【全程復(fù)習(xí)方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時(shí)作業(yè)：第九章-第九節(jié)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(五十一)一、選擇題1.(2021·南寧模擬)已知空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)P(1,-1,0),Q(2,3,-1),|QUOTE|=()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)3QUOTE2.平面α的一個(gè)法向量為n=(1,2,0),平面β的一個(gè)法向量為m=(2,-1,0),則平面α和平面β的位置關(guān)系是()(A)平行 (B)相交但不垂直(C)垂直 (D)重合3.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于()(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-24.(2021·玉林模擬)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()(A)2,QUOTE (B)-2,QUOTE (C)-3,2 (D)2,25.(力氣挑戰(zhàn)題)已知QUOTE=(1,5,-2),QUOTE=(3,1,z),若QUOTE⊥QUOTE,QUOTE=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為()(A)QUOTE,-,4 (B)QUOTE,-,4(C)QUOTE,-2,4 (D)4,QUOTE,-156.(2021·合肥模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-C1的余弦值為()(A) (B)QUOTE (C)QUOTE (D)7.(2021·柳州模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為AA1中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()(A)QUOTE(B)(C)(D)QUOTE8.(2021·百色模擬)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量QUOTE與QUOTE的夾角為()(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°二、填空題9.(2021·九江模擬)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為.10.(2021·梧州模擬)已知二面角α-AB-β為120°,AC?α,BD?β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,則CD的長為.11.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為.12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點(diǎn),則直線CE與BD的位置關(guān)系是.三、解答題13.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.求證:(1)BC1⊥AB1.(2)BC1∥平面CA1D.14.如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=QUOTEa,AB=QUOTEa,SA=SD=a.(1)求證:CD⊥SA.(2)求二面角C-SA-D的大小.15.(力氣挑戰(zhàn)題)(2021·天津模擬)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn).(1)求證:AE⊥平面A1BD.(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.(3)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.答案解析1.【解析】選D.|QUOTE|=QUOTE=3QUOTE.2.【解析】選C.∵n=(1,2,0),m=(2,-1,0),∴m·n=2-2+0=0,即m⊥n,∴α⊥β.3.【思路點(diǎn)撥】α∥β等價(jià)于其法向量平行.【解析】選C.∵α∥β,∴,∴k=4.【變式備選】若平面α,β垂直,則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量的是()(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】選A.∵α⊥β,∴n1⊥n2,即n1·n2=0,閱歷證可知,選項(xiàng)A正確.4.【解析】選A.∵a∥b,設(shè)(λ+1,0,2)=k(6,2μ-1,2λ),∴QUOTE解得QUOTE或QUOTE5.【解析】選B.∵QUOTE⊥QUOTE,∴QUOTE·QUOTE=3+5-2z=0,即z=4.又BP⊥平面ABC,∴QUOTE·QUOTE=x-1+5y+6=0,①Q(mào)UOTE·QUOTE=3x-3+y-3z=0,②由①②可得x=QUOTE,y=-.6.【解析】選D.設(shè)正方體棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,易知A1E⊥BD,C1E⊥BD,則∠A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角,QUOTE=(,-,1),QUOTE=(-,QUOTE,1),cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步驟是:①建系;②分別求構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面的法向量;③求法向量夾角的余弦值;④依據(jù)題意確定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.該法就是首先利用二面角的定義,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】選C.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,令A(yù)A1=2AB=2,則E(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2).QUOTE=(0,-1,1),QUOTE=(0,-1,2).∴cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE【變式備選】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點(diǎn),O為底面ABCD的中心,P為棱A1B1上任意一點(diǎn),則直線OP與直線AM所成的角是()(A) (B) (C)QUOTE (D)QUOTE【解析】選D.建立坐標(biāo)系,通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知AM⊥OP總成立,即AM與OP所成角為.8.【解析】選C.由于A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),所以QUOTE=(0,3,3),QUOTE=(-1,1,0),所以QUOTE·QUOTE=0×(-1)+3×1+3×0=3,并且|QUOTE|=3QUOTE,|QUOTE|=QUOTE,所以cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=,∴QUOTE與QUOTE的夾角為60°,故選C.9.【解析】cos<m,n>=QUOTE=QUOTE,∴<m,n>=QUOTE,∴兩平面所成二面角的大小為或.答案:或【誤區(qū)警示】本題簡潔認(rèn)為兩平面所成角只有,而忽視.10.【解析】如圖所示,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE∴|QUOTE|=QUOTE=又∵AC⊥AB,BD⊥AB,二面角α-AB-β為120°,∴2QUOTE·QUOTE=0,2QUOTE·QUOTE=0,2QUOTE·QUOTE=2a2cos60°=a2,∴|QUOTE|=QUOTE=2a.答案:2a11.【解析】由條件,知QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,∴|QUOTE|2=|QUOTE|2+|QUOTE|2+|QUOTE|2+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE=62+42+82+2×6×8cos<QUOTE,QUOTE>=(2QUOTE)2,∴cos<QUOTE,QUOTE>=-QUOTE,<QUOTE,QUOTE>=120°,∴二面角的大小為60°.答案:60°12.【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法解決.【解析】以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)正方體棱長為1,則C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(QUOTE,QUOTE,1),∴QUOTE=(-QUOTE,-QUOTE,1),QUOTE=(-1,1,0),明顯QUOTE·QUOTE=QUOTE-QUOTE+0=0,∴QUOTE⊥QUOTE,即CE⊥BD.答案:垂直13.【證明】如圖,以C1點(diǎn)為原點(diǎn),C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于QUOTE=(0,-2,-2),QUOTE=(-2,2,-2),所以QUOTE·QUOTE=0-4+4=0,因此QUOTE⊥QUOTE,故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,由于E(1,0,1),所以QUOTE=(0,1,1).又QUOTE=(0,-2,-2),所以QUOTE=-QUOTE.又ED和BC1不共線,所以ED∥BC1.又DE?平面CA1D,BC1?平面CA1D,故BC1∥平面CA1D.14.【解析】方法一:(1)由于平面SAD⊥平面ABCD,CD⊥AD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.又由于SA?平面SAD,所以CD⊥SA.(2)由(1)可知,CD⊥SA.在△SAD中,SA=SD=a,AD=QUOTEa,所以SA⊥SD.又CD∩SD=D,所以SA⊥平面SDC,所以SA⊥SC,所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角.在Rt△CDS中,tan∠CSD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以二面角C-SA-D的大小為QUOTE.方法二:取BC的中點(diǎn)E,AD的中點(diǎn)P,連接PE,PS.在△SAD中,SA=SD=a,P為AD的中點(diǎn),所以SP⊥AD.又由于平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以SP⊥平面ABCD.明顯有PE⊥AD.如圖,以P為坐標(biāo)原點(diǎn),PA為x軸,PE為y軸,PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則S(0,0,QUOTEa),A(QUOTEa,0,0),B(QUOTEa,QUOTEa,0),C(-QUOTEa,QUOTEa,0),D(-QUOTEa,0,0).(1)易知QUOTE=(0,-QUOTEa,0),QUOTE=(QUOTEa,0,-QUOTEa),由于QUOTE·QUOTE=0,所以CD⊥SA.(2)又QUOTE=(QUOTEa,-QUOTEa,0),設(shè)n=(x,y,z)為平面CSA的一個(gè)法向量,則有QUOTE即QUOTE取n=(QUOTE,QUOTE,QUOTE).明顯,EP⊥平面SAD,所以QUOTE為平面SAD的一個(gè)法向量,所以m=(0,1,0)為平面SAD的一個(gè)法向量.所以cos<n,m>=QUOTE=QUOTE,所以二面角C-SA-D的大小為QUOTE.15.【思路點(diǎn)撥】由AA1⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC1A1,故可考慮建立空間直角坐標(biāo)系解決問題.【解析】(1)以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,過D作AC的垂線為y軸,DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,QUOTE),B1(0,-2,QUOTE),QUOTE=(-2,-1,0),QUOTE=(-1,2,0),QUOTE=(0,0,-QUOTE).∴QUOTE·QUOTE=2-2+0=0,∴AE⊥A1D,QUOTE·QUOTE=0,∴AE⊥BD.又A1D與BD相交于D,∴AE⊥平面A1BD.(2)設(shè)平面DA1B的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),由Q