河南省許昌市2023-2024學年高一上學期期末教學質量檢測數學試卷(解析)

高中數學精編資源2/2XCS2023—2024學年第一學期期末教學質量檢測高一數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，，所以，故選：A.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先解不等式得，然后根據充分條件、必要條件的概念求解即可.【詳解】由得，故成立時，不一定成立，比如，滿足，但是，不滿足；反之當成立時，一定成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合指數、對數與三角函數性質與中間量計算即可得.【詳解】，即，，即，，即，故.故選：D.4.已知為角終邊上一點，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先根據正切函數的定義知，然后弦化切代入求值即可.【詳解】因為為角終邊上一點，所以，所以.故選：C5.關于實數，下列結論正確的有（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么【答案】B【解析】【分析】結合不等式的基本性質逐項判斷即可得.【詳解】對A：當時，有，故A錯誤；對B：如果，那么，故B正確；對C：當時，有，故C錯誤；對D：如果，則，故，即，故D錯誤.故選：B.6.為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（）A.向右平行移動個單位長度B.向左平行移動個單位長度C向右平行移動個單位長度D.向左平行移動個單位長度【答案】C【解析】【分析】根據三角圖象變換的法則即可求出．【詳解】因為，所以只要把函數圖象上所有點向右平行移動個單位長度，即可得到函數的圖象．故選：C7.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由為偶函數，排除CD選項，由排除B選項.【詳解】函數定義域為R，，為偶函數，圖象關于軸對稱，CD選項錯誤；，選項B錯誤.故選：A8.雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現“碳達峰”，2060年實現“碳中和”．為了實現這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關系的經驗公式，其中為Peukert常數．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流，放電時間為（）A.28h B.28.5h C.29h D.29.5h【答案】B【解析】【分析】根據題意求出蓄電池的容量C，再把代入，結合指數與對數的運算性質即可得解.【詳解】解：根據題意可得，則當時，，所以，即當放電電流，放電時間為28.5h.

故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.式子表示同一個函數B.與表示同一個函數C.已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是D.若函數的定義域中只含有一個元素，則值域中也只含有一個元素【答案】ABD【解析】【分析】對A、B，由相同函數的定義計算即可得；對C，結合分段函數單調性計算即可得；對D，由函數定義即可得.【詳解】對A：，故與有相同的定義域及對應關系，故表示同一個函數，故A正確；對B：的定義域需滿足，解得，的定義域需滿足，解得，故兩函數有相同的定義域及對應關系，故表示同一個函數，故B正確；對C：由題意可得，解得，即，故C錯誤；對D：由函數定義，若函數的定義域中只含有一個元素，則值域中也只有唯一一個元素與之對應，故D正確.故選：ABD.10.下列命題正確的是（）A.若是第二象限角、則是第一象限角B.扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的面積為C.是函數的一條對稱軸D.若，且，則【答案】CD【解析】【分析】對A：表示出第二象限角后計算可得是第一或第三象限角；對B：借助扇形周長公式及面積公式計算即可得；對C：由余弦型函數的性質計算即可得；對D：借助三角函數基本關系計算即可得.【詳解】對A：若是第二象限角，則，，則，，故是第一或第三象限角，故A錯誤；對B：由周長，即，可得，則，故B錯誤；對C：時，，由是函數的一條對稱軸，故是函數的一條對稱軸，故C正確；對D：，故，故與異號，又，故，，即則，則，則，故D正確.故選：CD.11.已知函數滿足，且，則下列命題正確的是（）A. B.為奇函數C.為周期函數 D.，使得成立【答案】BC【解析】【分析】先令，即可判斷函數的周期性，即可判斷C；再令，求出，進而可判斷AD；再令，判斷出函數的奇偶性，進而可判斷B.【詳解】由，令，則，則，即，所以，所以函數為周期函數，故C正確；令，則，解得或，當時，令，則，所以，故AD錯誤；所以，其圖象關于原點對稱，是奇函數；當時，令，則，所以，所以函數是偶函數，所以，又因為，所以，則，所以函數為奇函數，綜上所述，為奇函數，故B正確.故選：BC.【點睛】方法點睛：函數的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數相結合，并結合奇偶性求函數值，多以選擇題、填空題的形式呈現，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數的單調性與奇偶性相結合，注意函數的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．（2）周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解；（3）周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數的圖象經過點，則______.【答案】2【解析】【分析】將點的坐標代入直接求解即可.【詳解】因為函數的圖象經過點，所以，解得.故答案為：213.若函數在上的最大值比最小值大，則___________．【答案】【解析】【分析】借助指數函數的單調性計算即可得.【詳解】由，故函數在上單調遞增，故有，計算可得或（舍），故.

故答案為：.14.已知函數，若關于的方程在區(qū)間上有兩個不同實根，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】畫出函數的圖象，結合圖象得，根據對稱性把轉化為，利用二倍角余弦公式、誘導公式及二次函數性質求解最值即可.【詳解】方程在上有兩個不同的實根等價于與的圖象在上有兩個交點，如圖為函數在上的圖象：由圖中可以看出當與有兩個交點時，有，且，此時，所以令，因為，則，所以，記，，因函數開口向上，且對稱軸為，所以當時，，所以的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題以方程有根為背景考查了正弦函數的對稱性及三角恒等變換、余弦型復合函數值域問題.解題的關鍵是把方程有根問題轉化為函數交點問題，利用正弦函數對稱性消元，從而轉化為余弦型復合函數的最值問題，采用換元法，利用二次函數性質求解最值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求值：（1）；（2）；（3）已知是第四象限角，求的值.【答案】（1）（2）10（3）【解析】【分析】（1）利用誘導公式結合特殊角的正弦值求解即可；（2）利用指數冪的運算性質及換底公式化簡計算即可；（3）利用同角三角函數關系求得，然后利用兩角和余弦公式求值即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】由是第四象限角，則.則.16.已知函數．（1）判斷函數奇偶性，并用定義法證明；（2）寫出函數的單調區(qū)間，并用定義法證明某一個區(qū)間的單調性；（3）求函數在上的最大值和最小值．【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和，證明見解析；（3）最大值為10，最小值為6.【解析】【分析】（1）利用函數奇偶性的定義計算即可；（2）利用定義法作差計算函數的單調性即可；（3）利用函數的單調性計算最值即可.【小問1詳解】函數為奇函數．由函數可知其定義域為，關于原點對稱，設，有．所以函數為奇函數；【小問2詳解】函數的單調遞增區(qū)間為和，函數的單調遞減區(qū)間為和．下面證明單調區(qū)間，設，則，若，則，此時，即，若，則，此時，即，即在上單調遞減，在上單調遞增，由函數為奇函數，所以在上單調遞減，在上單調遞增，綜上：函數的單調遞增區(qū)間為和，函數的單調遞減區(qū)間為和．【小問3詳解】由上可知在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，且．則函數在上的最大值為10，最小值為6．17.如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角，C是扇形弧上動點，矩形ABCD內接于扇形.記，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.【答案】時，矩形的面積，最大面積為【解析】【分析】由題意可得，，從而可得矩形的面積為，再由可得，由此可得時，取得最大值【詳解】在中，，，在中，，所以，所以，設矩形的面積為，則，由，得，所以當，即時，，因此，當時，矩形的面積，最大面積為，【點睛】關鍵點點睛：此題考查三角函數的應用，解題的關鍵是將四邊形的面積表示為，再利用三角函數的性質可求得其最大值，屬于中檔題18.已知函數為奇函數，且的最小正周期是.（1）求的解析式；（2）當時，求滿足方程的的值.【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式和輔助角公式化簡函數，然后根據奇函數性質和最小正周期求得解析式即可；（2）先解二次方程得或，然后結合角范圍即可求解正弦函數方程.【小問1詳解】由題意可得，因為的最小正周期是，所以，又為奇函數，則，所以，又，所以，故.【小問2詳解】由，即，則或，所以或，即或.因為，所以，則，或，或，所以或或.19.已知函數為奇函數.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；（3）設，若，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據奇函數的性質列式求解即可；（2）分離參數得在上恒成立，令，則，構造函數，利用函數單調性求解最值即可；（3）把問題轉化為函數的值域為函數值域的子集，利用函數單調性求解其值域，結合余弦函數性質，分類討論求解函數的值域，列不等式組求解