導(dǎo)數(shù)的基本概念

導(dǎo)數(shù)的基本概念一、原函數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是微分學(xué)的基本問題，但在工程與社會實踐中往往會遇到這類問題的逆問題.例如，在物理學(xué)中常提出：在已知物體運動速度v=v(t)的情況下，如何求出該物體的運動方程s=s(t)的問題.由微分學(xué)知識可知，s′(t)=v(t)，此問題實際上是要求出使s′(t)=v(t)成立的s(t)，這是與求導(dǎo)運算相反的問題.我們稱s(t)為s′(t)［即v(t)］的原函數(shù).

從純數(shù)學(xué)意義上審視，我們知道，(x2)′=2x，2x是x2的導(dǎo)函數(shù)；反之，x2稱為2x的一個原函數(shù).下面給出原函數(shù)的定義.引例1.一、原函數(shù)的概念原函數(shù)定義2.定義1如果在區(qū)間D上定義了一個可導(dǎo)函數(shù)F(x)，對于區(qū)間D上的所有x，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx(x∈D)，(5-1)

則稱F(x)為f(x)在區(qū)間D上的一個原函數(shù).

例如，因(x3)′=3x2(－∞<x<+∞)，故x3是3x2在(－∞,+∞)內(nèi)的一個原函數(shù);又如，(arctanx)′=11+x2，故arctanx是11+x2在(－∞,+∞)內(nèi)的一個原函數(shù).

一、原函數(shù)的概念當(dāng)?shù)仁匠闪⒌膮^(qū)間為(－∞,+∞)時可以省略不寫.注一、原函數(shù)的概念進(jìn)一步考慮，如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，原函數(shù)有多少個？這些原函數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？請看下面例子：

(x2)′=(x2±1)′=(x2±2)′=…=(x2+C)′=2x，由原函數(shù)的定義知：x2，x2±1，x2±2，…，x2+C均為2x的原函數(shù).這說明，一個函數(shù)如果有原函數(shù)就有無窮多個原函數(shù).那么，在什么條件下，一個函數(shù)一定存在原函數(shù)?是不是任意給出的函數(shù)都有原函數(shù)？要回答這個問題請看下面定理.

一、原函數(shù)的概念原函數(shù)定理3.定理1(原函數(shù)存在定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間D上一定存在原函數(shù)F(x).

該定理將在第五章第二節(jié)予以證明.由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的，因此，根據(jù)定理1可知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間上存在原函數(shù).一、原函數(shù)的概念定理2(原函數(shù)族定理)如果函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間D上的原函數(shù)，則(1)F(x)+C也是f(x)在區(qū)間D上的原函數(shù)，其中C是任意常數(shù).

(2)f(x)在區(qū)間D上的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù).

證(1)因為

［F(x)+C］′＝F′(x)＝f(x)，這表明F(x)+C是f(x)的原函數(shù).一、原函數(shù)的概念(2)設(shè)G(x)和F(x)是f(x)在區(qū)間D上任意兩個原函數(shù)，則［G(x)－F(x)］′=G′(x)－F′(x)=f(x)－f(x)=0.

根據(jù)拉格朗日中值定理的推論2，便可得

G(x)－F(x)=C.

定理2表明，如果找到了f(x)的一個原函數(shù)F(x)，那么F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)；而f(x)的其他任意一個原函數(shù)與F(x)之間只相差一個常數(shù)，因此f(x)的全體原函數(shù)可以表達(dá)為F(x)+C.

根據(jù)原函數(shù)的這種性質(zhì)，下面引入不定積分的概念.二、不定積分的概念不定積分的定義1.定義2f(x)在區(qū)間D上的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間D上的不定積分，記作

∫f(x)dx，其中“∫”稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量.

若F(x)是f(x)在區(qū)間D上的一個原函數(shù)，根據(jù)定義2和定理2，有∫f(x)dx=F(x)+C，(5-2)

其中C是任意常數(shù)，稱為積分常數(shù).一般情況下積分常數(shù)用字母C表示，需要時也可用A，B或C1，C2等表示.

二、不定積分的概念根據(jù)定義2可得不定積分的四個重要性質(zhì)(不定積分與微分的運算關(guān)系)：二、不定積分的概念這說明，如果一個函數(shù)先積分再微分(或求導(dǎo))，結(jié)果是這兩種運算互相抵消；如果對它先微分(或求導(dǎo))再積分，其結(jié)果與原來的函數(shù)相差一個任意常數(shù).這四個性質(zhì)以后可以當(dāng)公式直接使用.

二、不定積分的概念【例1】二、不定積分的概念【例2】二、不定積分的概念【例3】二、不定積分的概念【例4】二、不定積分的概念【例5】二、不定積分的概念不定積分的幾何意義2.設(shè)y=F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，函數(shù)y=F(x)在平面上表示一條曲線，則該曲線上任意一點(x,y)的切線斜率為f(x)，我們稱函數(shù)y=F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線.于是，函數(shù)f(x)的不定積分∫f(x)dx=F(x)+C在幾何上表示一族積分曲線，它可由f(x)的某一條積分曲線y=F(x)沿y軸方向上下平移得到.顯然，積分曲線族中每一條積分曲線在橫坐標(biāo)相同點處的切線相互平行，如圖5-1所示.

圖5-1二、不定積分的概念已知某曲線上任意一點處的切線斜率等于3x2，且該曲線通過點(1,2)，求此曲線方程.解設(shè)所求曲線方程為y=F(x)，其中(x,y)是曲線上的任意一點.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及題設(shè)條件，有

F′(x)=3x2.

由于(x3)′=3x2，所以x3是3x2的一個原函數(shù)，因此

F(x)=∫3x2dx=x3+C.

將題中所給初始