有理數(shù)的加減法

個性化教育輔導(dǎo)教案姓名年級七學(xué)科數(shù)學(xué)上課時間知識點(diǎn)有理數(shù)的加減法教學(xué)目標(biāo)1、理解有理數(shù)加法的意義，掌握有理數(shù)的加法法則，并能準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算。2、掌握有理數(shù)加法運(yùn)算律，并運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算；解決簡單的實(shí)際問題。3、理解有理數(shù)減法的意義，掌握有理數(shù)減法法則，并運(yùn)用減法法則簡化運(yùn)算。4、掌握將有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算的方法，熟練地進(jìn)行有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算。教學(xué)重點(diǎn)準(zhǔn)確迅速地進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)減法直接轉(zhuǎn)化為加法及混合運(yùn)算的準(zhǔn)確性作業(yè)布置教學(xué)過程類型之一:湊整型例1、計算（－0.5）+（）+（+2.75）+（）.【解析】在進(jìn)行三個以上的有理數(shù)的加法運(yùn)算時，可以利用加法的交換律和結(jié)合律，把互為相反數(shù)或相加得零的數(shù)結(jié)合起來.【解答】（－0.5）+（）+（+2.75）+（）=（）+（）+（）+（）=－6+6=0.【評注】把能湊成整數(shù)的兩個或多個數(shù)結(jié)合起來，把同分母的數(shù)結(jié)合起來，把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別結(jié)合起來，可以使運(yùn)算簡便、迅速且易于檢查.類型之二:運(yùn)算律型例2、計算（－0.5）+（）+（+2.75）+（）.【解析】在進(jìn)行三個以上的有理數(shù)的加法運(yùn)算時，可以利用加法的交換律和結(jié)合律，把互為相反數(shù)或相加得零的數(shù)結(jié)合起來.【解答】（－0.5）+（）+（+2.75）+（）=（）+（）+（）+（）=－6+6=0.【點(diǎn)評】把能湊成整數(shù)的兩個或多個數(shù)結(jié)合起來，把同分母的數(shù)結(jié)合起來，把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別結(jié)合起來，可以使運(yùn)算簡便、迅速且易于檢查.類型之三:綜合應(yīng)用型例3、某市冬季的一天，最高氣溫為6℃，最低氣溫為－11℃，這天晚上的天氣預(yù)報說將有一股冷空氣襲擊該市，第二天氣溫將下降10—12℃，請你利用以上信息，估計第二天該市的最高氣溫不會高于多少度?最低氣溫不會低于多少度?以及最高氣溫與最低氣溫的差至少為多少度?.【解析】計算由某一溫度下降若干度后變?yōu)槎嗌俣龋瑧?yīng)該進(jìn)行減法計算.“氣溫下降10～12度”的含義是至少下降10℃，最多下降12℃.估計第二天的最高氣溫，應(yīng)該用當(dāng)天的最高氣溫減10℃，而不能減12℃，估計最低氣溫則與此相反.估計第二天最高氣溫與最低氣溫的差至少為多少度，應(yīng)該用下面“式子”進(jìn)行計算：（當(dāng)日最高氣溫－12℃）－（當(dāng)日最低氣溫－10℃）.【解答】6－10=6+（－10）=－（10－6）=－4,－11－12=（－11）+（－12）=－（11+12）=－23,（6－12）－（－11－10）=［6+（－12）］－［－11+（－10）］=［－（12－6）］－［－（11+10）］=－6－（－21）=6+21=21－6=15.答：估計第二天該市最高氣溫不會高于－4℃，最低氣溫不會低于－23℃，第二天最高氣溫與最低氣溫的差至少為15℃.課堂練習(xí)（基礎(chǔ)檢測）1.下列說法中正確的是（）A.在有理數(shù)的減法中，被減數(shù)一定要大于減數(shù)B.兩個負(fù)數(shù)的差一定是負(fù)數(shù)C.正數(shù)減去負(fù)數(shù)差是正數(shù)D.兩個正數(shù)的差一定是正數(shù)2.我市2006年的最高氣溫為39℃，最低氣溫為零下7℃，則計算2006年溫差列式正確的是（）A.（+39）－（－7）B.（+39）+（+7）C.（+39）+（－7）D.（+39）－（+7）3.冬季的某日,上海最低氣溫是3℃,北京最低氣溫是－5℃,這一天上海的最低氣溫比北京的最低氣溫高_(dá)_______℃.4.比零小4的數(shù)是_______，比3小4的數(shù)是_______，比－5小－2的數(shù)是_______.5.計算：（1）（－13）+（－2）；（2）+（）；（3）+（－0.6）.能力提升類例1計算：一點(diǎn)通：利用有理數(shù)加法的交換律和結(jié)合律計算。解：原式==點(diǎn)評：在運(yùn)用有理數(shù)加法運(yùn)算律時，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到簡化的目的，通常有下列規(guī)律：①互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；②符號相同的兩個數(shù)先相加——“同號結(jié)合法”；③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”；④整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)先相加——“同形結(jié)合法”。例2一點(diǎn)通：利用有理數(shù)減法的運(yùn)算法則及有理數(shù)加法的結(jié)合律計算。解：原式= = =點(diǎn)評：將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號，一個是運(yùn)算符號“－”變成“+”，另一個是減數(shù)的性質(zhì)符號相應(yīng)改變。綜合運(yùn)用類例3一點(diǎn)通：有理數(shù)加減混合運(yùn)算應(yīng)先統(tǒng)一成加法，寫成省略加號的和的形式；有絕對值的式子先計算絕對值。解：原式====點(diǎn)評：靈活選擇有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法，可以使繁瑣的問題變簡單。例4若且求的值。一點(diǎn)通：含絕對值的代數(shù)式判斷絕對值里的式子與0的關(guān)系，達(dá)到去絕對值的目的。解：∵∴∵∴∴當(dāng)時，；當(dāng)時，。點(diǎn)評：含絕對值的代數(shù)式計算一直都是有理數(shù)加減學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，如何把握去絕對值過程中不丟解和不多解是應(yīng)在學(xué)習(xí)過程中不斷完善和總結(jié)的。思維拓展類例5計算一點(diǎn)通：利用有理數(shù)運(yùn)算的技巧拆項(xiàng)法求解。解：原式==點(diǎn)評：帶分?jǐn)?shù)可以拆分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)相加減的形式，再運(yùn)用加法的結(jié)合律運(yùn)算。變式化簡。解：原式===+=例6觀察下列各式：；；……將以上n個等式相加得到：。用上述方法計算：的值。一點(diǎn)通：觀察等式的特點(diǎn)：利用拆項(xiàng)錯位相消法求解，若同一式子的分母兩個數(shù)相差為n時，提出后再拆項(xiàng)錯位相消。解：原式= 點(diǎn)評：得出規(guī)律：，從而得到；求的前n項(xiàng)和用拆項(xiàng)錯位相消法。變式求的前n項(xiàng)和。一點(diǎn)通：觀察等式的特點(diǎn)：利用拆項(xiàng)錯位相消法求解。解：原式=== 點(diǎn)評：觀察上述兩式的聯(lián)系與區(qū)別，同一分式的分母兩個數(shù)相差為2，可提出后再拆項(xiàng)錯位相消。同時所剩的式子為前兩項(xiàng)的和減去后兩項(xiàng)。例7已知，且恰好是4個連續(xù)自然數(shù)，求的和。一點(diǎn)通：由原式可知可見的公分母為180，即的最小公倍數(shù)為180，而171是180的4個約數(shù)之和。 解：180的約數(shù)有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，20，30，36，45，60，90，180；其中30+36+45+60=171，因此，故。點(diǎn)評：此題有一定難度，應(yīng)考慮利用最小公倍數(shù)求值，要求課后多理解體會，達(dá)到應(yīng)用的能力。例8有一批鋼材標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每捆1500千克,現(xiàn)抽取5捆樣品進(jìn)行檢測,結(jié)果如下(單位:千克):1502,1497,1512,1491,1489.這5捆鋼材的總重量是多少?與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比是多還是少?【解析】求總質(zhì)量只需將5個數(shù)據(jù)相加,但數(shù)據(jù)大,運(yùn)算較復(fù)雜.可將超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的數(shù)用正數(shù)表示,不足的用負(fù)數(shù)表示,求和.若為正則比標(biāo)準(zhǔn)量多,若為負(fù)則比標(biāo)準(zhǔn)量少.【解答】5捆鋼材與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值如下(單位:千克):+2,－3,+12,－9,－11.(+2)+(－3)+(+12)+(－9)+(－11)=－9(千克).1500×5+(－9)=7491(千克).答:5捆鋼材的總質(zhì)量是7491千克,總計比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量少9千克.例9某公路養(yǎng)護(hù)小組乘車沿南北方向巡視,從A地出發(fā),晚上到達(dá)B地,規(guī)定向北為正方向,行駛記錄如下(單位:千米):+18,－9,+7,－14,－6,+13,－6.問B地在A地什么位置?若汽車每行駛1千米耗油0.5升,求這天共耗油多少升?【解析】(1)要求B地相對于A地的位置，只要把這7個有理數(shù)相加即可；(2)這7個有理數(shù)的絕對值的和就是行駛的總路程.【解答】（1）+18+(－9)+(+7)+(－14)+(－6)+(+13)+(－6)=+3千米，即B地在A地正北3千米.（2）因?yàn)閨+18|+|－9|+|+7|+|－14|+|－6|+|+13|+|－6|=73千米,所以共耗油73×0.5=37.5升.當(dāng)堂反饋1.下列說法正確的個數(shù)為()①兩個有理數(shù)的和為正數(shù)時,這兩個數(shù)都是正數(shù)②兩個有理數(shù)的和為負(fù)數(shù)時,這兩個數(shù)都是負(fù)數(shù)③兩個有理數(shù)的和可能等于其中一個加數(shù)④兩個有理數(shù)的和可能等于零A.1個B.2個C.3個D.4個2.若兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，那么這兩個數(shù)（）A.都是正數(shù)B.都是負(fù)數(shù)C.至少有一個正數(shù)D.至少有一個負(fù)數(shù)3.若兩個數(shù)絕對值之差為0，則這兩個數(shù)（）A.相等 B.互為相反數(shù)C.兩數(shù)均為0 D.相等或互為相反數(shù)4.下面是一個方陣圖，每行的3個數(shù)，每列的3個數(shù)，斜對角的3個數(shù)相加的和均相等.如果將方陣圖中的每個數(shù)都加上同一個數(shù)，那么方陣中每行的3個數(shù)，每列的3個數(shù)，斜對角的3個數(shù)相加的和仍然相等，這樣就形成了一個新的方陣圖.根據(jù)下圖中給出的數(shù)，對照原來的方陣圖，你能完成下面的方陣圖嗎？5.給出20個數(shù)：89，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.則它們的和是()A.1789 B.1799C.1879 D.18016.一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，……依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時，落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是________個單位.7.計算：(1)－14(2)8.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行拔河比賽，標(biāo)志物先向乙隊(duì)方向移動了0.2米，又向甲隊(duì)方向移動了0.5米，相持一會后，又向乙隊(duì)方向移動了0.4米，隨后又向甲隊(duì)方向移動了1.3米，在大家的歡呼鼓勵中，標(biāo)志物又向甲隊(duì)方向移動了0.9米，若規(guī)定標(biāo)志物向某隊(duì)方向移動2米該隊(duì)即可獲勝，那么現(xiàn)在誰贏了？用算式說明你的判斷.實(shí)戰(zhàn)提高一、選擇題1.如果|x|＝4，|y|＝3，則x－y的值是（）A.±7 B.±1 C.±7或±1 D.7或12.已知：a＜0，b＞0，用|a|與|b|表示a與b的差是（）A.|a|－|b| B.－（|a|－|b|） C.|a|＋|b| D.－（|a|＋|b|）3.如果a＜0，那么a和它的相反數(shù)的差的絕對值等于（）A.－2a B.－a C.0 D.a4.1997個不全相等的有理數(shù)之和為零，則這1997個有理數(shù)中（）A.至少有一個為零 B.至少有998個正數(shù)C.至少有一個是負(fù)數(shù) D.至少有1995個負(fù)數(shù)5.被減數(shù)、減數(shù)都是負(fù)數(shù)，則差一定是 （ ）A.正數(shù) B.零 C.負(fù)數(shù) D.以上情況都有可能6.的相反數(shù)是 （ ）A. B. C. D.7.根據(jù)交換律，由式子－a+b－c可得 （ ）A.b－a+c B.－b+a+c C.b－a－c D.－b+a－c8.下列代數(shù)式的和等于4的是 （ ）A. B.C. D.二、填空題1.在－13與23之間插入三個數(shù)，使這5個數(shù)中每相鄰兩個數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)之間的距離相等，則這三個數(shù)的和是。2.1－2＋3－4＋5－6＋…－100＋101＝__________。89＋899＋8999＋89999＋899999＝__________。3.已知|+3|+，那么y－x= 。4.一個負(fù)數(shù)減去它的相反數(shù)，其結(jié)果是 數(shù)。三、簡答題1.2.4.1＋2＋3＋…＋1997＋1998＋19995．觀察下列兩組等式：根據(jù)你的觀察，先寫出猜想：(1)()－() (2)()×()然后，用簡單方法計算下列各題：(1) (2)(3) (4)6．若｜x｜＝x，并且｜x－3｜＝3－x，請求出所有符合條件的整數(shù)x的值，并計算這些值的和．7．已知m，n為整數(shù)，且｜m－2｜＋｜m－n｜＝1，求m＋n的值．8.某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進(jìn)為正，后退為負(fù)，某天自O(shè)地出發(fā)到收工時所走路線（單位：千米）為：+10、－3、+4、+2、－8、+13、－2、+12、+8、+5 （1）收工時距O地多遠(yuǎn)？ （2）若每千米耗油0.2升，從O地出發(fā)到收工時共耗油多少升？9.小張上周末買進(jìn)股票1000股，每股20元，下表為本周每日股票的漲跌的情況。星期一二三四五每股漲跌+4+5－1－3－6（1）到本周三，小張所持股票每股多少元？ （2）本周內(nèi)，股價最高出現(xiàn)在星期幾？是多少元？（3）已知小張買進(jìn)股票時付了1.5‰的手續(xù)費(fèi)，賣出時需付成交額1.5‰的手續(xù)費(fèi)和3‰的交易稅，如果小張在本周末賣出全部股票，他收益如何？有理數(shù)的加減法練習(xí)題——提高題1、若是有理數(shù)，則的值()A、可能是正數(shù)B、一定是正數(shù)C、不可能是負(fù)數(shù)D、可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)2、若的值為()A、正數(shù)B、負(fù)數(shù)C、0D、非正數(shù)3、如果，()A、互為相反數(shù)B、m＝n,且n≥0C、相等且都不小于0D、m是n的絕對值4、下列等式成立的是()A、 B、＝0C、 D、－＝05、若，則的值是()A、5B、1C、－1D、－56、在數(shù)軸上，表示的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的右邊，且，則的值為()Ａ．－3 Ｂ．－9 Ｃ．－3或－9 Ｄ．3或97、兩個數(shù)的差為負(fù)數(shù),這兩個數(shù)()A、都是負(fù)數(shù)B、兩個數(shù)一正一負(fù)C、減數(shù)大于被減數(shù)D、減數(shù)小于被減數(shù)6、負(fù)數(shù)a與它相反數(shù)的差的絕對值等于()A、0B、的2倍C、－的2倍D、不能確定8、下列語句中，正確的是()A、兩個有理數(shù)的差一定小于被減數(shù)B、兩個有理數(shù)的和一定比這兩個有理數(shù)的差大C、絕對值相等的兩數(shù)之差為零D、零減去一個有理數(shù)等于這個有理數(shù)的相反數(shù)9、對于下列說法中正確的個數(shù)()①兩個有理數(shù)的和為正數(shù)時，這兩個數(shù)都是正數(shù)②兩個有理數(shù)的和為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)都是負(fù)數(shù)③兩個有理數(shù)的和，可能是其中的一個加數(shù)④兩個有理數(shù)的和可能等于0A、1B、2C、3D、410、有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則()－－110abA、a＋b＝0B、a＋b＞0C、a－b＜0D、a－b＞011、下列各式中與的值不相等的是()A、 B、C、 D、12、下列各式與a－b＋c的值相等的是()A．a(chǎn)－(b＋c)B．c＋(a＋b)C．c－(b－a)D．a(chǎn)＋(b＋c)13、用式子表示引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算，正確的是()A、a＋b－c＝a＋b＋cB、a－b＋c＝a＋b＋cC、a＋b－c＝a＋(－b)＝(－c)D、a＋b－c＝a＋b＋(－c)14、若，則以下四個結(jié)論中，正確的是()A、一定是正數(shù)B、可能是負(fù)數(shù)C、一定是正數(shù)D、一定是正數(shù)15、若a、b為有理數(shù)，a與b的差為正數(shù)，且a與b兩數(shù)均不為0，那么()A、被減數(shù)a為正數(shù)，減數(shù)b為負(fù)數(shù)B、a與b均為正數(shù)，切被減數(shù)a大于減數(shù)bC、a與b兩數(shù)均為負(fù)數(shù)，且減數(shù)b的絕對值大D、以上答案都可能16、若a、b表示有理數(shù)，且a>0，b＜0，a＋b＜0，則下列各式正確的是()A、－b＜－a＜b＜aB、－a＜b＜a＜－bC、b＜－a＜－b＜aD、b＜－a＜a＜－b17、下列結(jié)論不正確的是()A、若，，則B、若，，則C、若，，則D、若，，且，則18、若，時，，，，中，最大的是()A、 B、C、D、19、數(shù)m和n，滿足m為正數(shù)，n為負(fù)數(shù)，則m，m－n，m＋n的大小關(guān)系是()A、m＞m－n＞m＋nB、m＋n＞m＞m－nC、m－n＞m＋n＞mD、m－n＞m＞m＋n20、如果a＜0，那么a和它的相反數(shù)的差的絕對值等于()A、a B、0 C、－a D、－2a21、若，則下列各式中正確的是()A、 B、C、 D、22、在數(shù)軸上，點(diǎn)x表示到原點(diǎn)的距離小于3的那些點(diǎn)，那么等于()A、6 B、－2x C、－6 D、2x23、如果a、b是有理數(shù)，則下列各式子成立的是()A、如果a＜0，b＜0，那么a＋b＞0B、如果a＞0,b＜0,那么a＋b＞0C、如果a＞0,b＜0,那么a＋b＜0D、如果a＜0,b＞0,且︱a︱＞︱b︱,那么a＋b＜024、已知a＜c＜0，b>0，且|a|>|b|>|c|，則|a|＋|b|－|c|＋|a＋b|＋|b＋c|＋|a＋c|等于()A、－3a＋b＋cB、3a＋3b＋cC、a－b＋2cD、－a＋3b－3c25、填上適當(dāng)?shù)姆?，使下列式子成?(1)(_____5)＋(－15)＝－10；(2)(－3)＋(_____3)＝0；(3)(_____)＋(－3)＝－1.26、若有理數(shù)a＞0，b＜0，則四個數(shù)a＋b，a－b，－a＋b，－a－b中最大的是，最小的是．27、已知．28、三個連續(xù)整數(shù)，中間一個數(shù)是a，則這三個數(shù)的和是___________．29、若，，且，，則＝________．30、當(dāng)時，、、中最大的是_______，最小的是_______．31、若，那么等于___________．32、若數(shù)軸上，Ａ點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為－5，B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是7，則A、B兩點(diǎn)之間的距離是．33、若x＋m＝n，則x＝______；若x－m＝n，則x＝_______．34、有若干個數(shù)，第一個數(shù)記為a1,第二個數(shù)記為a2,第3個數(shù)記為a3,…,第n個數(shù)記為an,若a1＝－0.5，從第二個數(shù)起，每個數(shù)都等于“1”與它前面的那個數(shù)的差的倒數(shù)。（1）計算：a2＝，a3＝，a4＝；（2）根據(jù)以上計算的結(jié)果，請寫出a2009－a2011＝．35、若異號，則___________．36、用“＞”或“＜”號填空：有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖：ccab0則a＋b＋c______0；|a|______|b|；a－b＋c______0；a＋c＿＿＿b；c－b＿＿＿a；37、如果|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝a＋b，則a－b的值是．38、觀察下列的排列規(guī)律，其中( ●是實(shí)心球，○是空心球)……從第1個球起到第2011個球上，共有實(shí)心球個．39、分別輸入－1，－2，按圖所示的程序運(yùn)算，則輸出的結(jié)果依次是、．輸入輸入輸出－5－(－3)＋440、已知，，．(1)你能判斷是正數(shù)還是負(fù)數(shù)嗎？(2)試求和的值．41、如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置，化簡：|a－b|－|b－c|＋|c－a|。ccab042、已知有理數(shù)a、b滿足：a＜0，b＞0且，化簡．43、一個小吃店去超市買10袋面粉，這10袋面粉的重量分別為：24.8千克，25.1千克，24.3千克，24.6千克，25.5千克，25.3千克，24.9千克，25.0千克24.7千克，25.1千克，你能很快就求出這10袋面粉的總重量嗎？44、下表列出國外幾個城市與北京的時差(帶正號的數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù))．城市東京巴黎紐約芝加哥時差(時)＋1－7－13－14如果現(xiàn)在時間是北京時間上午8∶30，那么現(xiàn)在的紐約時間是多少？東京時間是多少？小兵現(xiàn)在想給遠(yuǎn)在巴黎的爸爸打電話，你認(rèn)為合適嗎？45、有依次排列的3個數(shù)：3、9、8，對相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，－1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后，也可以產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8.繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作100次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？有理數(shù)的加減法（課后作業(yè)）一、選擇題：1、在這3個數(shù)中，任意兩數(shù)之和的最小值是（）A、0B、