巧用數(shù)形結(jié)合思想解二次函數(shù)中的問(wèn)題_第1頁(yè)
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巧用數(shù)形結(jié)合思想解二次函數(shù)中的問(wèn)題摘要:數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù),以數(shù)解形”兩個(gè)方面,已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)的特色之一,它使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀,是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一,是一種基本的數(shù)學(xué)方法。本文通過(guò)例題分析了解“數(shù)形結(jié)合思想”來(lái)解決二次函數(shù)中的問(wèn)題,因?yàn)榇祟?lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是若僅進(jìn)行代數(shù)推理,亦能解決,但運(yùn)算繁、技巧強(qiáng)、難度大若以形助數(shù),則運(yùn)算簡(jiǎn)、技巧弱、難度小。關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合思想二次方程和不等式二次函數(shù)由于初中的“二次函數(shù)”的問(wèn)題,歷年來(lái)都是中考的熱點(diǎn),因此,我從用“數(shù)形結(jié)合”思維思想來(lái)談一談這些問(wèn)題。一、數(shù)形結(jié)合思想概述法國(guó)著名的自然辨證哲學(xué)家恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素,數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線(xiàn),并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面。借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化,給人以直覺(jué)的啟示。另一方面,將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換,相互滲透,不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)潔明快,而且可以大大開(kāi)拓我們的解題思路,為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟一條重要的途徑.因此,數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法.而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想,它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂教學(xué)中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。有利于突破教學(xué)難點(diǎn),有利于動(dòng)態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系,營(yíng)造愉快的課堂教學(xué)氣氛,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué).“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個(gè)方面.一直就是一對(duì)矛盾體。正如矛和盾總是同時(shí)存在一樣.有“數(shù)”必有“形”,有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說(shuō):“數(shù)與形本是相倚依,怎能分作兩邊飛,數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微.?dāng)?shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休。切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體。永遠(yuǎn)聯(lián)系.切莫分離!”寥寥數(shù)語(yǔ),把數(shù)形之妙說(shuō)得淋漓盡致.“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想,它在初、高中都是解決許多問(wèn)題得重要思想,特別是在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位,關(guān)于這一點(diǎn),我們只要翻閱近年高考試卷就可以一目了然。在多年來(lái)的高考題中,數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛.大多是“以形助數(shù)”,比較常見(jiàn)的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問(wèn)題、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問(wèn)題中,與此同時(shí)“數(shù)形結(jié)合”思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用在中、高考命題中解決問(wèn)題也成了必不可少的部分,也是平時(shí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)解決應(yīng)用問(wèn)題的一個(gè)重點(diǎn)。巧妙運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題.可以化抽象為具體,達(dá)到事半功倍的效果。二、二次函數(shù)與系數(shù)之間的關(guān)系,,00cf(0)10b020c所以b2c5b0c2①②③④。由①、②、④得20c≤b≤100,0<c<5,所以當(dāng)c=1時(shí),有②、③得:0<b<6且b2≥20,得b=5;2當(dāng)c=2時(shí),0<b<7且b≥40,此時(shí)b無(wú)整數(shù)解;當(dāng)c=3時(shí),0<b<8且b2≥60,此時(shí)b無(wú)整數(shù)解;當(dāng)c=4時(shí),0<b<9且b2≥80,此時(shí)b無(wú)整數(shù)解;所以b=5,c=10。四、數(shù)形結(jié)合可以求得平移后的拋物線(xiàn)解析式,比較函數(shù)值的大小。例1:如圖2,把此拋物線(xiàn)線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,則該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的解析式為:。若把新的拋物線(xiàn)再向右平移2個(gè)單位,向下平移3個(gè)單位,則此時(shí)拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為:。解:1、由于是繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)不變,對(duì)稱(chēng)軸不變,所以設(shè)原拋物線(xiàn)的解析式為:Y=a(x+1)2+4,又因?yàn)檫^(guò)了A點(diǎn)(1,0),帶入解析式得到:a=-1,所以原函數(shù)的解析式為:Y=-(x+1)2+4,故繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,只有開(kāi)口變了,所以新函數(shù)的解析式為:Y=(x+1)2+4。2、因?yàn)閽佄锞€(xiàn)圖象的平移本質(zhì)上是把握點(diǎn)的平移。只要把握好規(guī)律,結(jié)合圖形的變換,做到做“+”右“-”,上“-”下“+”這樣就很容易得到此時(shí)的函2數(shù)解析式:Y=(x-1)-1。例2:若A(-1,y1),B(-2,y2)是拋物線(xiàn)上y=a(x-1)2+c(a>0)上的兩點(diǎn),則y1<y2(填<,>或=)。變式1:若A(-1,y1),B(4,y2)是拋物線(xiàn)上y=a(x-1)2+c(a>0)上的兩點(diǎn),則y1<y2(填<,>或=)。變式2:若A(m,y1),B(m+2,y2)是拋物線(xiàn)上2y=a(x-1)+c(a>0)上的兩點(diǎn),當(dāng)m取何值時(shí),y1=y2?y1>y2?解:因?yàn)椋幔荆?,開(kāi)口向上,又從圖中看到x=1是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)方向,所以c<0,所以得出:當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小。因此:(1)因?yàn)椋玻迹保迹?,所以y1<y2;(2)因?yàn)椋保迹埃迹?,所以y1<y2;(3)要使y1=y2,則|x1-x2|=1,即是x1、x2關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),所以就有:m-(m-2)=1,解得:m∈R,所以無(wú)論m取何值,y1=y2;很明顯m<m+2,要得到y1>y2,從圖像可知:在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè),則只要m≥1就行。五、從函數(shù)的“形”到方程的“數(shù)”,使推理判斷更準(zhǔn)確例1.如圖,一小孩將一只皮球從A處拋出去,它所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是某個(gè)二次函數(shù)圖像的一部分,如果他的出手處A距地面的距離OA為1m,球路的最高點(diǎn)B(8,9),則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為,小孩將球拋出了約米(精確到0.1m)。解:由題意和圖像可可知,設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=a(x-8)2+9,將點(diǎn)A(0,1)代入,得a=-1/8。所以該二次函數(shù)的解析式為:y=-1/8(x-8)2+9=-1/8x2+2x+1,令y=0,則有-1/8x2+2x+1=0,解得:62,62,所以C(88A0),x16.5(米)O628OC注:從“形”到“數(shù)”的問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意觀察函數(shù)圖像的形狀特征,充分挖掘圖像的已知條件,確定函數(shù)的解析式,從而利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解。六、“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的綜合應(yīng)用例1:市“健益”超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品,如果以30元/千克銷(xiāo)售,那么每天可售出400千克.由銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)知,每天銷(xiāo)售量v(千克)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)(x≥30)存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式。(1)試求出v與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)設(shè)“健益”超市銷(xiāo)售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)P元,當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為何值時(shí),每天可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,該綠色食品每天可獲利潤(rùn)不超過(guò)4480元.現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4180元,請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷(xiāo)售單價(jià)x的范圍。解:(1)設(shè)y=kx+b,由圖像可知,1000b200b40k-20,解得k400b30k所以一次函數(shù)的表達(dá)式為:y=-20x+1000,(30≤x≤50)。(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+lO00)=-20x2+1400x-20000又因?yàn)閍=一20<0,所以P有最大值。(或通過(guò)配方,P一20(x一35)+4500,也可求得最大值)答:當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為35元/千克時(shí),每天可獲得最大利潤(rùn)4500元。(3)因?yàn)?180≤-20(x-35)+4500≤4480,1≤(x一35)≤16,所以31≤x≤34或36≤x≤39。注:在解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),要注意“由數(shù)想形,以形助數(shù)”的方法,充分挖掘題目中的已知條件,從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。(-20)14004500元235時(shí),pmax當(dāng)x七、結(jié)語(yǔ)在學(xué)習(xí)二次函數(shù)中“數(shù)”、“形”并進(jìn),讓學(xué)生見(jiàn)“數(shù)”想到“形”。見(jiàn)“形”不忘“數(shù)”。在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過(guò)程中,必須遵循下述原則:轉(zhuǎn)化等價(jià)原則;數(shù)形互補(bǔ)原則;求解簡(jiǎn)單原則。當(dāng)然在在用數(shù)形結(jié)合的思想解決“二次函數(shù)”中的問(wèn)題時(shí),還應(yīng)掌握以下幾點(diǎn):1.善于觀察圖形,以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。2.正確繪制圖形,以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。3.切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以圖識(shí)性,以性識(shí)圖??傊?,二次函數(shù)的問(wèn)題,在數(shù)形結(jié)合中來(lái)解決就顯得不是那么的難,都是“二次方程、不等式”的“數(shù)”與二次函數(shù)的“形”之間相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)與形的結(jié)合就是解決二次函數(shù),以及所有函數(shù)問(wèn)題得一雙慧眼。參考文獻(xiàn):[1]姚立新.?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用[J],2005,1.[2]蔡?hào)|興.?dāng)?shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué),2009,2.[

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