【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版-選修1-1)課時(shí)作業(yè)第二章-2.2.2

2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.把握雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì).2.了解雙曲線的漸近性及漸近線的概念.3.把握直線與雙曲線的位置關(guān)系．1．雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)＝______，虛軸長(zhǎng)＝______離心率漸近線2.直線與雙曲線一般地，設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線C相交于________．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2Δ>0?直線與雙曲線有________公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相交；Δ＝0?直線與雙曲線有________公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相切；Δ<0?直線與雙曲線________公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相離．一、選擇題1．下列曲線中離心率為eq\f(\r(6),2)的是()A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,10)＝12．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(2,5)xB．y＝±eq\f(5,2)xC．y＝±eq\f(4,25)xD．y＝±eq\f(25,4)x3．雙曲線與橢圓4x2＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y＝eq\r(2)x，則雙曲線的方程為()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(1,2)x5．直線l過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)題號(hào)123456答案二、填空題7．兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是eq\f(5,2)，一個(gè)等比中項(xiàng)是eq\r(6)，且a>b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且a＝10，c－b＝6，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的軌跡方程是________________．9．與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，2eq\r(3))的雙曲線方程為_(kāi)_________．三、解答題10．依據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，3))，且一條漸近線為4x＋3y＝0；(2)P(0,6)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線相互垂直，與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為eq\f(π,3).11．設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1上兩點(diǎn)A、B，AB中點(diǎn)M(1，2)，求直線AB的方程．力氣提升12．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3)＋1,2)D．eq\f(\r(5)＋1,2)13．設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；（2）若設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．1．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)既關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，又關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；其頂點(diǎn)為(±a，0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b；其上任一點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)均滿足|x|≥a.2．雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)的取值范圍是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，離心率e越大，雙曲線的開(kāi)口越大．可以通過(guò)a、b、c的關(guān)系，列方程或不等式求離心率的值或范圍．3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，也可記為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0；與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．2．2.2雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)答案學(xué)問(wèn)梳理1.標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)＝2a，虛軸長(zhǎng)＝2離心率e＝eq\f(c,a)(e>1)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2.(1)一點(diǎn)(2)兩個(gè)一個(gè)沒(méi)有作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[∵e＝eq\f(\r(6),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).]2．A3．C[由于橢圓4x2＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，又由漸近線方程為y＝eq\r(2)x，得eq\f(a,b)＝eq\r(2)，即a2＝2b2，又由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝a2＋b2，得a2＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(1,4)，又由于焦點(diǎn)在y軸上，因此雙曲線的方程為2y2－4x2＝1.故選C.]4．C[由題意知，2b＝2,2c＝2eq\r(3)，則b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(2)；雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.]5．C[點(diǎn)(eq\r(2)，0)即為雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，另過(guò)該點(diǎn)且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2所以|PF2|＝eq\f(2a,3)≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3則eq\f(c,a)≤eq\f(5,3).]7.eq\f(\r(13),3)解析a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值為2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝eq\r(13)，從而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).8.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)解析以BC所在直線為x軸，BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，其方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．9.eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1解析∵所求雙曲線與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有相同的漸近線，∴可設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)．∵點(diǎn)(－3,2eq\r(3))在雙曲線上，∴λ＝eq\f(－32,9)－eq\f(2\r(3)2,16)＝eq\f(1,4).∴所求雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.10．解(1)因直線x＝eq\f(15,4)與漸近線4x＋3y＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))2,a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)設(shè)F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)．依題意，它的焦點(diǎn)在x軸上．由于PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以又P與兩頂點(diǎn)連線夾角為eq\f(π,3)，所以a＝|OP|·taneq\f(π,6)＝2eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1.11．解方法一(用韋達(dá)定理解決)明顯直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k,x2－\f(y2,2)＝1))得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，當(dāng)Δ>0時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k2－k,2－k2)，∴k＝1，滿足Δ>0，∴直線AB的方程為y＝x＋1.方法二(用點(diǎn)差法解決)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1))，兩式相減得(x1－x2)(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(y1－y2)(y1＋y2)．∵x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2x1＋x2,y1＋y2)，∴kAB＝eq\f(2×1×2,2×2)＝1，∴直線AB的方程為y＝x＋1，代入x2－eq\f(y2,2)＝1滿足Δ>0.∴直線AB的方程為y＝x＋1.12.D[設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．]13．解(1)由雙曲線C與直線l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有兩個(gè)不同的解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,Δ＝4a4＋8a21－a2>0，))解得－eq\r(2)<a<eq\r(2)且a≠±1.又∵a>0，∴0<a<eq\r(2)且a≠1.∵雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，∴0<a<eq\r(2)，且a≠1，∴e>eq\f(\r(6),2)且e≠eq\r(2).∴雙曲線C的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，