向量空間的基本概念

向量空間的基本概念向量空間的基本概念向量空間與子空間一、定義3-11設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空且對于向量的線性運(yùn)算（向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算）封閉，即對任意的α，β∈V和常數(shù)k∈R都有

α+β∈V,

kα∈V

就稱集合V為一個(gè)向量空間.由一個(gè)零向量所構(gòu)成的集合{0}也是一個(gè)向量空間，稱之為零空間.集合V=x=0,x2,…,xnTx2,…,xn∈R

是一個(gè)向量空間.因?yàn)槿籀?0,a2,…,anT∈V，β=0,b2,…,bnT∈V，則α+β=0,a2+b2,…,an+bnT∈V，λα=0,λa2,…,λanT∈V【例3-16】集合V=x=1,x2,…,xnTx2,…,xn∈R

不是向量空間.因?yàn)槿籀?0,a2,…,anT∈V，則2α=2,2a2,…,2anTV【例3-17】定義3-12如果V1是向量空間V的一個(gè)非空子集，且V1關(guān)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算都封閉，那么稱V1是V的一個(gè)子空間.向量空間V本身和V中零向量組成的零空間都是V的子空間.這兩個(gè)子空間稱為V的平凡子空間，它們分別構(gòu)成V的最大和最小子空間.V的其他子空間稱為非平凡子空間.任何由n維向量所組成的向量空間都是Rn的子空間.向量空間的基與維數(shù)二、向量空間中的每一個(gè)元素都是一個(gè)向量.我們在前面介紹的關(guān)于n維向量的概念（線性組合、相性相關(guān)、線性無關(guān)等）及有關(guān)結(jié)論都可以推廣到向量空間上.為簡便起見，在向量空間里，我們直接利用這些概念和性質(zhì).定義3-13設(shè)向量組V是Rn的一個(gè)子空間，則稱向量組V的一個(gè)極大無關(guān)組為向量空間V的一組基，并且稱向量組V的秩為向量空間V的維數(shù)，記作dimV.定義3-13的等價(jià)敘述如下：設(shè)向量組V是Rn的一個(gè)子空間，若有向量組α1,α2,…，αr∈V，滿足：（1）α1,α2,…，αr線性無關(guān).（2）V中任意一個(gè)向量都可由α1,α2,…，αr線性表示.

則稱向量組α1,α2,…，αr為向量空間的一個(gè)基，基中所含的向量個(gè)數(shù)r稱為向量空間V的維數(shù)，記為dimV=r，并稱V為r維向量空間.如果向量空間V沒有基，就稱V的維數(shù)為0，0維向量空間只含一個(gè)零向量.我們注意到，向量空間V的基就是把V看成向量組時(shí)的極大無關(guān)組，因此，向量空間的基未必唯一，但任意兩個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)，即向量空間的維數(shù)是不會變的.由定義3-13知，全體n維向量構(gòu)成一個(gè)向量空間，記作Rn.容易驗(yàn)證Rn的維數(shù)為n，所以我們把Rn稱為n維向量空間.值得注意的是：不要把向量空間的維數(shù)和向量的維數(shù)這兩個(gè)概念搞混淆.一個(gè)向量有n個(gè)分量，則稱此向量為n維向量；而由n維向量構(gòu)成的向量子空間，它的維數(shù)是指基中所含向量的個(gè)數(shù)，可能是0,1,…,n.由于已知超過n個(gè)的n維向量一定線性相關(guān)，所以由n維向量構(gòu)成的向量空間V的維數(shù)不會超過n.對于向量空間Rn的一組基α1,α2,…，αn，任取Rn中的一個(gè)向量α，則α可由α1,α2,…，αn線性表示，且表達(dá)式是唯一的.由此，我們引進(jìn)如下定義：定義3-14設(shè)α1,α2,…，αr是向量空間V的一組基，α是V中的向量，則存在唯一的一組數(shù)x1,x2,…,xr，使

α=x1α1+x2α2+…+xrαr

稱x1,x2,…,xr為向量α在基α1,α2,…，αr下的坐標(biāo).特別地，在n維向量空間R

n中取單位坐標(biāo)向量組e1,e2,…,en為基，則以x1,x2,…,xn為分量的向量x=x1,x2,…,xn可表示為x=x1e1+x2e2+…+xnen可見，向量在e1,e2,…,en基下的坐標(biāo)就是該向量的分量.因此，e1,e2,…,en也稱為Rn中的自然基.當(dāng)然，同一個(gè)向量在不同的基下會有不同的坐標(biāo).求向量α在基α1,α2,…,αr下的坐標(biāo)的方法，就是求方程組x1α1+x2α2+…+xrαr=α的解.證明向量組α1=1,1,2T,α2=3,－1,0T,α3=（2,0,－11）T構(gòu)成R3的一組基，并求出向量β=1,－1,7T在此基下的坐標(biāo).證明要證明α1,α2,α3構(gòu)成R3的一組基，只需證明α1,α2,α3線性無關(guān).構(gòu)造矩陣A=α1,α2,α3,并對A進(jìn)行初等行變換：【例3-19】有RA=Rα1,α2,α3=3,所以α1,α2,α3線性無關(guān)，它們一定構(gòu)成R3的一個(gè)基.下面求向量β在基α1,α2,α3下的坐標(biāo).構(gòu)造矩陣A,β=α1,α2,α3,β,并對A,β施行初等行變換，將其化為行最簡形矩陣：在R3中取兩組基α1,α2,α3和β1,β2,β3，設(shè)A=α1,α2,α3，B=β1,β2,β3.求用α1,α2,α3表示β1,β2,β3的表達(dá)式（基變換公式），并求向量x在兩組基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系式（坐標(biāo)變換公式）.解α1,α2,α3=e1,e2,e3A，e1,e2,e3=α1,α2,α3A－1

故β1,β2,β3=e1,e2,e3B=α1,α2,α3A－1B

【例3-20】即基變換公式為β1,β2,β3=α1,α2,α3P其中