.

綜上可知成立.

ab

2.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試-新高考II卷

皂海南華僑中學(xué)高級教師鄧建書

■高考命題新動向

1.2021年新高考II卷與2020年相比,體現(xiàn)出的新特點：

(1)重視概念的理解和記憶(如棱臺的體積公式,正態(tài)分布,數(shù)字特征)；

(2)新命題角度(即時定義：比如緯度與衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面的面積公式，概率與高次方

程相結(jié)合)；

(3)新趨勢(開放性試題，結(jié)構(gòu)不良試題與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，壓軸題第21題為概率題).

2.2021年的高考試卷體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版202Q年修訂)的有：

教學(xué)建議方面：

(D教學(xué)目標(biāo)制定要突出數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)(掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)而非記憶，如第12題新定義的理解和

運用)；

(2)情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)(如選擇題第4題以北斗三號全球衛(wèi)星

導(dǎo)航系統(tǒng)為背景，介紹了緯度的定義及地球靜止同步衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的面積公式,通

過與現(xiàn)實生活聯(lián)系，介紹相關(guān)數(shù)學(xué)知識,激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極性）.

命題原則方面：

試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則（如第22題為結(jié)構(gòu)不良試題,對同學(xué)

們的邏輯推理能力、抽象概括能力等進行了深入考杳）；倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用，關(guān)注

我國社會主義建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成果（如第4題北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)），通過

設(shè)計真實問題情境,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值（如第21題微生物繁殖）；穩(wěn)步推進改革，科學(xué)把握

必備知識與關(guān)鍵能力的關(guān)系，科學(xué)把握數(shù)學(xué)試題的開放性（如填空題第14題,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)

寫函數(shù)解析式，答案不唯一），穩(wěn)中求新,體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求

（如第21題概率與方程相結(jié)合考查）.

■考點題型新變化

一、命題方式和題型的變化

1.2021年相比2020年,函數(shù)比重增加，概率與統(tǒng)計比重減少,數(shù)學(xué)建模活動與探究活動比重

增加.

2.創(chuàng)新性:開放題、結(jié)構(gòu)不良題等發(fā)揮選拔功能，要求同學(xué)們多角度、開放式思考問題，考查

創(chuàng)新思維.

（1）“舉例問題”靈活開放.第14題的答案是開放的，給不同水平的學(xué)生提供充分發(fā)揮數(shù)學(xué)

能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用.

（2）“結(jié)構(gòu)不良問題”適度開放.第22題第（2）問是“結(jié)構(gòu)不良題”，對邏輯思維能力、抽象

概括能力等有深入的考查，體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.

（3）“存在問題”有序開放.第18題重點考查邏輯思維能力和運算求解能力，在體現(xiàn)開放性

的同時,也考查了我們思維的準(zhǔn)確性與有序性.

二、試題設(shè)計的趨勢與變化

分析近兩年的試題,可以發(fā)現(xiàn),試題注重構(gòu)建引導(dǎo)德智體美勞全面發(fā)展的知識體系,改變相對

固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象命題積極貫徹《中國

高考評價體系》要求,加大開放題的創(chuàng)新力度,利用開放題考查數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力,發(fā)

揮數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能.主要表現(xiàn)為以下幾個方面：

1.第21題考查微生物群體自身繁殖,這是數(shù)學(xué)與生物的交叉和滲透.

2.第12題設(shè)置新定義問題,是探究能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的創(chuàng)新題型.

3.試題打破固有試卷結(jié)構(gòu)與試題排列方式，概率試題作為壓軸題放在倒數(shù)第二題的位置，結(jié)

構(gòu)不良題放在導(dǎo)數(shù)題位置節(jié)省了同學(xué)們選擇的時間，具有創(chuàng)新性.

■素養(yǎng)能力新亮點

一、從數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)進行分析

理性思維考查較多:第4題考查球的表面積,其實是過圓外一點引圓的切線問題；第16題考查

導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程,思維量較大.

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識加強:第4題以北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境設(shè)計立體幾何問題，考

查空間想象能力、閱讀理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng).

二、從亮點試題進行分析

【創(chuàng)新題】第21題借助微生物每代繁殖問題將生物問題和概率相結(jié)合,考查理性思維、數(shù)

學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索素養(yǎng)，在設(shè)問方式、試題素材、綜合性等方面均有創(chuàng)新.

【易錯題】第6題的命題陷阱是“下列結(jié)論中不正確的是”.

【變式題】第18題改編自必修5課本,解三角形復(fù)習(xí)參考題B組第3題;第21題概率試題

的風(fēng)格與2019年全國/卷數(shù)學(xué)理科第21題風(fēng)格相近.

■2022屈備考建議

一、關(guān)注教材的變化

1.新教材很注重平面幾何的證明和應(yīng)用，第一冊和第二冊課本習(xí)題中多次出現(xiàn)平面幾何題的

引入及其應(yīng)用.

2.新教材的幾個突出變化：（1）重應(yīng)用題目編寫，（2）重平面幾何應(yīng)用，（3）重邏輯推理過程，（4）

重知識面的拓廣，（5）重高考試題補充，（6）重數(shù)學(xué)建?？蚣?，（7）重新方法新思路，（8）重信息

技術(shù)應(yīng)用.觀察這幾個變化,對照高考試題,平面幾何考查并未減少,應(yīng)用試題考查連續(xù),數(shù)學(xué)

建模逐年增強.

二、重視基本概念（定義）的形成過程

重過程而非只僅僅知道結(jié)論.概率題可以借助因式分解,也可借助分布列的條件,直接分析也

可得到第一種情形的結(jié)論，第10題體對角線與面對角線的關(guān)系,課本早已有之，但能否看出

來這是另一番情形.第22題極值點正負(fù)的判斷,從整體上來看,直接利用已知條件即可判斷，

而不必構(gòu)造函數(shù)證明.總之,從宏觀上把握,可事半功倍！

三、關(guān)注國家聯(lián)考命題

但凡國家命題，都有一定的導(dǎo)向作用，應(yīng)引起足夠重視,特別是命題風(fēng)格的改變,要讓同學(xué)們

適應(yīng)其變化，教師亦可根據(jù)情況自己命制相關(guān)試題，供同學(xué)們選擇和訓(xùn)練，以適應(yīng)高考的新變

化.

_呂師都題重慶市高級教師慕澤剛高級教師李金泉

＞本卷答案僅供參考

，答案速查

12345678910111213141516

人答案不唯Q

ABBCDDCBACBCABACDy:±通x3(0,1)

-)2

l.A【考查目標(biāo)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算,考查的學(xué)科素養(yǎng)是