畢奧- 薩伐爾定律

畢奧-薩伐爾定律1820年10月30日，在奧斯特電流磁效應(yīng)發(fā)表不到三個(gè)月之后，兩位法國(guó)物理學(xué)家畢奧和薩伐爾在法國(guó)科學(xué)院發(fā)表文章，揭示電流與磁效應(yīng)之間的關(guān)系.他們用實(shí)驗(yàn)的方法逐點(diǎn)測(cè)量長(zhǎng)直線電流所激發(fā)的磁場(chǎng)和圓電流圓心處的磁場(chǎng)各場(chǎng)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.實(shí)驗(yàn)表明磁場(chǎng)中每點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都與產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流成正比，而與該點(diǎn)離電流的距離成反比.后經(jīng)拉普拉斯、安培等人從數(shù)學(xué)上證明，從理論上抽象，得出畢奧-薩伐爾定律，這個(gè)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表述電流元激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律.電流元一、在靜電場(chǎng)中為了求任意帶電體周?chē)滁c(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E，曾將帶電體先分成無(wú)限多個(gè)電荷元dq，計(jì)算出每個(gè)電荷元在該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度dE，再根據(jù)場(chǎng)的疊加原理將所有電荷元在該點(diǎn)的dE疊加，即得到帶電體在該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E.實(shí)驗(yàn)表明，磁場(chǎng)也服從疊加原理，因此對(duì)于載流導(dǎo)線來(lái)說(shuō)，可以仿此思路，把載流導(dǎo)線分成無(wú)限多個(gè)小段，每個(gè)小段Idl為電流元.這樣，載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中某點(diǎn)所激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，就是該導(dǎo)線的所有電流元在該點(diǎn)的dB的疊加.圖9-10所示為電流強(qiáng)度為I的線電流，它的線元為dl，其方向與電流I在該處的方向一致，并稱Idl為電流元，它是矢量，其單位為安·米（A·m）.電流元可作為計(jì)算電流磁場(chǎng)的基本單元.圖9-10電流元畢奧-薩伐爾定律的內(nèi)容二、根據(jù)畢奧和薩伐爾的試驗(yàn)結(jié)果，可假設(shè)電流元Idl在距離為r的空間場(chǎng)點(diǎn)P引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的大小，與電流元Idl的大小成正比，與電流元Idl到P點(diǎn)的距離r的平方成反比.拉普拉斯的研究結(jié)果證實(shí)了這個(gè)想法，從而得到了電流元Idl在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，稱為畢奧-薩伐爾定律，簡(jiǎn)稱畢-薩定律，具體表述為(1)穩(wěn)恒電流在空間激發(fā)的磁場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的，即為靜磁場(chǎng)或穩(wěn)恒磁場(chǎng)，各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān).(2)如前所述，由于電流元不能孤立存在，該定律不能由實(shí)驗(yàn)直接加以證明，但由此定律出發(fā)計(jì)算出的一些特殊形式的[HTH]載流回路[HT]所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)論吻合，間接證明了該定律的正確性.如圖9-11所示，試求電流元Idl周?chē)臻g的磁感應(yīng)強(qiáng)度.解：計(jì)算電流元Idl周?chē)臻g的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB.根據(jù)畢-薩定律先計(jì)算dB的大小，即【例9-1】與靜電場(chǎng)中從點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和電場(chǎng)疊加原理出發(fā)求帶電體的電場(chǎng)分布的基本思想類(lèi)似，如果我們將電流視為許多電流元的集合，由畢-薩定律得出各電流元在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)，就可以由磁場(chǎng)疊加原理求出整個(gè)電流激發(fā)磁場(chǎng)的分布.下面按照這個(gè)思路來(lái)計(jì)算幾種典型電流的磁場(chǎng)分布.圖9-11例9-1圖典型電流的磁場(chǎng)計(jì)算——畢-薩定律的應(yīng)用三、電流磁場(chǎng)的計(jì)算類(lèi)似于帶電體電場(chǎng)分布的計(jì)算，用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算磁場(chǎng)中各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的具體步驟如下：首先，將載流導(dǎo)線劃分為一段段電流元，任選一段電流元Idl，并標(biāo)出Idl到場(chǎng)點(diǎn)P的位矢r，確定兩者的夾角θ（Idl，r）.其次，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，求出電流元Idl在場(chǎng)點(diǎn)P所激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的大小，并由右手螺旋法則決定dB的方向.再次，建立坐標(biāo)系，將dB在坐標(biāo)系中分解，并用磁場(chǎng)疊加原理進(jìn)行對(duì)稱性分析，以簡(jiǎn)化計(jì)算步驟.最后，就整個(gè)載流導(dǎo)線對(duì)dB的各個(gè)分量分別積分.一般在直角坐標(biāo)系中有對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行矢量合成，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B，即B=Bxi+Byj+Bzk

下面具體計(jì)算兩種典型電流的磁場(chǎng).直線電流的磁場(chǎng)1.設(shè)直線電流強(qiáng)度為I，試計(jì)算到直線電流距離為a的任意一場(chǎng)點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度.如圖9-12所示，在直線電流上到O點(diǎn)的距離為l處任取一電流元Idl，它到P點(diǎn)的位矢為r，由Idl轉(zhuǎn)到r的角度為θ.根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，電流元Idl在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為根據(jù)右手螺旋法則,可知所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)dB的方向均垂直于紙面向內(nèi)，直線電流在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向也應(yīng)垂直紙面向內(nèi).如圖9-12所示.因此，總磁感應(yīng)強(qiáng)度B的矢量積分可化為標(biāo)量積分圖9-12直線電流的磁場(chǎng)（1）若直線電流為無(wú)限長(zhǎng)，即θ1=0,θ2=π，則(9-13)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.無(wú)限長(zhǎng)直線電流是一個(gè)理想模型，在實(shí)際問(wèn)題中，若直線電流的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于到場(chǎng)點(diǎn)P的距離a，此時(shí)直線電流就可視為無(wú)限長(zhǎng).直線外到帶電直線距離相等的各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B，其大小都相等，方向沿每點(diǎn)的切向，人們稱無(wú)限長(zhǎng)直線電流在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性.（2）若直線電流為半無(wú)限長(zhǎng)，即θ1=0，θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），則P點(diǎn)的B的大小為（3）P點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，θ=0或θ2=π，dB=0,B=0.圓電流在其軸線上的磁場(chǎng)2.設(shè)圓電流（載流線圈）半徑為R,通有電流I，試計(jì)算它在其軸線上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度.如圖9-13所示，建立坐標(biāo)系.任取電流元Idl，由畢-薩定律計(jì)算出dB的大小為圖9-13圓電流軸線上的磁場(chǎng)圓電流上任意電流元Idl在P點(diǎn)激發(fā)磁場(chǎng)的大小因距離r相同而相等，但不同電流元的dB的方向不同.如圖9-13所示.其方向沿x軸正方向，與電流成右手螺旋關(guān)系.在軸線另一側(cè)，B的方向也是相同的.（1）圓心處的磁場(chǎng)，x=0處為

（9-15）

圓電流圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零，而均勻帶電細(xì)圓環(huán)圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度卻為零，說(shuō)明磁場(chǎng)與電場(chǎng)的性質(zhì)不同.（2）圓心角為θ的圓弧電流在圓心O激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(3)當(dāng)x>R，即P點(diǎn)遠(yuǎn)離圓電流時(shí)，該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為圓電流的磁矩3.當(dāng)圓電流的半徑很小或討論遠(yuǎn)離圓電流處的磁場(chǎng)分布時(shí)，圓電流激發(fā)的磁場(chǎng)類(lèi)似于電偶極子激發(fā)的電場(chǎng)，因此可仿照電場(chǎng)中的電偶極子，把圓電流稱為磁偶極子，其激發(fā)的磁場(chǎng)稱為磁偶極子磁場(chǎng).用電偶極矩描述電偶極子的特征，同樣描述磁偶極子可引入特征量磁偶極矩（簡(jiǎn)稱磁矩），即Pm=ISen

（9-16）式中，en為圓電流法線方向的單位矢量，I為圓電流中的電流強(qiáng)度，S為圓電流平面包圍的面積，Pm的方向沿圓電流的法向如圖9-14所示.若電流回路為N匝線圈，則載流線圈的總磁矩為Pm=NISen.引入磁偶極矩的概念后，磁