【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教版】第十七章 勾股定理（7類壓軸題專練）

第十七章勾股定理（7類壓軸題專練）考點(diǎn)一巧妙割補(bǔ)求面積例題：如圖，一塊四邊形花圃中，已知∠B=90°，，，，.(1)求四邊形花圃的面積；(2)求到的距離．變式訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四邊形ABCD的面積．2．如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長都為1（1）線段BC＝_____，線段CD＝_____；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）3．如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上，（1）邊AC、AB、BC的長；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離考點(diǎn)二“勾股樹”及其拓展類型求面積例題：如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．變式訓(xùn)練1．如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．2．如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為．(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長邊的長度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．3．如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．考點(diǎn)三勾股定理及逆定理與網(wǎng)格問題例題：如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，若A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，將放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1），點(diǎn)A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么中邊上的高的長度是（）A． B． C． D．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)到直線的距離是24．（2023上·吉林長春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都為，的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)．

(1)__________，__________，__________；(2)的形狀為__________三角形；(3)求中邊上的高_(dá)_________．考點(diǎn)四幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）例題：如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)B落在AC延長線上的點(diǎn)E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．如圖，三角形紙片中，，，．是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在延長線上的點(diǎn)處，則的長為__________．2．長方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為______．3．如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數(shù)為________；(2)當(dāng)，的面積為時(shí)，的周長為__________（用含的代數(shù)式表示）；(3)若，，求的長．4．在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交線段于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)．和有怎樣的位置關(guān)系，為什么？若，，求線段的長．(2)如圖2，若，折疊后要使和，這兩個(gè)三角形其中一個(gè)是直角三角形而另一個(gè)是等腰三角形．求此時(shí)的度數(shù)．考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．變式訓(xùn)練1．如圖，在等腰中，，，垂足為，已知，．(1)求與的長；(2)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．考點(diǎn)六實(shí)際問題中的方程思想例題：如圖，小強(qiáng)放風(fēng)箏時(shí)，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度OA．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出2米，然后把風(fēng)箏線沿直線l向后拉開6米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端B剛好接觸地面，請(qǐng)你幫小強(qiáng)求出風(fēng)箏距離地面的高度OA．變式訓(xùn)練1．如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題．3．如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．(1)求旗桿距地面多高處折斷（）；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1m的點(diǎn)D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？4．在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得千米，千米，千米．(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明．(2)求原來的路線AC的長．5．如圖，地面上放著一個(gè)小凳子，點(diǎn)距離墻面，在圖①中，一根細(xì)長的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點(diǎn)處，．在圖②中，木桿的一端與點(diǎn)重合，另一端靠在墻上點(diǎn)處．（1）求小凳子的高度；（2）若，木桿的長度比長，求木桿的長度和小凳子坐板的寬．考點(diǎn)七勾股定理逆定理的拓展問題例題：定義：如圖，點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在N的左側(cè)）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的購股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若，，，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；(2)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若，，求BN的長．變式訓(xùn)練1．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答以下問題：（1）若一個(gè)三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個(gè)三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個(gè)三角形是直角三角形，求的值．（3）當(dāng)，時(shí)，判斷的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍．2．先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題：第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含的代數(shù)式表示第組的三個(gè)數(shù)；（2）如果各組數(shù)的三個(gè)數(shù)分別是三角形的三邊長，那么這個(gè)三角形是什么三角形？請(qǐng)說明理由；（3）如圖，，，，若，，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，且，，求的長．

第十七章勾股定理（7類壓軸題專練）答案全解全析考點(diǎn)一巧妙割補(bǔ)求面積例題：如圖，一塊四邊形花圃中，已知∠B=90°，，，，.(1)求四邊形花圃的面積；(2)求到的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，且，再根據(jù)面積公式四邊形花圃的面積計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)C作于E，利用面積法求出即可．【詳解】（1）解：連接，∵∠B=90°，，，∴m，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形花圃的面積∴四邊形花圃的面積是；（2）過點(diǎn)C作于E，∵，∴，∴，∴到的距離是．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，正確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四邊形ABCD的面積．【答案】144【解析】【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，分別求出△ABD和△BCD的面積，即可得出答案．【詳解】解：連接BD，在△ABD中，∵∠A=90°，AB=6，AD=8，∴BD==10，S△ABD=AB?AD=×6×8=24，在△BCD中，∵CD=26，BC=24，BD=10，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD=BC?BD=×10×24=120．∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BCD=24+120=144．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出△ABD和△BCD的面積，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長都為1（1）線段BC＝_____，線段CD＝_____；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）【答案】（1），；（2）14.5【解析】【分析】（1）在網(wǎng)格中利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，由此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：，，故答案為：，；（2）如圖所示，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，以及四邊形的面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．3．如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上，（1）邊AC、AB、BC的長；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算，求出邊AC、AB、BC的長；（2）根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式，結(jié)合圖形計(jì)算；（3）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：（1），，；（2）△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離為h，則，即，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．考點(diǎn)二“勾股樹”及其拓展類型求面積例題：如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．【答案】49【解析】【分析】根據(jù)正方形A，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案．【詳解】如圖對(duì)所給圖形進(jìn)行標(biāo)注：因?yàn)樗械娜切味际侵苯侨切危械乃倪呅味际钦叫?，所以正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積．因?yàn)?，，所以正方形A，B，C，D的面積和．故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)，面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【解析】【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個(gè)正方形的面積與Rt△ABC的三邊關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理找到Rt△ABC的三邊之間的關(guān)系，并由此得到三個(gè)正方形的面積關(guān)系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積公式與勾股定理，得到S1，S2，S3三者之間的關(guān)系，完成解答．【詳解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的邊長，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三邊向外作等邊三角形，其面積為S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾股定理．2．如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為．(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長邊的長度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．【答案】(1)(2)正方形，，，的面積分別為：，，，【分析】（1）按照?qǐng)D形，根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：依次設(shè)三個(gè)空白正方形為，，由勾股定理可得：正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積；正方形的面積正方形的面積正方形的面積，，，，四個(gè)正方形的面積之和正方形的面積，答：，，，四個(gè)正方形的面積之和為；（2）解：每個(gè)直角三角形的最短邊與最長邊的長度之比都為，設(shè)中間的直角三角形的較短的直角邊為，斜邊為，由題意得：，解得，較短的直角邊為，另一直角邊為，設(shè)的邊長為，的邊長為，則，解得：，的面積是：；的面積是：，同理：設(shè)的邊長為，的邊長為，則，解得：，的面積是；；的面積是：，答：正方形，，，的面積分別為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并正確列式是解題的關(guān)鍵．3．如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進(jìn)而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．考點(diǎn)三勾股定理及逆定理與網(wǎng)格問題例題：如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，若A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長度，繼而可得出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點(diǎn)三角形中利用勾股定理．變式訓(xùn)練1．如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長到點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理可得為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長到點(diǎn)，使得，連接，如下圖：由勾股定理得：，，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造出等腰直角三角形，正確進(jìn)行求解．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，將放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1），點(diǎn)A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么中邊上的高的長度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求得，由割補(bǔ)法求得，設(shè)中邊上的高的長度是，利用三角形面積公式列方程求解即可．【詳解】解：由題意可知，，，設(shè)中邊上的高的長度是，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，割補(bǔ)法求面積，一元一次方程的應(yīng)用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)到直線的距離是2【答案】A【分析】求出，根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷B；根據(jù)勾股定理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的意義可以判斷D．【詳解】解：，，，，，故B、C正確，不符合題意；，故A錯(cuò)誤，符合題意；設(shè)點(diǎn)到直線的距離是，，，，點(diǎn)到直線的距離是2，故D正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·吉林長春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都為，的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)．

(1)__________，__________，__________；(2)的形狀為__________三角形；(3)求中邊上的高_(dá)_________．【答案】(1)，，(2)直角(3)【分析】（1）本題主要考查網(wǎng)格中的勾股定理，直接計(jì)算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形狀，直接把三邊長度分別平方，可以發(fā)現(xiàn)即可判定三角形的形狀．（3）考查利用等面積法求斜邊上的高，直接計(jì)算就可以求解．【詳解】（1）由題可知，；；．（2）解：∵，，；∴；∴為直角三角形．（3）如下圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為；∴；∵是直角三角形；∴；∴；∴．

考點(diǎn)四幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）例題：如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)B落在AC延長線上的點(diǎn)E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，設(shè)CD=x，則BD=4-x，根據(jù)求出x得到CD的長，利用面積求出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴，由折疊得AE=AB=5，DE=BD，設(shè)CD=x，則BD=4-x，在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，∵，∴，解得x=1.5，∴CD=1.5，∴圖中陰影部分的面積是，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟記勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如圖，三角形紙片中，，，．是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在延長線上的點(diǎn)處，則的長為__________．【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，設(shè)CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，由折疊可知：AB=AB′=5，BD=B′D，∴B′C=AB′-AC=1，設(shè)CD=x，則BD=B′D=3-x，在△B′CD中，，即，解得：x=，即CD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，利用折疊的性質(zhì)求出B′C的長是解題的關(guān)鍵．2．長方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為______．【答案】或3【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，先利用勾股定理計(jì)算出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，而當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，所以點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，則，，可計(jì)算出，設(shè)，則，然后在中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，在中，，∴，∵∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，∴點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，∴，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴解得：；②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形，∴．故答案為：或3；【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．3．如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數(shù)為________；(2)當(dāng)，的面積為時(shí)，的周長為__________（用含的代數(shù)式表示）；(3)若，，求的長．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)折疊可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出，進(jìn)而得到；（2）根據(jù)的面積可得，進(jìn)而得到，再在Rt中，，再把左邊配成完全平方可得，進(jìn)而得到的周長．（3）根據(jù)折疊可得，設(shè)，則，再在RtB中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，進(jìn)而得到的長；【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可知：，又，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵的面積為，∴，∴，∵在Rt中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∵，∴，即的周長為，故答案為：（3）解：把沿直線折疊，使與重合，∴，設(shè)，則，在Rt中，，即，解得．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的翻折變換、勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是掌握勾股定理，以及折疊后哪些是對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段．4．在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交線段于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)．和有怎樣的位置關(guān)系，為什么？若，，求線段的長．(2)如圖2，若，折疊后要使和，這兩個(gè)三角形其中一個(gè)是直角三角形而另一個(gè)是等腰三角形．求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)，見解析；(2)的值為【分析】（1）由折疊可知，，由平行可知，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，再由，利用等量代換可求，即可求解；設(shè)，則，在Rt中，，解得：，設(shè)，由折疊可知，，則，在Rt中，，解得：，即可求解；（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)此時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立．【詳解】（1）解：，理由如下：由折疊可知，，，，，，，，，，；設(shè)，則，由折疊可知，，在Rt中，，，解得：，，設(shè)，由折疊可知，，則，在Rt中，，，解得：，即；（2）解：，設(shè)，則，由折疊可知，，當(dāng)時(shí)，是直角三角形則是等腰三角形，，；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，則是等腰三角形，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)此時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，此時(shí)不能是等腰三角形，否則與邊沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，則是等腰三角形，所以，所以；此時(shí)，與題意不符合，不成立；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，則是等腰三角形，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【答案】8【解析】【分析】作交的延長于點(diǎn)，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長于點(diǎn)，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如圖，在等腰中，，，垂足為，已知，．(1)求與的長；(2)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【答案】(1)，(2)當(dāng)或3或3.6時(shí)，為等腰三角形【分析】（1）由勾股定理直接求得，設(shè)，由勾股定理列出的方程，即可求得；（2）分三種情況：，，，分別進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：由勾股定理得，，設(shè)，則，在Rt中，由勾股定理得，，解得，；（2）解：當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖，過作于點(diǎn)，，設(shè)，則，，即，解得，，綜上，當(dāng)或3或3.6時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六實(shí)際問題中的方程思想例題：如圖，小強(qiáng)放風(fēng)箏時(shí)，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度OA．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出2米，然后把風(fēng)箏線沿直線l向后拉開6米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端B剛好接觸地面，請(qǐng)你幫小強(qiáng)求出風(fēng)箏距離地面的高度OA．【答案】風(fēng)箏距離地面的高度OA為8米【分析】設(shè)OA=x米，則AB=（x+2）米，依據(jù)勾股定理即可得到方程，進(jìn)而得出風(fēng)箏距離地面的高度OA．【詳解】解：設(shè)OA=x米，則AB=（x+2）米，由圖可得，，，在中，，即，解得．答：風(fēng)箏距離地面的高度OA為8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．變式訓(xùn)練1．如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題．【答案】水池里水的深度是4米，蘆葦長為米【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】．解：設(shè)水池里水的深度是x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，由題意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，x+1=13，米，米，答：水池里水的深度是4米，蘆葦長為米【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．(1)求旗桿距地面多高處折斷（）；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1m的點(diǎn)D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】(1)旗桿距地面3m處折斷(2)距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)【分析】（1）設(shè)長為，則長，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先畫好圖形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：由題意，知．因?yàn)?，設(shè)長為，則長，則，解得．故旗桿距地面3m處折斷；（2）如圖．因?yàn)辄c(diǎn)D距地面，所以，所以，所以距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練的從實(shí)際問題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．4．在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得千米，千米，千米．(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明．(2)求原來的路線AC的長．【答案】(1)CH是從村莊C到河邊的最近路；理由見解析；(2)原來的路線AC的長為1.25千米．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明△CHB是直角三角形即可；（2）設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根據(jù)勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是從村莊C到河邊的最近路；(2)設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，解這個(gè)方程，得x=1.25，答：原來的路線AC的長為1.25千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答．5．如圖，地面上放著一個(gè)小凳子，點(diǎn)距離墻面，在圖①中，一根細(xì)長的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點(diǎn)處，．在圖②中，木桿的一端與點(diǎn)重合，另一端靠在墻上點(diǎn)處．（1）求小凳子的高度；（2）若，木桿的長度比長，求木桿的長度和小凳子坐板的寬．【答案】（1）30cm；（2）木桿長100cm，AB=40cm．【分析】（1）如圖①，過作垂直于墻面，垂足于點(diǎn)，由，利用勾股定理在中，即可；（2）如圖②，延長交墻面于點(diǎn)，可得，利用勾股定理在中，構(gòu)造方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖①，過作垂直于墻面，垂足于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，在中，，即凳子的高度為；（2）如圖②，延長交墻面于點(diǎn)，可得，設(shè)，則，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理應(yīng)用的條件與結(jié)論，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合條件的圖形是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)七勾股定理逆定理的拓展問題例題：定義：如圖，點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在N的左側(cè)）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的購股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若，，，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；(2)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若，，求BN的長．【答案】(1)是，理由見解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝30?AM?BN＝2