線性變換的對(duì)角化

線性變換的對(duì)角化線性變換的對(duì)角化對(duì)應(yīng)矩陣的可對(duì)角化，線性變換也存在可對(duì)角化的概念.定義6-6設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，σ是V上的一個(gè)線性變換.如果σ在V的一組基下的矩陣表示是可對(duì)角化的，則稱σ是可對(duì)角化的.根據(jù)矩陣可對(duì)角化的定義，以及第五章的定理5-7，上面的定義可以表述為如下形式.定義6-6′設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，σ是V上的一個(gè)線性變換.如果σ在V的某組基下的矩陣表示為一個(gè)對(duì)角矩陣，則稱σ是可對(duì)角化的.設(shè)線性變換σ是可對(duì)角化的，由定義6-6′，存在V的一組基α1,α2,…,αn，使得σ在這組基下的矩陣表示為根據(jù)矩陣表示的定義，得到于是，σ可對(duì)角化時(shí)，σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示的主對(duì)角線上的元素δ1,δ2,…,δn，即為σ的全部特征值，αi為σ屬于特征值δi的特征向量.也就是說(shuō)，V存在一個(gè)由σ的特征向量組成的基.反之，如果V存在一個(gè)由σ的特征向量組成的基，那么σ在這組基下的矩陣表示為對(duì)角矩陣，從而σ是可對(duì)角化的.于是，對(duì)應(yīng)于矩陣可對(duì)角化的定理，有下面的定理.定理6-18設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，σ是V上的一個(gè)線性變換.那么σ是可對(duì)角化的充分必要條件是σ存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.同樣，根據(jù)定理6-9，得到下面的推論.設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間，σ是V上的一個(gè)線性變換.如果σ存在n個(gè)互不相同的特征值，那么σ是可對(duì)角化的.推論6-2

定理6-19設(shè)λ1,λ2,…,λs是線性變換σ的s個(gè)互不相同的特征值，βi1,βi2,…,βiri是σ屬于特征值λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量，i=1,2,…,s.那么向量組β11,β12,…,β1r1;β21,β22,…,β2r2;…;βs1,βs2,…,βsrs

是線性無(wú)關(guān)的.事實(shí)上，上面的結(jié)論與矩陣中的結(jié)論對(duì)應(yīng)，就是在給定的一組基下，n維線性空間上的線性變換和n階方陣之間一一對(duì)應(yīng)的體現(xiàn).設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)3維線性空間，α1,α2,α3是V的一組基，σ是V上一個(gè)線性變換，滿足【例6-15】判斷σ是否為可對(duì)角化的；如果是可對(duì)角化的，求相應(yīng)的基及在此基下的矩陣表示.解σ在基α1,α2,α3的矩陣表示為方陣A的特征多項(xiàng)式為因此，σ的特征值為λ1=－1（二重），λ2=3.對(duì)于特征值λ1=－1，求解線性方程組(-E-A)X=0，可以得到A屬于λ1=－1的兩個(gè)特征向量從而得到σ屬于λ1=－1的兩個(gè)特征向量根據(jù)定理6-19，這三個(gè)向量ξ1,ξ2,ξ3線性