電磁場與麥克斯韋方程組

電磁場與麥克斯韋方程組大家知道，靜電場和穩(wěn)恒磁場是各自獨立、互不相關的.但是，激發(fā)靜電場和穩(wěn)恒磁場的源——電荷和電流卻是相互關聯(lián)的，這就可以聯(lián)想到電場和磁場之間也一定存在著相互聯(lián)系、相互制約的關系.既然電流能夠激發(fā)磁場，那么能不能利用磁場來產(chǎn)生電流呢?為此歷史上曾進行了許多實驗研究，終于發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象，即當穿過閉合導體回路中的磁通量發(fā)生變化時，回路中就出現(xiàn)了電流.這一重大發(fā)現(xiàn)不僅闡明了變化磁場能夠激發(fā)電流這一關系，還進一步揭示了電與磁的內在聯(lián)系，促進了電磁理論的發(fā)展，在科學和技術上產(chǎn)生了極其重要的影響.根據(jù)電磁感應原理，人們設計并制成了發(fā)電機、感應電動機和變壓器等電力設備，為現(xiàn)代化大規(guī)模生產(chǎn)、傳輸和使用電能開辟了道路，成為第二次工業(yè)革命的開端，使人類邁向了電氣化時代.1865年，麥克斯韋又在前人研究的基礎上，提出了渦旋電場和位移電流的假設，進一步闡述了變化著的電場和磁場可以互相激發(fā)產(chǎn)生，并提出了電場和磁場是一個統(tǒng)一的整體——電磁場的理論.麥克斯韋根據(jù)電磁場理論還預言了電磁波的存在，并計算出電磁波的傳播速度等于光速.他的這一預言不僅被赫茲的實驗所證實，而且得到了廣泛的應用.本章將首先討論電磁感應的基本定律，然后討論感應電動勢產(chǎn)生的機理、磁場能量等問題.并在靜電場、穩(wěn)恒磁場和電磁感應研究的基礎上，介紹統(tǒng)一的電磁場概念和麥克斯韋方程組.電磁感應實驗現(xiàn)象一、1820年，奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應，從一個側面揭示了長期以來一直被認為彼此獨立的電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系.既然電流可以激發(fā)磁場，人們自然想到，磁場是否也能產(chǎn)生電流?于是，許多科學家開始對這個問題進行探索和研究.法拉第年輕時，一直堅信自然界的一切力都應當是相互聯(lián)系的，并且能相互轉化.在得知穩(wěn)恒電流能激發(fā)穩(wěn)恒磁場的消息后，他制定了穩(wěn)恒磁場也應該能夠產(chǎn)生電流的研究思路，依據(jù)這個思路他做了大量的實驗，但所有實驗均失敗了.電流的周圍存在磁場，而磁鐵的周圍卻沒有電流，研究磁場產(chǎn)生電流的問題存在著更大的困難.圖10-1為法拉第最早成功的電磁感應實驗.他把兩個線圈繞在一個鐵環(huán)的兩邊，線圈A接直流電源，線圈B的兩端用一根較長的銅導線連接起來.在離鐵環(huán)較遠處的銅導線附近放一個小磁針.他發(fā)現(xiàn)，每當閉合開關S，線圈A通電時，小磁針立即明顯擺動，隨后穩(wěn)定在平衡位置上.當切斷線圈A與電源的連接時，小磁針又出現(xiàn)來回擺動的現(xiàn)象.這表明，在線圈通電和斷電的瞬間，線圈B中有電流產(chǎn)生，這種現(xiàn)象稱為電磁感應現(xiàn)象.圖10-1法拉第最早的電磁感應實驗為了深入研究電磁感應現(xiàn)象，法拉第等人還做過許多其他實驗，大致可以歸納為兩類.一類是當一個不含電源的閉合導體回路與磁鐵，如圖10-2(a)所示，或另一個載流線圈，有相對運動時，閉合回路中出現(xiàn)電流，如圖10-2(b)所示；另一類是當一個線圈中的電流發(fā)生變化時，在它附近的另一個不含電源的閉合導體回路中出現(xiàn)電流，如圖10-2(c)所示.圖10-2兩類電磁感應現(xiàn)象而且這兩類實驗可以用一個統(tǒng)一的思想加以描述，那就是當穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化時，閉合回路中出現(xiàn)電流.這種電流并不是與原電流本身有關，而是與原電流的變化有關.法拉第將這種現(xiàn)象與靜電感應類比，稱為電磁感應現(xiàn)象，將所產(chǎn)生的電流稱為感應電流，感應電流的出現(xiàn)說明回路中有電動勢存在，這種電動勢稱為感應電動勢.楞次定律二、1833年，俄國物理學家楞次在法拉第實驗的基礎上，總結出一條可以直接判斷感應電流方向的定律.閉合回路中感應電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場來阻礙引起感應電流的磁通量的變化，這個規(guī)律稱為楞次定律.這里，所謂阻礙磁通量的變化是指當磁通量增加時，感應電流的磁通量與原來的磁通量方向相反，阻礙它增加；當磁通量減小時，感應電流的磁通量與原來的磁通量方向相同，阻礙它減少.用楞次定律判斷感應電流方向的步驟是：首先判斷穿過閉合回路的磁通量的方向，磁通量是增加還是減少；然后根據(jù)楞次定律來確定感應電流所激發(fā)的磁場的方向，與原來的磁場反向還是同向；最后根據(jù)右手螺旋法則從感應電流產(chǎn)生的磁場方向確定感應電流的方向.下面以磁鐵移向線圈為例具體說明這個過程.在圖10-3(a)中，當磁鐵插入線圈時，穿過線圈的磁通量增加，按照楞次定律，感應電流激發(fā)的磁通量應與原磁通量反向；再根據(jù)右手螺旋法則，可知感應電流的方向如導線中箭頭所示.相反，當磁鐵拔出時，穿過線圈的磁通量在減少，感應電流的方向如圖10-3(b)所示.當穿過閉合的導線回路所包圍的面積的磁通量發(fā)生變化時，在回路中就會產(chǎn)生感應電流，此感應電流使它自己所產(chǎn)生的磁場穿過回路面積的磁通量，去抵償引起感應電流的磁通量.圖10-3磁通量增減與感應電流的方向楞次定律也可以用另一種方式來表述，感應電流的方向，總是使感應電流產(chǎn)生的效果，反抗引起感應電流的原因.同樣是圖10-3(a)所示的實驗，當磁鐵向左插入線圈時，線圈也相當于一個磁鐵，N極向右，與磁鐵的N極相對，兩個同性磁極互相排斥，其效果是反抗磁鐵插入.而在圖10-3(b)所示的實驗中，當磁鐵拔出時，感應電流使線圈的S極出現(xiàn)在右端，它與磁鐵的N極互相吸引，其效果是阻礙磁鐵拔出.在并不要求具體確定感應電流方向，只需判明感應電流引起的效果問題上，使用楞次定律的第二種表述更為方便.楞次定律實質上是能量守恒定律在電磁感應中的具體體現(xiàn).例如，當磁棒和線圈做相對運動而產(chǎn)生感應電流時，感應電流在線圈中流動將放出焦耳熱.根據(jù)能量守恒定律，這部分熱量只能從其他形式的能量轉化而來.在上述例子中，當把磁棒插入線圈或從線圈中拔出來時，都必須克服斥力或引力做功而消耗能量，正是這種非靜電性的作用力做功，才產(chǎn)生感應電動勢，將其他形式的能量轉化為感應電流所釋放的焦耳熱.所以，電磁感應現(xiàn)象的本質是通過非靜電性的作用產(chǎn)生電動勢，將其他形式的能量轉換為電能的過程.法拉第電磁感應定律三、實驗表明，對于任一給定回路，其中感應電動勢的大小與回路所包圍面積的磁通量變化的快慢有關.磁通量變化的快慢，可以用磁通量對時間的變化率

來表示.麥克斯韋在法拉第對電磁感應現(xiàn)象研究的基礎上，總結出感應電動勢與磁通量變化率之間關系的數(shù)學表達式，即(10-1)式(10-1)即為法拉第電磁感應定律.此式表明，當穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，不論這種變化是什么原因引起的，回路中都有感應電動勢產(chǎn)生，感應電動勢就等于磁通量對時間變化率的負值.應當指出，式(10-1)中的Φ是穿過回路所包圍面積的磁通量.如果回路是由N匝密繞線圈組成的，而穿過每匝線圈的磁通量都等于Φ，那么通過N匝密繞線圈的磁通量則為Ψ=NΦ，我們通常把Ψ稱為磁通鏈數(shù)（全磁通），則有

（10-2）式中，負號反映感應電動勢的方向與磁通量變化之間的關系.法拉第電磁感應定律中的負號也可以看作楞次定律的數(shù)學表達.電動勢和磁通量都是標量，其方向是相對于某一假定方向而言的，用正、負號表示.選定圖10-4所示的方向為回路的繞行正方向，規(guī)定產(chǎn)生沿該方向的感應電流的電動勢為正；反之，電動勢為負.與該方向成右手螺旋關系的磁通量為正，反之為負.那么,當正向穿過回路包圍面積的磁通量增加時，感應電動勢為負，如圖10-4(a)所示；當正向穿過回路包圍面積的磁通量減少時，感應電動勢為正，如圖10-4(b)所示.當然，也可選與圖10-4相反的方向作為回路繞行正方向，判斷感應電動勢的方法與圖10-4類似.用這種方法確定感應電動勢的方向和用楞次定律確定的方向完全一致.要說明一點.因此，如何正確理解和運用式(10-1)中的負號來判斷感應電動勢的方向，是掌握好法拉第電磁感應定律的一個重要方面.

圖10-4感應電動勢的方向（a）Φ>0,dΦ/dt>0,Ei<0（b）Φ>0,dΦ/dt<0,Ei>0應該指出，導體回路中的感應電動勢只與穿過回路的磁通量對時間的變化率有關，而與穿過回路的磁通量及回路的材質無關.因為磁通量一般是空間和時間的函數(shù)，所以導體回路中的感應電動勢也是空間和時間的函數(shù).注意，如果線圈不是閉合的，雖然沒有感應電流產(chǎn)生，但感應電動勢仍然存在.因此，在電磁感應現(xiàn)象中，感應電動勢比感應電流反映出更為本質的東西.若導體回路的電阻為R，則回路的感應電流為

（10-3）在t1→t2時間內，通過導體回路截面的感應電量為

（10-4）

式中，t1時刻的磁通量為Φ1，t2時刻的磁通量為Φ2.此式表明，回路中的感