多元復(fù)合函數(shù)的微分法

多元復(fù)合函數(shù)的微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的中間變量均為同一自變量的一元函數(shù)的情形1.設(shè)函數(shù)z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ（t）]，即構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z=f[φ（t）,ψ（t）]，其變量相互依賴關(guān)系如圖8-11所示.圖8-11一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)u=φ(t)及v=ψ(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u,v具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t),ψ(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo),且有定理1一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則因?yàn)楫?dāng)，又因即當(dāng)所以令Δt→0,兩邊取極限,得從定理1中可看到函數(shù)最終只依賴于一個(gè)變量t，所以對(duì)其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用d的符號(hào)，并稱上述

為全導(dǎo)數(shù).一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則當(dāng)t取得增量Δt時(shí),u，v及z相應(yīng)地也取得增量Δu,Δv及Δz.由于z=f(u,v)在點(diǎn)u,v具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是函數(shù)z=f(u,v)在點(diǎn)u,v可微分，即其中

因此，有證明一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理1可以推廣到更多中間變量的情況.設(shè)z=f(u,v,w)，其中u=φt,v=ψt,w=ωt，即構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z=fφt,ψt,ωt，其變量相互依賴關(guān)系如圖8-12所示，有圖8-12一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)

，求全導(dǎo)數(shù)

解

【例1】一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)有一圓柱體，它的底半徑以0.1cm/s的速率增大，而高度以0.2cm/s的速率在減少，試求當(dāng)?shù)装霃綖?00cm，高為120cm時(shí)．求圓柱體體積的變化率.

解設(shè)圓柱體的底半徑為R,高為h，則體積為V=πR2h，其體積變化率為將【例2】代入上式，得一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形2.定理1還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形.設(shè)函數(shù)z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，即構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］,其變量相互依賴關(guān)系如圖8-13所示.圖8-13一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有

本定理的證明方法與定理1類似，如對(duì)x求偏導(dǎo)時(shí)，只要注意變量y是固定的，實(shí)質(zhì)上就是定理1的情形，只是相應(yīng)地把導(dǎo)數(shù)符號(hào)換成偏導(dǎo)數(shù)符號(hào).定理2一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則已知

解【例3】一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

類似地，設(shè)u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)及w=ω(x,y)都在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v,w)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f［φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)］（變量相互依賴關(guān)系見圖8-14）在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

圖8-14一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù),又有多元函數(shù)的情形3.如果函數(shù)u=φ(x,y)在點(diǎn)x,y具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)v=ψ(y)在點(diǎn)y可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u,v具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=fφx,y,ψy（變量相互依賴關(guān)系見圖8-15）在點(diǎn)x,y的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有實(shí)際上該情形是第2種情形的特例.定理3一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則圖8-15設(shè)z=uarctan(uv)，u=xey，v=y2，求z關(guān)于x，y的偏導(dǎo)數(shù)．

解【例4】一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)u=φ(x,y)在點(diǎn)x,y具有偏導(dǎo)數(shù)，z=f(u,x)在相應(yīng)點(diǎn)u,x處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f［φ(x,y),x］在點(diǎn)x,y處有偏導(dǎo)數(shù)，且實(shí)際上可看作第3種情形中當(dāng)v=x的特殊情況.一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則這里

是表示在復(fù)合函數(shù)z=f［φ(x,y),x］中把y看作常量求得的z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，

是表示在z=f(u,x)中把u看作常量求得的z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)．所以

與

的意義不同.注意一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)z=f(u,x)=arcsinx+u，其中u=sin(xy)，求

解【例5】二、多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)，只要重復(fù)運(yùn)用前面的求導(dǎo)法則即可.為表達(dá)簡(jiǎn)便起見，引入記號(hào)f′1,f′2,f″12等，這里下標(biāo)“1”表示對(duì)第一個(gè)變量u求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)“2”表示對(duì)第二個(gè)變量v求偏導(dǎo)數(shù)，即同理可規(guī)定f″11，f″22等.二、多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

解令u=xy,，則z=f(u,v).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有【例6】二、多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)因?yàn)閒′1及f′2仍是復(fù)合函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有因此二、多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)

三、多元復(fù)合函數(shù)全微分設(shè)z=f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分若z=f(u,v)中的u,v為中間變量，即u=φx,y,v=ψx,y，而且它們也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f［u(x,y),v(x,y)］的全微分為三、多元復(fù)合函數(shù)全微分由定理2可知其中的偏導(dǎo)數(shù)

，于是可化為由此可見,無論z是自變量u,v的函數(shù)還是中間變量